Mulțimi: apartenență, incluziune, reuniune, intersecție și diferență

De bază

O mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elementele ei. Scriem $a\in A$ („$a$ aparține lui $A$”) dacă $a$ este element al lui $A$, și $a\notin A$ dacă nu este. Ordinea elementelor nu contează, iar fiecare element se scrie o singură dată.

O mulțime se poate da prin enumerare, $A=\{2,4,6,8\}$, sau printr-o proprietate, $B=\{x\in\mathbb{N}\mid x\le 3\}=\{0,1,2,3\}$. Atenție: $0$ este număr natural; mulțimea numerelor naturale fără $0$ se notează $\mathbb{N}^*$.

$A\subseteq B$ („$A$ este inclusă în $B$”) înseamnă că fiecare element al lui $A$ este și în $B$. Operațiile: reuniunea $A\cup B$ conține elementele aflate în cel puțin una dintre mulțimi; intersecția $A\cap B$ conține elementele comune; diferența $A\setminus B$ conține elementele lui $A$ care NU sunt în $B$.

Exemplu: $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{1,2,3,4\}$. Atunci $A\cup B=\{1,2,3,4,6,8\}$ (elementele comune $2$ și $4$ se scriu o singură dată), $A\cap B=\{2,4\}$, $A\setminus B=\{6,8\}$ și $B\setminus A=\{1,3\}$. Observă că $A\setminus B$ și $B\setminus A$ sunt mulțimi diferite.

Exemplul 2: $2\in A$, dar $\{2\}\subseteq A$. Semnul $\in$ leagă un element de o mulțime; semnul $\subseteq$ leagă două mulțimi.

Mediu

În problemele de nivel mediu, mulțimile sunt date printr-o proprietate: întâi le scrii prin enumerare, apoi faci operația cerută.

Exemplu: $A=\{x\in\mathbb{N}\mid 3x-2<10\}$ și $B=\{x\in\mathbb{N}^*\mid x \text{ divide } 6\}$. Din $3x-2<10$ rezultă $3x<12$, adică $x<4$, deci $A=\{0,1,2,3\}$. Divizorii lui $6$ sunt $1,2,3,6$, deci $B=\{1,2,3,6\}$. Atunci $A\cap B=\{1,2,3\}$, $A\setminus B=\{0\}$ și $B\setminus A=\{6\}$.

Numărul de elemente al reuniunii: dacă aduni numărul elementelor lui $A$ cu al lui $B$, elementele comune sunt numărate de două ori, deci se scad o dată. Numărul elementelor lui $A\cup B$ este: elementele lui $A$ plus elementele lui $B$ minus elementele lui $A\cap B$.

Exemplul 2: într-o clasă de $30$ de elevi, $18$ joacă fotbal, $14$ joacă baschet, iar $5$ nu joacă niciunul dintre aceste sporturi. Cel puțin un sport joacă $30-5=25$ de elevi. În suma $18+14=32$, cei care joacă ambele sporturi sunt numărați de două ori, deci ei sunt $32-25=7$. Numai fotbal joacă $18-7=11$ elevi, iar numai baschet $14-7=7$ elevi. Verificare: $11+7+7+5=30$.

Cum recunoști problema: „cel puțin una”, „ambele”, „niciuna”, „numai una” sunt cuvinte care cer diagrama Venn — o zonă pentru fiecare categorie.

Avansat

Ideile care deblochează problemele grele cu mulțimi sunt: traduci proprietatea elementelor într-o regulă de divizibilitate, gândești pe zonele diagramei Venn și cauți cazurile extreme.

Ideea 1 — elementele comune a două mulțimi de forma „$n=ak+r$” sunt tot o progresie. Adaugi un număr potrivit, ca amândouă formele să devină multipli.

Exemplu: $A=\{n\in\mathbb{N}\mid n=4k+1,\ k\in\mathbb{N}\}$ și $B=\{n\in\mathbb{N}\mid n=6k+5,\ k\in\mathbb{N}\}$. Cel mai mic element al lui $A\cap B$ mai mare decât $50$? Dacă $n=4k+1$, atunci $n+7=4k+8=4(k+2)$ se divide cu $4$; dacă $n=6j+5$, atunci $n+7=6j+12=6(j+2)$ se divide cu $6$. Deci $n+7$ este multiplu al lui $[4,6]=12$: elementele comune sunt $5, 17, 29, 41, 53,\ldots$ Pentru $n>50$ cel mai mic este $53$. Verificare: $53=4\cdot 13+1=6\cdot 8+5$.

Ideea 2 — o mulțime se reconstituie din zone. Reuniunea se împarte în trei zone: numai în $A$ ($A\setminus B$), în ambele ($A\cap B$) și numai în $B$ ($B\setminus A$).

Exemplul 2: $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A\cap B=\{3,5\}$ și $B\setminus A=\{6,7\}$. Elementele reuniunii care nu sunt în $A$ sunt exact cele din $B\setminus A$, deci $A=\{1,2,3,4,5\}$, iar $B=\{3,5,6,7\}$.

Ideea 3 — cazurile extreme. Dacă $A$ are $6$ elemente și $B$ are $9$, reuniunea îl conține pe $B$, deci are cel puțin $9$ elemente (când $A\subseteq B$) și cel mult $6+9=15$ (când mulțimile nu au elemente comune). Intersecția are cel mult $6$ elemente.

Exemplul 3: o mulțime cu $3$ elemente, $\{1,2,3\}$, are $2^3=8$ submulțimi: $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$, $\{1,2,3\}$. Fiecare element are două variante — este sau nu este în submulțime — deci numărul se dublează la fiecare element nou.