Fracții ordinare: amplificare, simplificare, comparare și operații

De bază

O fracție $\frac{a}{b}$, cu $b\neq 0$, are numărătorul $a$ și numitorul $b$: întregul este împărțit în $b$ părți egale, din care se iau $a$. Fracția este subunitară dacă $a<b$, echiunitară dacă $a=b$ și supraunitară dacă $a>b$.

Amplificarea înseamnă înmulțirea numărătorului ȘI a numitorului cu același număr nenul; simplificarea înseamnă împărțirea amândurora la un divizor comun. Valoarea fracției nu se schimbă. O fracție care nu se mai poate simplifica este ireductibilă. Două fracții sunt egale dacă $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, adică $a\cdot d=b\cdot c$.

Exemplu: $\frac{18}{24}$ se simplifică cu $(18,24)=6$ și devine $\frac{3}{4}$, care este ireductibilă. Amplificată cu $5$, $\frac{3}{4}$ devine $\frac{15}{20}$; într-adevăr, $3\cdot 20=4\cdot 15$.

„$\frac{a}{b}$ din $x$” înseamnă $\frac{a}{b}\cdot x$: împarți la numitor și înmulțești cu numărătorul.

Exemplul 2: $\frac{2}{3}$ din $45$ este $\frac{2}{3}\cdot 45=30$ (o treime este $15$, două treimi sunt $30$).

Operațiile: fracțiile cu același numitor se adună sau se scad adunând sau scăzând numărătorii; la înmulțire se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei; împărțirea la o fracție este înmulțirea cu inversa ei.

Exemplul 3: $\frac{5}{6}:\frac{10}{9}=\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$. Se inversează numai împărțitorul.

Mediu

Fracțiile cu numitori diferiți se aduc întâi la același numitor, de obicei cel mai mic multiplu comun al numitorilor. La calcule cu mai multe operații se păstrează ordinea obișnuită: înmulțirile și împărțirile înaintea adunărilor și scăderilor.

Exemplu: $\frac{5}{6}+\frac{3}{8}$. Cel mai mic numitor comun este $[6,8]=24$, deci amplificăm prima fracție cu $4$ și a doua cu $3$: $\frac{20}{24}+\frac{9}{24}=\frac{29}{24}$.

Exemplul 2: $\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}$. Întâi înmulțirea: $\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. Apoi scăderea: $\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Problema tipică de examen cu „fracție din rest”: atenție la ce se referă fiecare fracție — la întreg sau la ce a rămas.

Exemplul 3: o carte are $72$ de pagini. În prima zi, Maria citește un sfert din carte, iar a doua zi $\frac{2}{3}$ din paginile rămase. În prima zi citește $\frac{1}{4}\cdot 72=18$ pagini, deci rămân $54$. A doua zi citește $\frac{2}{3}\cdot 54=36$ de pagini. Mai are de citit $54-36=18$ pagini.

Compararea: la același numitor, mai mare este fracția cu numărătorul mai mare; la același numărător, mai mare este cea cu numitorul mai mic. În rest, compari produsele în cruce: $\frac{5}{8}<\frac{7}{11}$, pentru că $5\cdot 11=55<56=8\cdot 7$.

Avansat

Problemele grele cu fracții se rezolvă aproape mereu cu o idee de rescriere, nu cu calcule lungi.

Ideea 1 — descompunerea în diferențe. Fracția $\frac{1}{k(k+1)}$ se scrie $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, iar într-o sumă termenii din mijloc se reduc doi câte doi.

Exemplu: $\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{19\cdot 20}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right)$. Rămân doar primul și ultimul termen: $\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{10}{20}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20}$.

Ideea 2 — compararea cu un reper. Când produsele în cruce sunt incomode, compari fiecare fracție cu $\frac{1}{2}$ sau cu $1$.

Exemplul 2: compară $\frac{17}{35}$ cu $\frac{19}{37}$. Jumătatea lui $35$ este $17{,}5$, iar $17<17{,}5$, deci $\frac{17}{35}<\frac{1}{2}$. Jumătatea lui $37$ este $18{,}5$, iar $19>18{,}5$, deci $\frac{19}{37}>\frac{1}{2}$. Rezultă $\frac{17}{35}<\frac{19}{37}$. Pentru fracții apropiate de $1$, compari ce le lipsește până la $1$: lui $\frac{2025}{2026}$ îi lipsește $\frac{1}{2026}$, mai mult decât îi lipsește lui $\frac{2026}{2027}$.

Ideea 3 — mersul invers cu fracții. Dacă știi ce a rămas, pornești de la sfârșit, iar fiecare fracție „din rest” se referă la cantitatea de la pasul anterior.

Exemplul 3: un elev citește în prima zi o treime dintr-o carte, a doua zi jumătate din paginile rămase și mai are $40$ de pagini. Cele $40$ de pagini sunt cealaltă jumătate din rest, deci restul după prima zi a fost $80$ de pagini. Acestea sunt $\frac{2}{3}$ din carte, deci o treime are $40$ de pagini, iar cartea are $120$ de pagini.