Teorie · A5 Mulțimi. Numere · clasa a V-a
Fracții zecimale: transformări, aproximări, comparare și operații
Fracțiile zecimale finite și periodice: transformarea în fracții ordinare, compararea, rotunjirea și cele patru operații, de la regula de bază la problemele cu perioade, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Fracțiile zecimale nu au un singur inventator. Matematicianul persan al-Kashi a terminat în 1427 cartea „Cheia aritmeticii”, în care le descrie foarte clar; cu câțiva ani înainte, în 1424, calculase $2\pi$ cu $16$ zecimale exacte, o precizie neatinsă până atunci. Arabii și chinezii foloseau zecimalele cu mult înaintea europenilor.
În Europa, zecimalele au fost făcute cunoscute de Simon Stevin, printr-o broșură de doar $29$ de pagini, publicată în 1585. Stevin nu le-a inventat, dar a arătat pe înțelesul tuturor cum se calculează cu ele și a scris-o pentru topografi, negustori și monetari. O traducere engleză din 1608 l-a inspirat pe Thomas Jefferson să propună o monedă zecimală pentru Statele Unite — de aceea a zecea parte dintr-un dolar se numește și azi „dime”.
Semnul care desparte întregii de zecimi diferă de la o țară la alta. Tabelele de logaritmi ale lui John Napier, din 1614 și 1619, foloseau punctul, care s-a impus în țările de limbă engleză. În România, ca în cea mai mare parte a Europei, se folosește virgula, iar standardul internațional le acceptă pe amândouă.
La ce folosește
Banii sunt fracții zecimale cu două zecimale: $1$ leu are $100$ de bani. Un bon cu $3$ sucuri de câte $4{,}75$ lei și o pâine de $2{,}30$ lei face $3\cdot 4{,}75+2{,}30=16{,}55$ lei. Când se împart bani în părți egale, apar zecimale periodice: $10$ lei împărțiți la $3$ dau $3{,}333\ldots$ lei; fiecare primește $3{,}33$ lei și rămâne $1$ ban, pentru că $10-3\cdot 3{,}33=0{,}01$.
Consumul unei mașini se dă în litri la $100$ de km. Cu un consum de $6{,}5$ litri la $100$ de km, un drum de $340$ de km consumă $3{,}4\cdot 6{,}5=22{,}1$ litri. Aceleași calcule le fac aplicațiile de navigație când estimează costul unui drum.
Măsurătorile de zi cu zi sunt zecimale: înălțimea de $1{,}62$ m, temperatura de $36{,}6$ grade, timpii de la atletism măsurați la sutimea de secundă. Rotunjirea corectă contează: un cântar care afișează $1{,}25$ kg a rotunjit deja greutatea reală.
De bază
În fracția zecimală $2{,}375$, cifrele de după virgulă sunt zecimi, sutimi și miimi: $2{,}375=2+\frac{3}{10}+\frac{7}{100}+\frac{5}{1000}$.
O fracție zecimală finită se transformă în fracție ordinară scriind numărul fără virgulă la numărător și, la numitor, $1$ urmat de atâtea zerouri câte zecimale are. Apoi se simplifică.
Exemplu: $0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$ și $1{,}2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$. Invers, o fracție ordinară devine zecimală prin împărțirea numărătorului la numitor: $\frac{3}{8}=3:8=0{,}375$.
Compararea: compari întâi partea întreagă, apoi zecimalele, poziție cu poziție (poți completa cu zerouri la dreapta). Rotunjirea: te uiți la prima cifră pe care o tai; dacă este $5$ sau mai mare, crești cu $1$ ultima cifră păstrată.
Exemplul 2: ordinea crescătoare a numerelor $0{,}7$, $0{,}65$ și $0{,}076$ este $0{,}076<0{,}65<0{,}7$ (scrise cu trei zecimale: $0{,}076$, $0{,}650$, $0{,}700$). Numărul $7{,}846$ rotunjit la zecimi este $7{,}8$, iar la sutimi este $7{,}85$.
Operațiile: la adunare și scădere se așază virgulă sub virgulă; la înmulțire se înmulțesc numerele fără virgulă, iar rezultatul are atâtea zecimale câte au factorii împreună; la împărțire se înmulțesc ambele numere cu $10$, $100$, … până când împărțitorul devine număr natural.
Exemplul 3: $1{,}25\cdot 0{,}4$: $125\cdot 4=500$, iar factorii au împreună trei zecimale, deci rezultatul este $0{,}500=0{,}5$. Și $4{,}2:0{,}06=420:6=70$ (ambele numere înmulțite cu $100$).
Mediu
Unele fracții ordinare dau prin împărțire o infinitate de zecimale care se repetă: fracții zecimale periodice. Perioada se scrie în paranteză: $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots=0{,}(3)$.
O fracție ordinară ireductibilă dă o zecimală finită exact atunci când numitorul ei nu are alți factori primi decât $2$ și $5$. Altfel, dă o fracție periodică.
Exemplu: $\frac{7}{20}=0{,}35$ este finită, pentru că $20=2^2\cdot 5$. În schimb $\frac{5}{12}=0{,}41666\ldots=0{,}41(6)$ este periodică, pentru că $12$ are factorul $3$.
Transformarea în fracție ordinară. Periodică simplă (perioada începe imediat după virgulă): la numărător perioada, la numitor câte un $9$ pentru fiecare cifră a perioadei, de exemplu $0{,}(27)=\frac{27}{99}$. Periodică mixtă: la numărător, numărul format din cifrele de după virgulă minus partea neperiodică; la numitor, câte un $9$ pentru fiecare cifră a perioadei, urmat de câte un $0$ pentru fiecare cifră neperiodică.
Exemplul 2: $0{,}2(3)=\frac{23-2}{90}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}$. Verificare: $7:30=0{,}2333\ldots$ Iar $1{,}(3)=1+\frac{3}{9}=\frac{4}{3}$.
Problema tipică de examen amestecă periodice și finite: le transformi pe toate în fracții ordinare, apoi respecți ordinea operațiilor.
Exemplul 3: $0{,}(6)+1{,}5\cdot 0{,}4$. Întâi înmulțirea: $1{,}5\cdot 0{,}4=0{,}6=\frac{3}{5}$. Apoi $0{,}(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, iar $\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}$.
Avansat
La fracțiile zecimale, ideile care deblochează problemele grele țin de perioadă: ea se repetă la nesfârșit, deci orice întrebare despre „a $n$-a zecimală” se reduce la un rest.
Ideea 1 — a $n$-a zecimală a unei fracții periodice se află cu restul împărțirii lui $n$ la lungimea perioadei.
Exemplu: care este a $2026$-a zecimală a numărului $\frac{3}{7}$? Prin împărțire, $\frac{3}{7}=0{,}428571428571\ldots=0{,}(428571)$, cu perioada de $6$ cifre. Cum $2026=6\cdot 337+4$, după $337$ de perioade complete urmează a $4$-a cifră a perioadei, adică $5$.
Ideea 2 — ca să compari numere periodice, scrie mai multe zecimale sau transformă-le în fracții ordinare.
Exemplul 2: ordonează $0{,}34$, $0{,}(34)$ și $0{,}3(4)$. Scrise pe larg: $0{,}340000\ldots$, $0{,}343434\ldots$ și $0{,}344444\ldots$ Compari cifră cu cifră: primele două cifre sunt egale, iar a treia zecimală decide ($0<3<4$). Deci $0{,}34<0{,}(34)<0{,}3(4)$. Cu fracții: $\frac{34}{100}<\frac{34}{99}<\frac{31}{90}$.
Ideea 3 — regula periodicelor dă și rezultate surprinzătoare. După regulă, $0{,}(9)=\frac{9}{9}=1$.
Exemplul 3: de ce $0{,}(9)=1$? Știm că $\frac{1}{3}=0{,}(3)$. Înmulțind cu $3$: $3\cdot\frac{1}{3}=1$, iar $3\cdot 0{,}333\ldots=0{,}999\ldots$ Deci $0{,}(9)$ și $1$ sunt același număr, scris în două feluri. Nu există niciun număr „între” ele.
Greșeli frecvente
Perioada citită greșit: $0{,}(4)$ nu este $0{,}4$ și nici $\frac{4}{99}$ sau $\frac{4}{90}$. Perioada are o cifră și începe imediat după virgulă, deci $0{,}(4)=\frac{4}{9}$.
La periodica mixtă, partea neperiodică nescăzută: $0{,}1(6)=\frac{16-1}{90}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$, nu $\frac{16}{90}$. Și nu o trata ca periodică simplă, $\frac{16}{99}$.
Transformarea greșită a zecimalelor finite: $2{,}4$ nu este $\frac{2}{4}$ (virgula nu este linie de fracție) și nici $\frac{24}{100}$. Are o singură zecimală, deci $2{,}4=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$.
La împărțire, un singur număr înmulțit cu $10$: $0{,}36:0{,}4=3{,}6:4=0{,}9$ — ambele numere se înmulțesc cu același $10$. Dacă înmulțești doar împărțitorul, obții $0{,}09$, greșit.
La înmulțire, zecimalele pierdute: $0{,}5\cdot 1{,}2$ nu este $6$, ci $0{,}6$, pentru că factorii au împreună două zecimale: $0{,}60$.
Compararea după numărul de cifre: $0{,}45$ nu este mai mare decât $0{,}5$ pentru că „$45>5$”. Completează cu zerouri: $0{,}45<0{,}50$.
Surse pentru partea istorică
- Al-Kashi a terminat Cheia aritmeticii în 1427, cu o descriere clară a fracțiilor zecimale, și a calculat 2π cu 16 zecimale în 1424 — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Stevin a publicat în 1585 o broșură de 29 de pagini despre fracțiile zecimale; nu le-a inventat (le foloseau arabii și chinezii); traducerea engleză din 1608 l-a inspirat pe Jefferson să propună o monedă zecimală — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Tabelele de logaritmi ale lui Napier (1614 și 1619) foloseau punctul zecimal; România folosește virgula; standardul internațional acceptă ambele — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.