Teorie · A6 Mulțimi. Numere · clasa a VI-a
Numere întregi: operații, puteri și regulile semnelor
Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea și puterile numerelor întregi, cu regulile semnelor și ordinea operațiilor, de la regula de bază la problemele care cer o idee, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Numerele negative au apărut întâi în China. Cartea „Cele nouă capitole despre arta matematică” a fost scrisă de mai multe generații de învățați, iar ultima ei formă datează din secolul I d.Hr. Calculele se făceau cu bețișoare așezate pe o tablă: bețișoarele roșii însemnau cantități pozitive, iar cele negre cantități negative, și cartea dă regulile de adunare și scădere ale lor.
În India, Brahmagupta a scris în anul 628 cartea „Brahmasphutasiddhanta”, în care numerele pozitive sunt „averi”, iar cele negative „datorii”. Tot el a scris regulile semnelor pe care le folosim și azi: produsul a două averi este o avere, produsul unei averi cu o datorie este o datorie, iar produsul a două datorii este o avere — adică „minus ori minus dă plus”.
În Europa, numerele negative au fost primite cu neîncredere mult timp. Grecul Diofant (secolul al III-lea d.Hr.) a numit „absurdă” o ecuație a cărei soluție ar fi fost negativă, iar germanul Michael Stifel le numea, în 1544, „numeri absurdi” — numere absurde. Chiar și cei care le respingeau le foloseau totuși în calcule, pentru că dădeau rezultate corecte.
La ce folosește
Temperaturile sub zero sunt numere întregi negative. Dacă dimineața termometrul arată $-7^\circ$C, iar la prânz $5^\circ$C, încălzirea a fost de $5-(-7)=12$ grade. Între un congelator la $-18^\circ$C și o cameră la $22^\circ$C diferența este de $22-(-18)=40$ de grade.
Un cont bancar poate intra „pe minus”. Cu $150$ de lei în cont și o plată de $230$ de lei făcută cu descoperit de cont, soldul devine $150-230=-80$ de lei. După ce se depun $100$ de lei, soldul este $-80+100=20$ de lei.
Etajele unei clădiri cu parcare subterană se numerotează tot cu întregi: parterul este $0$, subsolurile sunt $-1$, $-2$. Un lift care urcă de la etajul $-2$ la etajul $7$ trece peste $7-(-2)=9$ etaje.
De bază
Numerele întregi sunt $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$ și formează mulțimea $\mathbb{Z}$. Modulul unui număr întreg este distanța lui până la $0$ pe axă: $|-5|=5$, $|5|=5$. Două numere care diferă doar prin semn, ca $-5$ și $5$, se numesc opuse.
Adunarea: dacă numerele au același semn, se adună modulele și se păstrează semnul comun. Dacă au semne diferite, se scade modulul mai mic din cel mai mare, iar rezultatul primește semnul numărului cu modulul mai mare.
Scăderea înseamnă adunarea opusului: $a-b=a+(-b)$. În special, $-(-b)=+b$.
Exemplu: $-6-(-9)=-6+9$. Semnele sunt diferite, $9>6$, deci rezultatul are semnul lui $9$: $-6-(-9)=3$.
Înmulțirea și împărțirea: se lucrează cu modulele, iar semnul se stabilește așa — semne la fel dau plus, semne diferite dau minus.
Exemplul 2: $(-3)\cdot(-4)+(-10):2$. Întâi înmulțirea și împărțirea: $(-3)\cdot(-4)=12$ (semne la fel) și $(-10):2=-5$ (semne diferite). Apoi $12+(-5)=7$.
Mediu
Un exercițiu cu numere întregi amestecă de obicei semnele cu ordinea operațiilor. Ordinea este aceeași ca la numerele naturale: parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, la sfârșit adunările și scăderile.
Exemplu: $-4-3\cdot(-2)+(-12):(-4)$. Întâi $3\cdot(-2)=-6$, deci $-3\cdot(-2)=+6$, și $(-12):(-4)=3$. Rezultă $-4+6+3=5$. Cine calculează de la stânga la dreapta, $(-4-3)\cdot(-2)$, greșește ordinea.
Puterile unui număr negativ: exponentul par dă rezultat pozitiv, exponentul impar dă rezultat negativ. De aceea $(-1)^n$ este $1$ când $n$ este par și $-1$ când $n$ este impar.
Atenție la paranteze: $(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4$, dar $-2^2=-(2\cdot 2)=-4$, pentru că puterea se face înaintea semnului din față.
Exemplul 2: $(-2)^3\cdot(-5)^2:(-10)$. Exponentul $3$ este impar, deci $(-2)^3=-8$; exponentul $2$ este par, deci $(-5)^2=25$. Apoi $-8\cdot 25=-200$ și $(-200):(-10)=20$.
Cum recunoști problema: dacă vezi multe paranteze cu numere negative și puteri, stabilește întâi semnul fiecărei puteri, apoi fă înmulțirile, abia la final adunările.
Avansat
Problemele grele cu numere întregi au de obicei foarte mulți termeni. Nimeni nu se așteaptă să-i aduni pe rând: ideea este să-i grupezi.
Ideea 1 — grupezi termenii câte doi. Când semnele alternează, fiecare pereche are aceeași valoare.
Exemplu: $S=1-2+3-4+\ldots+99-100$. Grupăm: $S=(1-2)+(3-4)+\ldots+(99-100)$. Sunt $100:2=50$ de paranteze, fiecare egală cu $-1$, deci $S=-50$.
Ideea 2 — pentru semnul unui produs numeri factorii negativi. Un număr par de factori negativi dă produs pozitiv, un număr impar dă produs negativ.
Exemplul 2: $P=(-1)^1\cdot(-1)^2\cdot(-1)^3\cdot\ldots\cdot(-1)^{10}$. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: $1+2+\ldots+10=55$. Deci $P=(-1)^{55}=-1$, pentru că $55$ este impar.
Ideea 3 — opusele se anulează. Într-o sumă de numere întregi consecutive, perechile $-k$ și $k$ dau $0$ și rămân doar numerele fără pereche.
Exemplul 3: suma numerelor întregi $x$ cu $-7\le x<5$. Numerele sunt $-7,-6,\ldots,3,4$. Perechile de la $-4$ la $4$ se anulează, iar rămân $-7+(-6)+(-5)=-18$. Atenție la capete: $-7$ intră ($\le$), iar $5$ nu intră ($<$).
Greșeli frecvente
Păstrarea minusului în fața unui număr negativ: $-(-9)$ nu este $-9$, ci $+9$. Deci $-6-(-9)=-6+9=3$, nu $-15$.
Semnul greșit la adunarea a două numere cu semne diferite: la $-6+9$ rezultatul primește semnul numărului cu modulul mai mare, adică $+3$, nu $-3$.
Regula semnelor uitată la înmulțire: $(-3)\cdot(-4)=12$, nu $-12$. Semne la fel dau plus, iar la împărțire este la fel: $(-12):(-4)=3$.
Calculul de la stânga la dreapta, fără ordinea operațiilor: în $-4-3\cdot(-2)$ se face întâi înmulțirea, $-4+6=2$, nu $(-4-3)\cdot(-2)=14$.
Puterea citită ca înmulțire cu exponentul: $(-5)^2$ nu este $(-5)\cdot 2=-10$, ci $(-5)\cdot(-5)=25$.
Paritatea exponentului inversată: $(-1)^{2026}=1$, pentru că $2026$ este par, iar $(-1)^{2025}=-1$, pentru că $2025$ este impar.
Surse pentru partea istorică
- „Cele nouă capitole despre arta matematică”, ultima formă din secolul I d.Hr., bețișoare roșii pentru pozitive și negre pentru negative — en.wikipedia.org
- „Cele nouă capitole”, scrise de mai multe generații, ultima etapă în secolul I d.Hr., cu regulile de adunare și scădere a numerelor pozitive și negative — en.wikipedia.org
- Brahmagupta, „Brahmasphutasiddhanta” (628): averi și datorii, produsul a două datorii este o avere — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Diofant (secolul al III-lea) numește absurdă o ecuație cu soluție negativă, Michael Stifel le numește „numeri absurdi” în 1544 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.