Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $\frac{5}{6}+\frac{5}{8}:\frac{15}{16}$ este egal cu:

1. A. $\frac{7}{9}$
2. B. $\frac{545}{384}$
3. C. $\frac{3}{2}$
4. D. $\frac{14}{9}$

2. (5p) Un bilet pentru o plimbare cu vaporașul pe râu costa $40$ de lei. Prețul biletului a crescut cu $15\%$, iar după o lună noul preț a scăzut cu $15\%$. Prețul final al biletului este:

1. A. $31$ de lei
2. B. $39{,}1$ lei
3. C. $40$ de lei
4. D. $46$ de lei

3. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -2\sqrt{5}\leq x<\sqrt{30}\}$ este egal cu:

1. A. $6$
2. B. $9$
3. C. $10$
4. D. $11$

4. (5p) Numerele reale $a$ și $b$ verifică relațiile $a-b=5$ și $a\cdot b=14$. Valoarea expresiei $a^2+b^2$ este egală cu:

1. A. $-3$
2. B. $11$
3. C. $39$
4. D. $53$

5. (5p) La o cursă de rățuște de cauciuc pe râu participă $24$ de rățuște: $9$ galbene, $4$ albastre și $11$ verzi. Câștigătoarea are aceeași șansă să fie oricare dintre ele. Patru elevi au calculat probabilitatea ca rățușca câștigătoare să nu fie albastră și au obținut: Ana $\frac{5}{6}$, Bogdan $\frac{1}{6}$, Carmen $\frac{2}{3}$, Dan $\frac{5}{12}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $3(x-2)<5x+4$ este intervalul $(-\infty,-5)$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$, cu lungimea de $48$ m, reprezintă o pasarelă peste un râu. Un pescar stă în punctul $M$ al segmentului $AB$, astfel încât $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}$. Lungimea segmentului $AM$ este egală cu:

1. A. $16$ m
2. B. $18$ m
3. C. $28{,}8$ m
4. D. $30$ m

2. (5p) Malurile unui râu sunt reprezentate de dreptele paralele $a$ și $b$ din figura alăturată, iar un pod drept $AB$ le unește, cu $A\in a$ și $B\in b$. Punctele $P\in a$ și $Q\in b$ sunt de aceeași parte a dreptei $AB$, iar $m(\sphericalangle PAB)=58^\circ$. Măsura unghiului $ABQ$ este egală cu:

1. A. $32^\circ$
2. B. $58^\circ$
3. C. $116^\circ$
4. D. $122^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AD\perp BC$, $D\in BC$, $BD=14$ cm și $BC=56$ cm. Lungimea catetei $AB$ este egală cu:

1. A. $14\sqrt{3}$ cm
2. B. $28$ cm
3. C. $35$ cm
4. D. $28\sqrt{3}$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=14$ cm, $AD=9$ cm și $m(\sphericalangle BAD)=30^\circ$. Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $31{,}5$ cm$^2$
2. B. $63$ cm$^2$
3. C. $63\sqrt{3}$ cm$^2$
4. D. $126$ cm$^2$

5. (5p) Roata unei mori de apă, reprezentată în figura alăturată, are forma unui cerc de centru $O$ și rază $1{,}5$ m. Punctul $A$ se află pe marginea roții. Lungimea drumului parcurs de punctul $A$ în timp ce roata face $20$ de rotații complete este egală cu:

1. A. $30\pi$ m
2. B. $45\pi$ m
3. C. $60\pi$ m
4. D. $120\pi$ m

6. (5p) Un stâlp al unui pod are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu raza bazei $OA=0{,}4$ m și înălțimea $OO'=8$ m. Aria laterală a stâlpului este egală cu:

1. A. $1{,}28\pi$ m$^2$
2. B. $3{,}2\pi$ m$^2$
3. C. $6{,}4\pi$ m$^2$
4. D. $6{,}72\pi$ m$^2$

1. (5p) O barcă pleacă dintr-un port de pe un râu, merge $36$ km în sensul curentului, apoi se întoarce în port, mergând împotriva curentului. Viteza curentului apei este de $3$ km/h, iar viteza bărcii în apă stătătoare este constantă. În sensul curentului barca merge cu suma celor două viteze, iar împotriva curentului cu diferența lor. Drumul dus-întors a durat, în total, $5$ ore. a) ($2$p) Este posibil ca viteza bărcii în apă stătătoare să fie de $12$ km/h? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină viteza bărcii în apă stătătoare.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(2x+3)^2-(x+2)(4x-1)$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=5x+11$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele naturale nenule $n$ pentru care numărul $E(n)$ este divizibil cu $n$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-9$. a) ($2$p) Arată că $f(4)+f(-4)=-18$. b) ($3$p) Determină punctul $M$ al graficului funcției $f$ care are coordonatele numere opuse, apoi calculează distanța de la originea $O$ a sistemului de axe la punctul $M$.

4. (5p) Un teren de lângă un râu are forma trapezului dreptunghic $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=26$ m, $CD=8$ m și $AD=12$ m. a) ($2$p) Arată că aria terenului este egală cu $204$ m$^2$. b) ($3$p) Arată că dreptele $AC$ și $BC$ sunt perpendiculare.

5. (5p) Un stâlp vertical al unui pod este reprezentat de segmentul $AH$ din figura alăturată, cu $AH=9$ m, unde $H$ se află la nivelul apei. O barcă se află în punctul $P$, la nivelul apei, astfel încât $\operatorname{tg}(\sphericalangle APH)=0{,}6$. Barca se apropie de stâlp, în linie dreaptă, până în punctul $Q$ al segmentului $PH$, pentru care $\operatorname{tg}(\sphericalangle AQH)=1{,}5$. a) ($2$p) Arată că $PH=15$ m. b) ($3$p) Determină distanța parcursă de barcă de la $P$ la $Q$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=7$ cm și $AA'=4$ cm, iar $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor bazei $ABCD$. a) ($2$p) Arată că aria totală a prismei este egală cu $210$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină tangenta unghiului dintre planele $(B'AC)$ și $(ABC)$.