Numerele naturale în clasa a V-a: puteri, paranteze, împărțirea cu rest și metode aritmetice

De bază

Din clasele I–IV știi să aduni, să scazi, să înmulțești și să împarți numere naturale și că înmulțirea se face înaintea adunării. În clasa a V-a apar lucruri noi: puterile, parantezele pătrate și acoladele, împărțirea cu rest scrisă ca o egalitate și metodele cu nume pentru problemele „fără ecuație”.

Pe axa numerelor, numerele naturale $0, 1, 2, 3,\ldots$ sunt puncte așezate la distanțe egale, de la stânga la dreapta. Dintre două numere, mai mare este cel aflat mai la dreapta. Fără axă, compari așa: numărul cu mai multe cifre este mai mare; la același număr de cifre, compari cifrele pe rând, de la stânga, până la prima cifră care diferă.

Exemplu: ordonează crescător $9870$, $10\,012$ și $9807$. Numărul $10\,012$ are cinci cifre, deci este cel mai mare. La $9870$ și $9807$, miile și sutele sunt la fel ($9$ și $8$), iar la zeci $0<7$. Deci $9807<9870<10\,012$.

Rotunjirea unui număr natural la zeci: te uiți la cifra unităților; dacă este $0, 1, 2, 3$ sau $4$, o înlocuiești cu $0$; dacă este $5$ sau mai mare, zecile cresc cu $1$ și unitățile devin $0$. La sute decide cifra zecilor, la mii cifra sutelor. Rotunjirea te ajută să estimezi un rezultat înainte să-l calculezi, ca să-ți dai seama dacă ai greșit mult.

Exemplul 2: $4372$ rotunjit la zeci este $4370$, iar la sute este $4400$. Estimare: $398+603$ este aproape de $400+600=1000$; calculul exact dă $1001$, deci rezultatul este plauzibil.

Scăderea este operația inversă adunării: $a-b=c$ înseamnă exact că $c+b=a$. De aceea verifici o scădere printr-o adunare (proba adunării).

Exemplul 3: $1000-367=633$, iar proba: $633+367=1000$.

Puterea $a^n$ este un produs de $n$ factori egali cu $a$. De exemplu, $5^3=5\cdot 5\cdot 5=125$. Numărul $a$ se numește bază, iar $n$ exponent. Pătratul unui număr este puterea a doua: $7^2=49$. Reții: $a^1=a$, $a^0=1$ (pentru $a\neq 0$), $1^n=1$, iar $10^n$ este $1$ urmat de $n$ zerouri: $10^4=10\,000$.

Exemplul 4: $2^4+3^2-1^{10}\cdot 7^0$. Întâi puterile: $2^4=16$, $3^2=9$, $1^{10}=1$, $7^0=1$. Apoi înmulțirea: $1\cdot 1=1$. La sfârșit: $16+9-1=24$.

Un pătrat perfect este un număr care se poate scrie ca $n\cdot n=n^2$, cu $n$ natural. Primele sunt $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$. De exemplu, $144=12^2$ este pătrat perfect, dar $50$ nu este: $7^2=49$ și $8^2=64$.

Scrierea în baza $10$ arată ce valoare are fiecare cifră: $4507=4\cdot 10^3+5\cdot 10^2+0\cdot 10+7$. În baza $2$ se folosesc doar cifrele $0$ și $1$, iar locurile valorează $1, 2, 4, 8, 16,\ldots$ (puterile lui $2$).

Exemplul 5: $1011_{(2)}$ înseamnă $1\cdot 8+0\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1=11$. Invers, $13=8+4+1$, deci $13=1101_{(2)}$.

Împărțirea cu rest: când împarți un număr (deîmpărțitul) la altul (împărțitorul), obții un cât și un rest, cu regula deîmpărțit $=$ împărțitor $\cdot$ cât $+$ rest, iar restul este MAI MIC decât împărțitorul.

Exemplul 6: $100:7$ dă câtul $14$ și restul $2$, pentru că $100=7\cdot 14+2$ și $2<7$.

Mediu

Ordinea operațiilor rămâne cea din clasele primare — întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile —, dar acum parantezele pot fi de trei feluri. Le rezolvi din interior spre exterior: întâi cele rotunde $(\ )$, apoi cele pătrate $[\ ]$, la sfârșit acoladele $\{\ \}$.

Exemplu: $\{3\cdot[20-(4+2)\cdot 3]+2^3\}:2$. Paranteza rotundă: $4+2=6$. În paranteza pătrată: $6\cdot 3=18$ și $20-18=2$. În acoladă: $3\cdot 2=6$ și $6+2^3=6+8=14$. La sfârșit: $14:2=7$.

Regulile de calcul cu puteri se folosesc când bazele sunt la fel: la înmulțire exponenții se adună, la împărțire se scad, iar la puterea unei puteri se înmulțesc. Uneori trebuie întâi să faci bazele la fel.

Exemplul 2: scrie $4^3\cdot 2^5$ ca o singură putere. Cum $4=2^2$, avem $4^3=(2^2)^3=2^6$. Atunci $2^6\cdot 2^5=2^{11}=2048$. Ca să compari puteri: la aceeași bază, mai mare este cea cu exponentul mai mare ($7^{12}>7^9$); la același exponent, mai mare este cea cu baza mai mare ($5^{20}<6^{20}$).

Puterea unui produs: $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ — fiecare factor se ridică la putere. Folosită invers, lipește două puteri cu același exponent: $2^5\cdot 5^5=(2\cdot 5)^5=10^5=100\,000$, fără să calculezi $32\cdot 3125$.

Pătratele perfecte au o proprietate ușor de verificat: ultima cifră a lui $n^2$ depinde numai de ultima cifră a lui $n$, iar pătratele cifrelor $0, 1,\ldots, 9$ se termină în $0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1$. Deci un pătrat perfect se termină mereu în $0, 1, 4, 5, 6$ sau $9$, iar un număr terminat în $2, 3, 7$ sau $8$ nu este pătrat perfect. Dacă ultima cifră nu te lămurește, încadrezi numărul între pătratele a două numere consecutive.

Exemplul 3: $2027$ nu este pătrat perfect, pentru că se termină în $7$. Numărul $2026$ se termină în $6$, deci ultima cifră nu decide. Dar $45^2=2025$ și $46^2=2116$, iar $2025<2026<2116$: între pătratele a două numere consecutive nu mai există alt pătrat perfect, deci nici $2026$ nu este.

Proprietățile adunării: ordinea termenilor nu contează ($a+b=b+a$, comutativitatea), gruparea lor nici atât ($(a+b)+c=a+(b+c)$, asociativitatea), iar $0$ nu schimbă suma ($a+0=a$, element neutru). La fel la înmulțire: $a\cdot b=b\cdot a$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$, iar $1$ este element neutru ($a\cdot 1=a$). Înmulțirea este distributivă față de adunare și de scădere: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ și $a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c$. Cu ele grupezi numerele care dau rezultate „rotunde”.

Exemplul 4: $25+37+75=(25+75)+37=100+37=137$. $4\cdot 17\cdot 25=(4\cdot 25)\cdot 17=100\cdot 17=1700$. $12\cdot 99=12\cdot(100-1)=1200-12=1188$.

Factorul comun este distributivitatea citită de la dreapta la stânga: dacă același număr înmulțește doi termeni, îl scoți în față: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)$.

Exemplul 5: $37\cdot 45+37\cdot 55=37\cdot(45+55)=37\cdot 100=3700$. Fără factor comun ai fi avut două înmulțiri grele.

Metoda reducerii la unitate: afli cât valorează o singură bucată, apoi răspunzi la întrebare.

Exemplul 6: $4$ caiete la fel costă $28$ de lei. Câte astfel de caiete cumperi cu $63$ de lei? Un caiet costă $28:4=7$ lei, deci cu $63$ de lei cumperi $63:7=9$ caiete.

Avansat

La problemele grele, întâi recunoști metoda. Iată patru dintre ele, fiecare cu ideea ei.

Metoda comparației, când nicio cantitate nu este egală de la început: o faci tu egală, înmulțind.

Exemplu: $3$ kg de mere și $2$ kg de pere costă $23$ de lei, iar $5$ kg de mere și $4$ kg de pere costă $41$ de lei. Dublăm prima cumpărătură: $6$ kg de mere și $4$ kg de pere ar costa $2\cdot 23=46$ de lei. Acum perele sunt la fel în ambele cumpărături, deci diferența de $6-5=1$ kg de mere costă $46-41=5$ lei. Din prima cumpărătură, merele costă $3\cdot 5=15$ lei, perele $23-15=8$ lei, deci $1$ kg de pere costă $8:2=4$ lei. Verificare: $5\cdot 5+4\cdot 4=25+16=41$.

Metoda falsei ipoteze: presupui că toate obiectele sunt de un singur fel și vezi cât iese diferența.

Exemplul 2: într-o pușculiță sunt $20$ de monede de $10$ bani și de $50$ de bani, în total $5$ lei și $20$ de bani, adică $520$ de bani. Dacă toate ar fi de $10$ bani, ar fi $20\cdot 10=200$ de bani. Lipsesc $520-200=320$ de bani, iar fiecare monedă de $50$ aduce cu $50-10=40$ de bani în plus. Deci sunt $320:40=8$ monede de $50$ de bani și $20-8=12$ monede de $10$ bani. Verificare: $8\cdot 50+12\cdot 10=400+120=520$.

Metoda mersului invers: pornești de la sfârșit și faci operațiile opuse, în ordine inversă.

Exemplul 3: Ana a cheltuit jumătate din bani și încă $3$ lei, apoi jumătate din ce i-a rămas și încă $2$ lei. I-au rămas $5$ lei. De la sfârșit: $5+2=7$ lei erau jumătate din rest, deci restul era $7\cdot 2=14$ lei. Apoi $14+3=17$ lei erau jumătate din bani, deci Ana avea $17\cdot 2=34$ de lei. Verificare: cheltuie $17+3=20$ și rămâne cu $14$; cheltuie $7+2=9$ și rămâne cu $5$.

Metoda figurativă: desenul cu segmente arată câte „părți egale” sunt.

Exemplul 4: trei frați au împreună $110$ lei. Al doilea are cu $10$ lei mai mult decât primul, iar al treilea are de două ori cât primul. În desen, primul are o parte, al doilea o parte și încă $10$ lei, al treilea două părți. Dacă scoatem cei $10$ lei, rămân $110-10=100$ de lei pentru $4$ părți egale, deci o parte este $100:4=25$ de lei. Frații au $25$, $35$ și $50$ de lei. Verificare: $25+35+50=110$.

Pe lângă metode, două idei de calcul care scurtează mult drumul.

Suma lui Gauss: ca să aduni $1+2+3+\ldots+100$, grupezi numerele în perechi, primul cu ultimul, al doilea cu penultimul: $1+100=2+99=3+98=\ldots=101$. Sunt $100$ de numere, deci $50$ de perechi, iar suma este $50\cdot 101=5050$. În general, $1+2+\ldots+n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$. Aceeași idee merge pentru orice șir de numere consecutive: numeri câte sunt și înmulțești suma unei perechi cu numărul de perechi.

Exemplul 5: $11+12+\ldots+30$. Sunt $30-11+1=20$ de numere, adică $10$ perechi, fiecare cu suma $11+30=41$. Suma este $10\cdot 41=410$. Altfel: $(1+2+\ldots+30)-(1+2+\ldots+10)=\frac{30\cdot 31}{2}-\frac{10\cdot 11}{2}=465-55=410$.

Ultima cifră a unei puteri se repetă: la puterile lui $3$, ultimele cifre sunt $3, 9, 7, 1$ ($3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$), apoi $3^5=243$ o ia de la capăt. Grupul are $4$ cifre, deci contează restul împărțirii exponentului la $4$. Pentru restul $1$, $2$, $3$ iei prima, a doua, a treia cifră din grup; pentru restul $0$, pe a patra.

Exemplul 6: ultima cifră a lui $3^{2026}$. Cum $2026=4\cdot 506+2$, restul este $2$, deci $3^{2026}$ se termină la fel ca $3^2$, în $9$.