Teorie · A4 Mulțimi. Numere · clasa a V-a
Fracțiile ordinare în clasa a V-a: întregi și părți, procente, simplificare, numitor comun și operații
Fracțiile ordinare așa cum se învață în clasa a V-a: fracții subunitare, echiunitare și supraunitare, introducerea și scoaterea întregilor, reprezentarea pe axă, procente, amplificare și simplificare, numitorul comun, cele patru operații și puterile, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Una dintre cele mai vechi cărți care explică regulile de calcul cu fracții este chinezească: „Cele nouă capitole despre arta matematică”. A fost alcătuită de mai multe generații de învățați, iar ultima ei parte datează din secolul I d.Hr. Primul capitol, după problemele despre suprafețele câmpurilor, dă reguli pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor. În carte apare și o metodă de aflare a celui mai mare divizor comun a două numere — numărul cu care simplifici o fracție.
Procentele sunt fracții cu numitorul $100$ și sunt și ele vechi. În Roma antică, împăratul Augustus a pus o taxă de o sutime ($\frac{1}{100}$) pe lucrurile vândute la licitație, numită „centesima rerum venalium”. Cuvântul „procent” vine din italianul „per cento”, adică „la sută”. Cu timpul, în scris, „per” a dispărut, iar „cento” s-a strâns în două cerculețe despărțite de o linie — semnul $\%$ de azi.
La ce folosește
Notele din teste sunt fracții. Dacă ai obținut $18$ puncte din $20$, ai rezolvat $\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$ din test, adică $90\%$ — simplificarea îți arată imediat cât de bine ai lucrat.
Pe ambalaje găsești procente. O tabletă de ciocolată de $80$ g cu „$70\%$ cacao” conține $\frac{70}{100}\cdot 80=56$ g de cacao. Iar bara de baterie a telefonului îți arată tot un procent din baterie plină.
La bucătărie, cănile gradate au jumătăți și sferturi de litru. Dacă pui o jumătate de litru de lapte și apoi un sfert, ai $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ dintr-un litru, adică $750$ ml.
De bază
Din clasele primare știi că o jumătate, un sfert sau o treime sunt părți egale dintr-un întreg și că $\frac{3}{5}$ înseamnă $3$ părți din $5$ părți egale. În clasa a V-a lucrezi cu orice fracții: le compari, le aduni, le înmulțești, le împarți, și afli procente.
O fracție $\frac{a}{b}$ ($b\neq 0$) este subunitară dacă $a<b$ (mai mică decât un întreg), echiunitară dacă $a=b$ (exact un întreg) și supraunitară dacă $a>b$ (mai mult decât un întreg). O fracție supraunitară conține întregi, pe care îi poți scoate.
Exemplu: $\frac{17}{5}$: cum $17=5\cdot 3+2$, fracția conține $3$ întregi și mai rămân $\frac{2}{5}$, deci $\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}$. Invers, ca să introduci întregii în fracție: $2\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 4+3}{4}=\frac{11}{4}$.
Pe axa numerelor, fracția $\frac{3}{4}$ se află între $0$ și $1$: împarți segmentul de la $0$ la $1$ în $4$ părți egale și numeri $3$. Fracția $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$ se află după $1$, cu încă $3$ sferturi.
Compararea: la același numitor, mai mare este fracția cu numărătorul mai mare: $\frac{7}{9}>\frac{4}{9}$. La același numărător, mai mare este cea cu numitorul mai MIC, pentru că întregul e tăiat în bucăți mai mari: $\frac{5}{6}<\frac{5}{4}$.
Procentul $p\%$ este fracția $\frac{p}{100}$. Ca să afli $p\%$ dintr-un număr, înmulțești fracția cu numărul.
Exemplul 2: $25\%$ din $80$ este $\frac{25}{100}\cdot 80=20$. Sau, mai scurt: $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, iar un sfert din $80$ este $20$.
Mediu
Simplificarea: împarți numărătorul și numitorul la același număr. Cel mai repede ajungi la o fracție ireductibilă dacă împarți la cel mai mare divizor comun. În clasa a V-a îl găsești scriind divizorii.
Exemplu: simplifică $\frac{24}{36}$. Divizorii lui $24$: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$. Divizorii lui $36$: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. Cel mai mare divizor comun este $12$, deci $\frac{24}{36}=\frac{24:12}{36:12}=\frac{2}{3}$, care nu se mai poate simplifica.
Adunarea și scăderea: aduci fracțiile la un numitor comun — cel mai mic multiplu comun al numitorilor —, amplificând fiecare fracție.
Exemplul 2: $\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{2}{3}$. Cel mai mic număr care se împarte exact la $4$, $6$ și $3$ este $12$. Amplificăm: $\frac{9}{12}+\frac{10}{12}-\frac{8}{12}=\frac{9+10-8}{12}=\frac{11}{12}$.
Înmulțirea: numărător cu numărător, numitor cu numitor. Simplifici înainte să înmulțești, „în cruce”, ca să lucrezi cu numere mici.
Exemplul 3: $\frac{8}{15}\cdot\frac{25}{12}$. Simplificăm $8$ cu $12$ prin $4$ (rămân $2$ și $3$) și $25$ cu $15$ prin $5$ (rămân $5$ și $3$). Rezultatul: $\frac{2\cdot 5}{3\cdot 3}=\frac{10}{9}$.
Puterea unei fracții ridică la putere și numărătorul, și numitorul: $\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$. Fracția dintr-o fracție este tot o înmulțire: $\frac{3}{4}$ din $\frac{8}{9}$ este $\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$. Iar împărțirea la un număr natural înmulțește numitorul: $\frac{4}{5}:2=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$.
Avansat
Problemele grele de clasa a V-a cu fracții cer să vezi întregul ca pe un număr de „bucăți egale”.
Exemplu: Radu a cheltuit $40\%$ din bani pe o carte și $\frac{1}{3}$ din bani pe un joc. I-au rămas $32$ de lei. Câți bani avea? Ambele fracții sunt din aceeași sumă. $40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$, iar $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$. Au rămas $\frac{15}{15}-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$ din bani, adică $32$ de lei. O cincisprezecime este $32:4=8$ lei, deci Radu avea $15\cdot 8=120$ de lei. Verificare: $40\%$ din $120$ este $48$, o treime este $40$, iar $120-48-40=32$.
O fracție între alte două: amplifici amândouă până apare loc între numărători.
Exemplul 2: o fracție între $\frac{2}{5}$ și $\frac{3}{5}$: amplificate cu $2$ devin $\frac{4}{10}$ și $\frac{6}{10}$, iar între ele este $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Pentru $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{2}$: la numitorul $6$ sunt $\frac{2}{6}$ și $\frac{3}{6}$ — numărători vecini, fără loc între ei. Amplificăm încă o dată cu $2$: $\frac{4}{12}$ și $\frac{6}{12}$, iar între ele este $\frac{5}{12}$.
Compararea prin numărători egali: când numitorii sunt incomozi, faci numărătorii la fel.
Exemplul 3: compară $\frac{4}{7}$ cu $\frac{6}{11}$. Amplificăm ca să ajungem la numărătorul $12$: $\frac{4}{7}=\frac{12}{21}$ și $\frac{6}{11}=\frac{12}{22}$. Aceeași bucată de $12$ părți, dar întregul tăiat în $21$ de părți are părțile mai mari, deci $\frac{4}{7}>\frac{6}{11}$.
Greșeli frecvente
Numărul cu întregi citit ca înmulțire: $2\frac{3}{4}$ înseamnă $2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$, nu $2\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$.
La același numărător, fracția cu numitorul mai mare socotită mai mare: $\frac{1}{8}<\frac{1}{6}$, pentru că o optime de pizza e mai mică decât o șesime.
Simplificarea oprită prea devreme: $\frac{24}{36}=\frac{12}{18}$ este corect, dar nu e gata — $\frac{12}{18}$ se mai simplifică prin $6$ și dă $\frac{2}{3}$. Răspunsul final trebuie să fie ireductibil.
Procentul scăzut sau înmulțit direct: $20\%$ din $50$ nu este $50-20=30$ și nici $20\cdot 50$. Este $\frac{20}{100}\cdot 50=10$.
Puterea aplicată doar numărătorului: $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$, nu $\frac{4}{3}$.
Numărul natural înmulțit și cu numitorul: $3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}$, nu $\frac{6}{21}$. Numărul natural înmulțește doar numărătorul.
Surse pentru partea istorică
- Primul capitol din Cele nouă capitole despre arta matematică dă, după problemele de arii, reguli pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor; cartea dă și o metodă de aflare a celui mai mare divizor comun — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Cele nouă capitole au fost alcătuite de mai multe generații de învățați, ultima etapă fiind din secolul I d.Hr. — en.wikipedia.org
- Augustus a pus o taxă de 1/100 pe bunurile vândute la licitație (centesima rerum venalium); procent vine din italianul per cento, iar semnul % s-a format din prescurtarea lui cento — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.