Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $3^4+6\cdot(25-4\cdot 5)$ este egal cu:

1. A. $42$
2. B. $94$
3. C. $111$
4. D. $435$

2. (5p) Pe o hartă realizată la scara $1:25\,000$, un pod peste un râu are lungimea de $1{,}8$ cm. Lungimea reală a podului este egală cu:

1. A. $45$ m
2. B. $450$ m
3. C. $4500$ m
4. D. $45000$ m

3. (5p) Rezultatul calculului $2\sqrt{54}-\sqrt{24}+\sqrt{6}$ este egal cu:

1. A. $2\sqrt{6}$
2. B. $3\sqrt{6}$
3. C. $5\sqrt{6}$
4. D. $9\sqrt{6}$

4. (5p) Suma soluțiilor reale ale ecuației $2x^2-9x+4=0$ este egală cu:

1. A. $-\frac{9}{2}$
2. B. $2$
3. C. $4$
4. D. $\frac{9}{2}$

5. (5p) Un pescar a stat $20$ de zile la pescuit pe malul unui râu. În $4$ zile a prins câte $1$ pește pe zi, în $7$ zile câte $2$ pești pe zi, în $6$ zile câte $3$ pești pe zi, iar în $3$ zile câte $5$ pești pe zi. Patru elevi au calculat numărul mediu de pești prinși într-o zi și au obținut: Ana $2{,}55$, Bogdan $2{,}75$, Carmen $12{,}75$, Dan $2$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „Numărul $a=|3\sqrt{3}-5|+3\sqrt{3}$ este număr natural.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) Un pod drept $AD$, cu lungimea de $78$ m, se sprijină pe doi stâlpi, în punctele $B$ și $C$, ca în figura alăturată. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, $AB=2\cdot BC$ și $CD=3\cdot BC$. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

1. A. $13$ m
2. B. $26$ m
3. C. $39$ m
4. D. $52$ m

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente suplementare, iar măsurile lor sunt direct proporționale cu numerele $7$ și $2$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOM$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $70^\circ$
3. C. $140^\circ$
4. D. $160^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=39^\circ$. Punctul $D$ aparține semidreptei opuse semidreptei $CB$, iar $m(\sphericalangle ACD)=107^\circ$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

1. A. $34^\circ$
2. B. $68^\circ$
3. C. $73^\circ$
4. D. $141^\circ$

4. (5p) Secțiunea transversală a unui canal plin cu apă are forma trapezului isoscel $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB\parallel CD$, $AB=18$ m (lățimea apei la suprafață), $CD=8$ m (lățimea fundului canalului) și $m(\sphericalangle DAB)=45^\circ$. Aria secțiunii este egală cu:

1. A. $65$ m$^2$
2. B. $90$ m$^2$
3. C. $65\sqrt{2}$ m$^2$
4. D. $130$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$, respectiv $B$ la cercul de centru $O$, iar $m(\sphericalangle APB)=74^\circ$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $37^\circ$
2. B. $53^\circ$
3. C. $74^\circ$
4. D. $106^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=20$ cm și $AA'=10$ cm. Sinusul unghiului dintre dreapta $BD'$ și planul $(ABC)$ este egal cu:

1. A. $\frac{1}{3}$
2. B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
3. C. $\frac{1}{2}$
4. D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

1. (5p) O șalupă parcurge cei $88$ km dintre două porturi de pe un râu în $4$ ore, mergând în sensul curentului, iar drumul înapoi, împotriva curentului, îl parcurge în $5$ ore și $30$ de minute. Viteza șalupei în apă stătătoare și viteza apei sunt constante. Când merge în sensul curentului, șalupa are viteza egală cu suma celor două viteze; împotriva curentului, cu diferența lor. a) ($2$p) Este posibil ca viteza șalupei în apă stătătoare să fie de $20$ km/h? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină viteza șalupei în apă stătătoare și viteza curentului apei.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+3}{x-5}-\frac{x-3}{x+5}\right)\cdot\frac{x-5}{4x}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -5$, $x\neq 0$ și $x\neq 5$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x+3}{x-5}-\frac{x-3}{x+5}=\frac{16x}{x^2-25}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -5$ și $x\neq 5$. b) ($3$p) Determină numărul real $a$ pentru care $E(a)=\frac{1}{2}$.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+5$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=-2x+11$. a) ($2$p) Arată că punctul $P(2,7)$ aparține atât graficului funcției $f$, cât și graficului funcției $g$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul $A$, iar graficul funcției $g$ intersectează axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $APB$.

4. (5p) Pentru a afla lățimea unui râu cu malurile paralele, un elev observă un copac $A$ pe celălalt mal și alege pe malul său punctul $B$, cu $AB$ perpendiculară pe maluri. Merge de-a lungul malului $42$ m, până în punctul $C$, unde înfige un țăruș, și încă $14$ m, până în punctul $D$. Din $D$ se deplasează perpendicular pe mal, departe de râu, până în punctul $E$ din care vede copacul $A$ și țărușul $C$ pe aceeași dreaptă, ca în figura alăturată. Distanța $DE$ este de $9$ m. a) ($2$p) Arată că triunghiurile $ABC$ și $EDC$ sunt asemenea. b) ($3$p) Determină lățimea râului.

5. (5p) Arcul unui pod are forma arcului de cerc $AB$ din figura alăturată, cu centrul în punctul $O$. Deschiderea podului este coarda $AB=56$ m. Punctul $C$ este mijlocul arcului $AB$, iar $CM\perp AB$, $M\in AB$, cu $CM=8$ m (înălțimea arcului). a) ($2$p) Arată că $AM=28$ m. b) ($3$p) Determină raza cercului din care face parte arcul podului.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$, cu $AB=2\sqrt{3}$ cm și $AA'=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că volumul prismei este egal cu $12\sqrt{3}$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la planul $(A'BC)$.