Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $5^2\cdot 4-(63:9+3)\cdot 7$ este egal cu:

1. A. $30$
2. B. $72$
3. C. $330$
4. D. $630$

2. (5p) Prețul unui ceas de șah a crescut cu $20\%$, iar apoi noul preț a scăzut cu $20\%$. După cele două modificări, ceasul costă $288$ de lei. Prețul inițial al ceasului a fost:

1. A. $276{,}48$ de lei
2. B. $288$ de lei
3. C. $300$ de lei
4. D. $360$ de lei

3. (5p) Rezultatul calculului $\frac{14}{\sqrt{7}}-\sqrt{63}+\sqrt{28}$ este egal cu:

1. A. $-5\sqrt{7}$
2. B. $2-\sqrt{7}$
3. C. $\sqrt{7}$
4. D. $3\sqrt{7}$

4. (5p) Suma elementelor mulțimii $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid |3x-4|\le 11\}$ este egală cu:

1. A. $-12$
2. B. $0$
3. C. $9$
4. D. $12$

5. (5p) La un turneu de șah participă $6$ jucători. Fiecare jucător joacă exact două partide cu fiecare dintre ceilalți jucători, o dată cu piesele albe și o dată cu piesele negre. Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat numărul total de partide ale turneului. Rezultatele obținute sunt: Ana $30$, Bogdan $15$, Carmen $36$, Dan $60$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „Ultima cifră a numărului $7^{2027}$ este $3$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$. Dacă $AB=34$ cm și $MN=25$ cm, atunci lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

1. A. $8$ cm
2. B. $9$ cm
3. C. $16$ cm
4. D. $59$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ le intersectează în punctele $M$, respectiv $N$. Punctele $A$ și $B$ aparțin dreptelor $a$, respectiv $b$, de aceeași parte a dreptei $c$, iar $m(\sphericalangle AMN)=x$ și $m(\sphericalangle MNB)=2x+33^\circ$. Măsura unghiului $MNB$ este egală cu:

1. A. $49^\circ$
2. B. $71^\circ$
3. C. $98^\circ$
4. D. $131^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle BAC)=74^\circ$. Bisectoarele unghiurilor $ABC$ și $ACB$ se intersectează în punctul $I$. Măsura unghiului $BIC$ este egală cu:

1. A. $37^\circ$
2. B. $53^\circ$
3. C. $106^\circ$
4. D. $127^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu diagonalele $AC=22$ cm și $BD=15$ cm, care se intersectează în punctul $O$. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $41{,}25$ cm$^2$
2. B. $82{,}5$ cm$^2$
3. C. $165$ cm$^2$
4. D. $330$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$, respectiv $B$, la cercul de centru $O$, iar $m(\sphericalangle APB)=56^\circ$. Măsura unghiului $OAB$ este egală cu:

1. A. $28^\circ$
2. B. $34^\circ$
3. C. $62^\circ$
4. D. $124^\circ$

6. (5p) O piesă de joc are forma conului circular drept din figura alăturată, cu vârful $V$, centrul bazei $O$, raza bazei $OA=6$ cm și generatoarea $VA=11$ cm. Aria laterală a conului este egală cu:

1. A. $33\pi$ cm$^2$
2. B. $66\pi$ cm$^2$
3. C. $102\pi$ cm$^2$
4. D. $132\pi$ cm$^2$

1. (5p) Ana s-a gândit la un număr natural. Împărțit la $8$, numărul dă restul $5$. Împărțit la $11$, numărul dă restul $2$, iar câtul este cu $3$ mai mic decât câtul împărțirii la $8$. a) ($2$p) Este posibil ca Ana să se fi gândit la numărul $85$? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul la care s-a gândit Ana.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+2}{x-2}+\frac{x-2}{x+2}\right):\frac{x^2+4}{x^2+4x+4}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -2$ și $x\neq 2$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x+2}{x-2}+\frac{x-2}{x+2}=\frac{2(x^2+4)}{x^2-4}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -2$ și $x\neq 2$. b) ($3$p) Determină numerele naturale $n$ pentru care $E(n)$ este număr natural.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, al cărei grafic conține punctele $A(3,1)$ și $B(-2,11)$. a) ($2$p) Arată că $f(x)=-2x+7$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele reale $m$ pentru care punctul $P(m,m^2)$ aparține graficului funcției $f$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=27$ cm și $CD=12$ cm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. Dreapta care trece prin $O$ și este paralelă cu $AB$ intersectează laturile $AD$ și $BC$ în punctele $M$, respectiv $N$. a) ($2$p) Arată că $\frac{OA}{OC}=\frac{9}{4}$. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $MN$.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat $ABCDEF$, înscris în cercul de centru $O$, cu latura de $11$ cm. a) ($2$p) Arată că $AC=11\sqrt{3}$ cm. b) ($3$p) Arată că patrulaterul $ACDF$ este dreptunghi și determină aria lui.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$, cu muchia de $4\sqrt{6}$ cm, iar $O$ este centrul triunghiului $ABC$. a) ($2$p) Arată că $DO=8$ cm. b) ($3$p) Determină tangenta unghiului dintre planele $(DBC)$ și $(ABC)$.