Fracțiile zecimale în clasa a V-a: virgula, aproximări, operații, media aritmetică și periodicitatea

De bază

Din clasele primare știi că $1$ m are $100$ cm și $1$ leu are $100$ de bani. Fracțiile zecimale scriu exact asta, cu virgulă: $1$ m și $35$ cm înseamnă $1{,}35$ m. În clasa a V-a înveți să calculezi cu ele și să le transformi în fracții ordinare și invers.

Cifrele de după virgulă sunt zecimi, sutimi, miimi: $3{,}07=3+\frac{0}{10}+\frac{7}{100}$. O fracție cu numitorul $10$, $100$, $1000$ se scrie direct cu virgulă: $\frac{47}{100}=0{,}47$. Dacă numitorul nu este de felul acesta, încearcă să amplifici.

Exemplu: $\frac{9}{25}$: amplificăm cu $4$ și obținem $\frac{36}{100}=0{,}36$. Invers, $2{,}05=\frac{205}{100}$, care se simplifică prin $5$: $\frac{41}{20}$.

Fracția ordinară $\frac{3}{4}$ și fracția zecimală $0{,}75$ sunt două scrieri ale aceluiași număr. Un număr care se poate scrie ca fracție $\frac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ numere naturale și $b\neq 0$, se numește număr rațional pozitiv. Și numerele naturale sunt printre ele: $5=\frac{5}{1}$.

Pe axa numerelor, o fracție zecimală își are locul între două numere naturale. Pentru $1{,}3$ împarți segmentul de la $1$ la $2$ în $10$ părți egale și numeri $3$ zecimi de la $1$. Numărul $1{,}35$ este la jumătatea drumului dintre $1{,}3$ și $1{,}4$, iar $0{,}7$ este la $7$ zecimi după $0$. Ca la naturale, mai mare este numărul aflat mai la dreapta.

Înmulțirea cu $10$, $100$, $1000$ mută virgula la DREAPTA cu $1$, $2$, $3$ locuri; împărțirea mută virgula la STÂNGA.

Exemplul 2: $3{,}45\cdot 100=345$, iar $72{,}1:1000=0{,}0721$ (am completat cu zerouri în față ca să avem loc pentru mutare).

Compararea: întâi partea întreagă, apoi zecimalele, pe rând. Ca să vezi mai ușor, completează cu zerouri la dreapta, până au toate același număr de zecimale. Rotunjirea: te uiți la prima cifră pe care o tai; dacă este $5$ sau mai mare, ultima cifră păstrată crește cu $1$.

Exemplul 3: ordonează $2{,}3$, $2{,}03$ și $2{,}299$. Cu trei zecimale: $2{,}300$, $2{,}030$, $2{,}299$, deci $2{,}03<2{,}299<2{,}3$. Numărul $12{,}47$ rotunjit la unități este $12$, iar la zecimi este $12{,}5$.

Mediu

Adunarea și scăderea: așezi numerele virgulă sub virgulă și completezi cu zerouri unde lipsesc cifre.

Exemplu: ai $20$ de lei și cumperi o carte de $4{,}35$ lei și o minge de $7{,}8$ lei. Cheltui $4{,}35+7{,}80=12{,}15$ lei, iar rest primești $20{,}00-12{,}15=7{,}85$ lei.

Înmulțirea: înmulțești numerele ca și cum n-ar avea virgulă, apoi rezultatul primește atâtea zecimale câte au factorii împreună.

Exemplul 2: $2{,}4\cdot 0{,}35$: $24\cdot 35=840$; factorii au împreună $1+2=3$ zecimale, deci rezultatul este $0{,}840=0{,}84$.

Puterea unei fracții zecimale este tot o înmulțire repetată, deci se aplică aceeași regulă: ridici la putere numărul fără virgulă, iar zecimalele se adună. La pătrat numărul de zecimale se dublează, la cub se triplează.

Exemplul 3: $0{,}3^2=0{,}3\cdot 0{,}3=0{,}09$ (pentru că $3\cdot 3=9$ și sunt $2$ zecimale), nu $0{,}9$. La fel, $1{,}2^2=1{,}44$ ($12\cdot 12=144$) și $0{,}2^3=0{,}008$ ($2^3=8$, cu $3$ zecimale). Atunci $1{,}2^2-10\cdot 0{,}3^2=1{,}44-0{,}9=0{,}54$.

Împărțirea a două numere naturale poate da un rezultat zecimal: continui împărțirea după virgulă, adăugând zerouri la rest. Așa afli media aritmetică: aduni numerele și împarți suma la câte numere sunt.

Exemplul 4: $7:4=1{,}75$. Media numerelor $7$, $9$, $10$ și $8$ este $(7+9+10+8):4=34:4=8{,}5$.

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face ca de obicei, iar virgula apare în cât când o „cobori” din deîmpărțit: $9{,}6:8=1{,}2$. La împărțirea la o fracție zecimală, înmulțești ambele numere cu $10$, $100$, … până când împărțitorul devine natural.

Exemplul 5: $1{,}44:0{,}12$: înmulțim ambele cu $100$ și obținem $144:12=12$.

Avansat

Unele împărțiri nu se termină niciodată: cifrele încep să se repete. Ideea este să te uiți la RESTURI. Restul este mereu mai mic decât împărțitorul, deci, mai devreme sau mai târziu, un rest apare a doua oară — și din acel moment totul se repetă.

Exemplu: $4:11$. Resturile sunt $4$, apoi $40=11\cdot 3+7$ (cifra $3$, restul $7$), apoi $70=11\cdot 6+4$ (cifra $6$, restul $4$). Restul $4$ a revenit, deci cifrele $3$ și $6$ se repetă la nesfârșit: $4:11=0{,}363636\ldots=0{,}(36)$. Grupul care se repetă se numește perioadă. La fel, $5:6=0{,}8333\ldots=0{,}8(3)$ — aici perioada începe după o cifră care nu se repetă.

Transformarea înapoi în fracție ordinară: pentru o periodică simplă, pui perioada la numărător și câte un $9$ pentru fiecare cifră a ei la numitor. Pentru una mixtă, la numărător scrii numărul format din cifrele de după virgulă minus partea care nu se repetă, iar la numitor câte un $9$ pentru fiecare cifră a perioadei și câte un $0$ pentru fiecare cifră neperiodică.

Exemplul 2: $0{,}(45)=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$ și $0{,}1(2)=\frac{12-1}{90}=\frac{11}{90}$. Verificare prin împărțire: $5:11=0{,}4545\ldots$ și $11:90=0{,}1222\ldots$

Calcule amestecate: transformi periodicele în fracții ordinare și respecți ordinea operațiilor.

Exemplul 3: $(2{,}5-0{,}(3)\cdot 1{,}5):0{,}25$. Cum $0{,}(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, avem $\frac{1}{3}\cdot 1{,}5=0{,}5$. În paranteză: $2{,}5-0{,}5=2$. La sfârșit: $2:0{,}25=200:25=8$.

Probleme cu unități de măsură: aduci totul la aceeași unitate înainte să calculezi. Reține că $1$ dm$^3$ $=1$ l.

Exemplul 4: un robinet curge $2{,}5$ l pe minut. În cât timp umple un vas de $45$ dm$^3$? Vasul are $45$ l, deci durează $45:2{,}5=450:25=18$ minute.

Exemplul 5: Ioana are notele $9$, $8$ și $8$. Media lor este $25:3=8{,}333\ldots=8{,}(3)$. Ce notă îi trebuie la a patra lucrare ca media să fie $8{,}5$? Patru note cu media $8{,}5$ au suma $8{,}5\cdot 4=34$, deci îi trebuie $34-25=9$.