Numere întregi în clasa a VI-a: axa, modulul, operațiile, puterile și regulile semnelor

De bază

Din clasa a V-a știi să scazi numere naturale, dar $3-5$ nu avea sens: nu poți lua $5$ dintr-un $3$. În clasa a VI-a apar numerele întregi, $\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$, și atunci $3-5=-2$. Numerele naturale sunt și ele întregi, deci tot ce știai rămâne adevărat.

Pe axa numerelor, negativele stau la stânga lui $0$. Dintre două numere întregi, mai mare este cel aflat mai la dreapta. Opusul lui $a$ este $-a$, simetricul lui față de $0$. Modulul $|a|$ este distanța de la $a$ la $0$, deci nu este niciodată negativ.

Exemplu: ordonează crescător $-5$, $3$, $-12$, $0$, $7$, $-1$. Negativele vin primele, iar dintre ele cel cu modulul cel mai mare este cel mai mic: $-12<-5<-1<0<3<7$. Și un calcul cu module: $|-8|+|3|-|-5|=8+3-5=6$.

Adunarea se poate citi pe axă: $a+b$ înseamnă să pornești din $a$ și să mergi $b$ pași — la dreapta dacă $b$ este pozitiv, la stânga dacă este negativ.

Exemplul 2: $-4+7$: pornești din $-4$ și mergi $7$ pași la dreapta; treci de $0$ după $4$ pași și mai faci $3$, deci $-4+7=3$. Iar $2-9$: pornești din $2$ și mergi $9$ pași la stânga, deci $2-9=-7$.

La împărțire, în clasa a VI-a lucrezi doar când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului: $(-35):7=-5$, semnele fiind diferite. Împărțirea $(-7):2$ nu are rezultat întreg, așa că nu o faci încă.

Mediu

Proprietățile adunării și înmulțirii din clasa a V-a — comutativitatea, asocierea, factorul comun — rămân valabile în $\mathbb{Z}$. Folosite bine, scurtează calculul.

Exemplu: $(-25)\cdot 17\cdot(-4)$. Schimbi ordinea factorilor și grupezi $(-25)\cdot(-4)=100$, apoi $100\cdot 17=1700$. Iar $(-13)\cdot 47+(-13)\cdot 53=(-13)\cdot(47+53)=(-13)\cdot 100=-1300$ — factorul comun $-13$ scoate calculul lung.

Regulile de calcul cu puteri din clasa a V-a se aplică și pentru o bază negativă: la înmulțire exponenții se adună, la împărțire se scad, la putere se înmulțesc.

Exemplul 2: $(-5)^7\cdot(-5)^3:(-5)^8=(-5)^{7+3-8}=(-5)^2=25$. Și $\left[(-2)^3\right]^2=(-2)^6=64$, pozitiv, pentru că $6$ este par.

Ordinea operațiilor este aceeași: întâi parantezele rotunde, apoi cele pătrate, în fiecare întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, la sfârșit adunările și scăderile.

Exemplul 3: $20-\left[(-3)^2-4\cdot(-2)\right]:(-17)$. În paranteza pătrată: $(-3)^2=9$ și $4\cdot(-2)=-8$, deci $9-(-8)=17$. Apoi $17:(-17)=-1$ și $20-(-1)=21$.

Avansat

În clasa a VI-a apar și primele inecuații și probleme de tipul „găsește toate numerele întregi pentru care…”. Ideea este să aduci condiția la o formă simplă, apoi să enumeri toate valorile.

Ideea 1 — la o dublă inegalitate faci aceeași operație în toate cele trei părți.

Exemplu: numerele întregi $x$ pentru care $-3<2x-1\le 5$. Aduni $1$ peste tot: $-2<2x\le 6$. Împarți peste tot la $2$, un număr pozitiv: $-1<x\le 3$. Numărul $-1$ nu intră (inegalitate strictă), $3$ intră, deci $x\in\{0,1,2,3\}$.

Ideea 2 — o împărțire este exactă doar când împărțitorul este un divizor. În $\mathbb{Z}$ divizorii au și variantă negativă.

Exemplul 2: numerele întregi $x$ pentru care $6:(x-2)$ este număr întreg. Trebuie ca $x-2$ să fie unul dintre $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$. Adunând $2$: $x\in\{-4,-1,0,1,3,4,5,8\}$ — opt valori, nu patru, cum ar ieși dacă ai uita divizorii negativi. Verificare pentru $x=-4$: $6:(-6)=-1$.