Teorie · A2 Mulțimi. Numere · clasa a VI-a
Mulțimi în clasa a VI-a: element, incluziune, cardinal, reuniune, intersecție, diferență
Ce este o mulțime, cum se scrie, apartenența și incluziunea, mulțimi finite și infinite, cardinalul, apoi reuniunea, intersecția și diferența, cu exemple rezolvate pe divizori și multipli, la nivelul clasei a VI-a.
De unde vine
Ideea că o parte poate fi „la fel de mare” ca întregul l-a încurcat și pe Galileo Galilei. În cartea „Două științe noi”, din 1638, el observa că unele numere sunt pătrate perfecte ($1$, $4$, $9$, $16$, …) și altele nu, deci pătratele par mai puține decât toate numerele. Și totuși, fiecărui număr îi corespunde exact un pătrat: $1\to 1$, $2\to 4$, $3\to 9$ și așa mai departe. Concluzia lui a fost că „egal”, „mai mare” și „mai mic” se pot folosi doar pentru mulțimi finite, nu pentru cele infinite.
Paradoxul este un exemplu timpuriu al ideii de a potrivi elementele două câte două. Abia în secolul al XIX-lea, Georg Cantor a construit o teorie în care mulțimile infinite pot fi comparate cu adevărat. De aceea, în clasa a VI-a, cardinalul (numărul de elemente) se calculează doar pentru mulțimi finite.
Semnul $\emptyset$ pentru mulțimea vidă este mult mai nou decât mulțimile însele. A fost introdus în 1939 de grupul de matematicieni francezi cunoscut sub numele Bourbaki, mai exact de André Weil, care s-a inspirat din litera Ø a alfabetelor danez și norvegian.
La ce folosește
Două autobuze pleacă din aceeași stație: primul la fiecare $4$ zile face o cursă specială, al doilea la fiecare $6$ zile. Zilele dintr-o lună de $30$ de zile în care au amândouă cursă specială sunt elementele comune ale multiplilor lui $4$ și ai lui $6$ dintre $1$ și $30$, adică intersecția $\{12, 24\}$.
În telefon ai $120$ de contacte, iar $85$ dintre ele folosesc și o aplicație de mesaje. Mulțimea celor din aplicație este inclusă în mulțimea contactelor din telefon, iar diferența lor — cei pe care îi poți doar suna — are $120-85=35$ de elemente.
Când sortezi deșeurile, fiecare obiect ajunge într-un singur coș: hârtie, plastic, sticlă. Coșurile sunt mulțimi fără elemente comune — intersecția oricăror două este mulțimea vidă — iar reuniunea lor este tot gunoiul adunat.
De bază
Din clasa a V-a lucrezi deja cu grupuri de numere, fără să le spui mulțimi: divizorii lui $12$, multiplii lui $5$, cifrele unui număr. În clasa a VI-a le dai un nume și o scriere: o mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elemente. Elementele pot fi numere (mulțime numerică) sau orice altceva — litere, zile, colegi (mulțime nenumerică).
O mulțime se scrie între acolade, fiecare element o singură dată, în orice ordine: $\{1,2,3\}=\{3,1,2\}$. Pentru un element folosești $\in$ („aparține”) sau $\notin$; între două mulțimi folosești $\subseteq$ („este inclusă”), când fiecare element al primei este și în a doua. Numărul de elemente al unei mulțimi finite $A$ se numește cardinalul ei, $\operatorname{card} A$. Mulțimea fără niciun element se numește vidă și se notează $\emptyset$.
Exemplu: $A$ este mulțimea literelor cuvântului MATEMATICA. Literele care se repetă se scriu o dată, deci $A=\{M,A,T,E,I,C\}$ și $\operatorname{card} A=6$. Avem $E\in A$, $R\notin A$, iar mulțimea literelor cuvântului TEMA, $\{T,E,M,A\}$, este inclusă în $A$.
Cu două mulțimi se fac trei operații: reuniunea $A\cup B$ (elementele din cel puțin una), intersecția $A\cap B$ (elementele comune) și diferența $A\setminus B$ (elementele lui $A$ care nu sunt în $B$).
Exemplul 2: $D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$ și $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$ sunt mulțimile divizorilor lui $12$ și $18$. Atunci $D_{12}\cup D_{18}=\{1,2,3,4,6,9,12,18\}$, $D_{12}\cap D_{18}=\{1,2,3,6\}$, $D_{12}\setminus D_{18}=\{4,12\}$ și $D_{18}\setminus D_{12}=\{9,18\}$. Intersecția este chiar $D_6$, mulțimea divizorilor lui $6$ — iar $6$ este c.m.m.d.c. al lui $12$ și $18$. În diagramă, fiecare număr stă în zona lui.
Diagrama din figură se numește diagramă Venn. O mulțime se reprezintă printr-o curbă închisă, de obicei un cerc sau un oval, cu elementele scrise înăuntru. Dacă $A\subseteq B$, curba lui $A$ stă în întregime în interiorul curbei lui $B$. Două mulțimi fără elemente comune au curbe separate. Două mulțimi cu elemente comune au curbe care se suprapun în parte și formează trei zone: zona comună este $A\cap B$, zona doar a lui $A$ este $A\setminus B$, zona doar a lui $B$ este $B\setminus A$, iar toate trei la un loc formează $A\cup B$.
Exemplul 3: în diagrama lui $D_{12}$ și $D_{18}$, zona doar a lui $D_{12}$ are $2$ numere ($4$ și $12$), zona comună are $4$, iar zona doar a lui $D_{18}$ are $2$. Deci $\operatorname{card}(D_{12}\cup D_{18})=2+4+2=8$.
Mediu
Multe mulțimi din clasa a VI-a sunt date printr-o proprietate a elementelor, nu prin listă. Primul pas este să le scrii pe toate, iar pentru asta folosești ce știi despre divizibilitate.
Exemplu: $A=\{x\in\mathbb{N}\mid 12:(x+1)\in\mathbb{N}\}$. Împărțirea este exactă doar dacă $x+1$ este divizor al lui $12$, adică $x+1\in\{1,2,3,4,6,12\}$. Scăzând $1$ din fiecare, $A=\{0,1,2,3,5,11\}$, deci $\operatorname{card} A=6$.
O mulțime este finită dacă îi poți număra elementele până la capăt, altfel este infinită. $D_{20}=\{1,2,4,5,10,20\}$ este finită, cu $6$ elemente. Mulțimea multiplilor lui $5$, $M_5=\{0,5,10,15,\ldots\}$, este infinită, la fel ca $\mathbb{N}$: oricât de mult ai scrie, urmează mereu altul. Pentru o mulțime infinită nu vorbim de cardinal în clasa a VI-a.
Exemplul 2: câte numere de la $1$ la $100$ se divid cu $2$ sau cu $3$? Multiplii lui $2$ sunt $50$, ai lui $3$ sunt $33$. Cei comuni se divid cu $6$ și sunt $16$; în suma $50+33$ au fost numărați de două ori. Deci reuniunea are $50+33-16=67$ de elemente, iar $100-67=33$ de numere nu se divid nici cu $2$, nici cu $3$.
Când se dă doar câte elemente are fiecare mulțime, completezi diagrama Venn cu numere în loc de elemente, începând cu zona comună.
Exemplul 3: într-o clasă de $28$ de elevi, $15$ joacă fotbal, $12$ joacă șah, iar $5$ le joacă pe amândouă. În zona comună scrii $5$. Doar fotbal joacă $15-5=10$ elevi, doar șah $12-5=7$. Cel puțin un joc practică $10+5+7=22$ de elevi, iar $28-22=6$ elevi nu joacă niciunul. Același $22$ iese și din $15+12-5$: în general, $\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)$, pentru că elementele comune sunt numărate o dată în $A$ și încă o dată în $B$.
Cum recunoști problema: „sau” cere reuniunea, „și” cere intersecția, „dar nu” cere diferența.
Avansat
Problemele mai grele de clasa a VI-a pun întrebări despre mulțimi ca întreg: când sunt egale două mulțimi, câte elemente are o mulțime dată printr-o regulă, ce legătură are o operație cu divizibilitatea.
Ideea 1 — două mulțimi sunt egale când au exact aceleași elemente. Nu contează ordinea, deci compari elementele, nu pozițiile.
Exemplu: $\{2,\ a+1,\ 7\}=\{2,\ 5,\ b-3\}$, cu $a,b\in\mathbb{N}$. Elementul $7$ trebuie să se afle și în a doua mulțime; el nu este nici $2$, nici $5$, deci $b-3=7$ și $b=10$. Rămâne ca $a+1=5$, deci $a=4$. Verificare: ambele mulțimi sunt $\{2,5,7\}$.
Ideea 2 — elementele de forma „$3k+2$” formează un șir cu pasul $3$; îl numeri de la primul la ultimul termen.
Exemplul 2: $A=\{n\in\mathbb{N}\mid n=3k+2,\ k\in\mathbb{N},\ n<100\}$. Primul element este $2$ ($k=0$), iar ultimul este $98=3\cdot 32+2$. Valorile lui $k$ merg de la $0$ la $32$, deci $\operatorname{card} A=33$. Același rezultat: $(98-2):3+1=33$.
Ideea 3 — divizorii comuni a două numere sunt exact divizorii c.m.m.d.c.-ului lor.
Exemplul 3: $D_{36}\cap D_{48}=D_{12}$, pentru că $(36,48)=12$. Deci intersecția are tot atâtea elemente câți divizori are $12$, adică $6$: $\{1,2,3,4,6,12\}$. Nu mai trebuie să scrii toți divizorii lui $36$ și $48$.
Greșeli frecvente
Elementele repetate numărate de mai multe ori: cuvântul MATEMATICA are $10$ litere, dar mulțimea literelor lui are doar $6$ elemente, $\{M,A,T,E,I,C\}$.
Confuzia dintre $\emptyset$ și $\{0\}$: mulțimea vidă nu are niciun element, $\operatorname{card}\emptyset=0$, pe când $\{0\}$ are un element, numărul $0$, deci cardinalul ei este $1$.
Semnul greșit între element și mulțime: se scrie $3\in\{1,3\}$, nu $3\subseteq\{1,3\}$; și $\{3\}\subseteq\{1,3\}$, nu $\{3\}\in\{1,3\}$.
Divizorii scriși fără capete: $D_{12}$ îi conține și pe $1$, și pe $12$. Fără ei, $\{2,3,4,6\}$ are doar $4$ elemente în loc de $6$.
O mulțime infinită socotită finită: faptul că ai scris multiplii lui $3$ doar până la $30$ nu face mulțimea $M_3$ finită; punctele de suspensie spun că urmează mereu alții.
Ordinea crezută importantă: $\{1,2,3\}$ și $\{3,1,2\}$ sunt aceeași mulțime; două mulțimi se compară după elemente, nu după locul în care sunt scrise.
Surse pentru partea istorică
- Galileo, „Două științe noi” (1638): pătratele par mai puține decât toate numerele, dar fiecărui număr îi corespunde un pătrat; egal, mai mare și mai mic se aplică doar cantităților finite; exemplu timpuriu de corespondență unu-la-unu, clarificat de Cantor în secolul al XIX-lea — en.wikipedia.org
- Semnul ∅ a fost introdus de grupul Bourbaki, mai exact de André Weil, în 1939, inspirat de litera Ø din alfabetele danez și norvegian — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.