Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $(2^6-4^2):8+3\cdot 5$ este egal cu:

1. A. $21$
2. B. $22$
3. C. $45$
4. D. $77$

2. (5p) Cel mai mare număr natural de trei cifre care se divide atât cu $7$, cât și cu $13$ este:

1. A. $910$
2. B. $988$
3. C. $994$
4. D. $1001$

3. (5p) Suma soluțiilor reale ale ecuației $(2x+1)^2=81$ este egală cu:

1. A. $-1$
2. B. $0$
3. C. $4$
4. D. $40$

4. (5p) Într-un sezon, un jucător de șah nu a încheiat nicio partidă la remiză. Raportul dintre numărul partidelor câștigate și numărul partidelor pierdute de el este $\frac{5}{3}$, iar el a câștigat cu $8$ partide mai multe decât a pierdut. Numărul partidelor câștigate este:

1. A. $12$
2. B. $20$
3. C. $32$
4. D. $40$

5. (5p) Se consideră numerele $a=11+2\sqrt{30}$ și $b=11-2\sqrt{30}$. Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat media geometrică a numerelor $a$ și $b$. Rezultatele obținute sunt: Ana $11$, Bogdan $\sqrt{241}$, Carmen $1$, Dan $\sqrt{22}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) La un turneu de șah, cei $9$ participanți au obținut următoarele punctaje: $3$; $4{,}5$; $2$; $4{,}5$; $6$; $3$; $4{,}5$; $3{,}5$; $5$. Afirmația „Media punctajelor celor $9$ participanți este egală cu $4{,}5$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AD=48$ cm, iar lungimile segmentelor $AB$, $BC$ și $CD$ sunt direct proporționale cu numerele $4$, $1$ și $3$. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

1. A. $6$ cm
2. B. $18$ cm
3. C. $24$ cm
4. D. $30$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente și complementare, iar măsura unghiului $AOB$ reprezintă $\frac{4}{5}$ din măsura unghiului $BOC$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

1. A. $40^\circ$
2. B. $50^\circ$
3. C. $72^\circ$
4. D. $100^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, iar $AD\perp BC$, $D\in BC$. Dacă $BD=4$ cm și $DC=49$ cm, atunci lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

1. A. $14$ cm
2. B. $26{,}5$ cm
3. C. $53$ cm
4. D. $196$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, iar $AM$ este înălțimea lui, $M\in BC$, cu $AM=9$ cm. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

1. A. $\frac{81\sqrt{3}}{4}$ cm$^2$
2. B. $27\sqrt{3}$ cm$^2$
3. C. $81$ cm$^2$
4. D. $54\sqrt{3}$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cadranul unui ceas de șah, un cerc de centru $O$ pe care cele $12$ ore sunt marcate la distanțe egale. Punctul $A$ marchează ora $1$, iar punctul $B$ marchează ora $6$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $75^\circ$
3. C. $120^\circ$
4. D. $150^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu latura bazei $AB=18$ cm și apotema $VM=20$ cm, unde $M$ este mijlocul muchiei $BC$. Aria laterală a piramidei este egală cu:

1. A. $180$ cm$^2$
2. B. $324$ cm$^2$
3. C. $720$ cm$^2$
4. D. $1440$ cm$^2$

1. (5p) Un maestru de șah are $47$ de ani, iar elevul său are $11$ ani. a) ($2$p) Este posibil ca, în urmă cu $5$ ani, vârsta maestrului să fi fost de $6$ ori mai mare decât vârsta elevului? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină peste câți ani vârsta maestrului va fi de $3$ ori mai mare decât vârsta elevului.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x+3)^2-2(x+3)(x-1)+(x-1)^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=16$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină cea mai mică valoare a expresiei $E(x)+x^2+8x$, unde $x$ este număr real, și numărul real $x$ pentru care se obține această valoare.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=4x-9$. a) ($2$p) Arată că $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(12)=204$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină tangenta unghiului $OAB$, unde $O$ este originea sistemului de axe ortogonale $xOy$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentată o tablă de șah $ABCD$, în formă de pătrat cu latura de $32$ cm, împărțită în $64$ de pătrățele congruente. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar punctul $N$ aparține laturii $CD$, astfel încât $CN=8$ cm. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $AMN$ este egală cu $320$ cm$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AM$ și $MN$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului de centru $O$, în această ordine, iar arcele mici $AB$, $BC$ și $CD$ au măsurile $m(\overset{\frown}{AB})=36^\circ$, $m(\overset{\frown}{BC})=72^\circ$ și $m(\overset{\frown}{CD})=144^\circ$. a) ($2$p) Arată că $m(\sphericalangle BAD)=108^\circ$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată $VABC$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=6\sqrt{3}$ cm și înălțimea $VO=3$ cm, unde $O$ este centrul bazei. a) ($2$p) Arată că volumul piramidei este egal cu $27\sqrt{3}$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la planul $(VBC)$.