Teorie · A7 Mulțimi. Numere · clasa a VI-a
Numere raționale: axa numerelor, comparare și operații cu fracții
Numerele raționale pe axă, compararea lor, opusul și inversul, adunarea, înmulțirea, împărțirea și puterile fracțiilor cu semn, de la regula de bază la problemele care cer o idee, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Fracțiile sunt mult mai vechi decât numerele negative. Papirusul Rhind, copiat în Egipt de scribul Ahmes în jurul anilor 1650–1550 î.Hr. după un text și mai vechi, conține un tabel în care fracțiile de forma $\frac{2}{n}$, pentru $n$ impar de la $3$ la $101$, sunt scrise ca sume de fracții cu numărătorul $1$. Egiptenii lucrau aproape numai cu astfel de fracții: de exemplu, $\frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$.
Numerele raționale cu semn au nevoie și de numerele negative, a căror poveste este pe pagina despre numere întregi. Ce le leagă pe toate este axa numerelor.
Prima folosire a axei pentru a face calcule apare în „Tratatul de algebră” al englezului John Wallis, din 1685. Wallis explica adunarea și scăderea ca pe drumul unui om care merge înainte sau înapoi pe o dreaptă — exact cum ne gândim și azi la $-\frac{2}{3}+2$: pornești din $-\frac{2}{3}$ și mergi $2$ unități spre dreapta.
La ce folosește
Reducerile de preț sunt fracții. Un produs de $80$ de lei redus cu $\frac{1}{4}$ costă $80\cdot\frac{3}{4}=60$ de lei. Dacă apoi prețul crește cu $\frac{1}{5}$, noul preț este $60\cdot\frac{6}{5}=72$ de lei — nu se întoarce la $80$, pentru că a doua fracție se aplică altui preț.
O rețetă pentru $4$ persoane cere $\frac{3}{4}$ kg de făină. Pentru $6$ persoane, cantitatea se înmulțește cu $\frac{6}{4}$: $\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{4}=\frac{9}{8}$ kg, adică $1{,}125$ kg.
Pe o axă se citesc și variațiile: cotele de nivel ale unui râu, scorurile peste sau sub medie, câștigurile și pierderile unei zile sunt numere raționale cu semn, iar compararea lor este compararea pe axă.
De bază
Un număr rațional este un număr care se poate scrie ca fracție $\frac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ întregi și $b\neq 0$. Mulțimea lor se notează $\mathbb{Q}$. Orice număr întreg este rațional ($-3=\frac{-3}{1}$), iar orice număr zecimal finit sau periodic este rațional ($0{,}25=\frac{1}{4}$).
Pe axă, numerele pozitive sunt la dreapta lui $0$, cele negative la stânga. Dintre două numere, cel mai mare este cel aflat mai la dreapta.
Opusul lui $\frac{a}{b}$ este $-\frac{a}{b}$ (se schimbă semnul). Inversul lui $\frac{a}{b}$, cu $a\neq 0$, este $\frac{b}{a}$ (se răstoarnă fracția, semnul rămâne).
Adunarea și scăderea se fac după aducerea la același numitor, cu regulile semnelor de la numerele întregi.
Exemplu: $-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$. Numitorul comun este $6$: $-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}$. Semnele sunt diferite, $4>3$, deci rezultatul este negativ: $-\frac{1}{6}$.
Exemplul 2: care este mai mare, $-\frac{3}{4}$ sau $-\frac{2}{3}$? La numitorul $12$: $-\frac{9}{12}$ și $-\frac{8}{12}$. Dintre două numere negative, mai mare este cel cu modulul mai mic, deci $-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}$.
Mediu
Înmulțirea: numărătorii se înmulțesc între ei, numitorii între ei, iar semnul se stabilește ca la întregi. Împărțirea: se înmulțește cu inversul împărțitorului. Puterea unei fracții negative are semnul dat de paritatea exponentului.
Exemplu: $\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}:\left(-\frac{3}{2}\right)$. Puterea: $\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$, pozitivă, pentru că exponentul este par. Împărțirea: $\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{2}$. Rezultă $\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}$.
Pe axă, distanța dintre două puncte de coordonate $a$ și $b$ este $|b-a|$, iar mijlocul segmentului are coordonata $\frac{a+b}{2}$.
Exemplul 2: punctele $A$ și $B$ au coordonatele $-\frac{2}{3}$ și $\frac{4}{3}$. Mijlocul lui $AB$ are coordonata $\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{3}$. Simetricul lui $A$ față de $B$ este punctul $C$ pentru care $B$ este mijlocul lui $AC$: din $\frac{a+c}{2}=b$ rezultă $c=2b-a=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$. Verificare: $AB=\frac{4}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=2$, iar $\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$.
Cum recunoști problema: o expresie cu fracții, semne și un singur rând de calcul se rezolvă pas cu pas, după ordinea operațiilor; o problemă cu puncte pe axă se rezolvă cu distanța și mijlocul.
Avansat
Problemele grele cu numere raționale ascund o structură: o sumă lungă care se reduce, sau o fracție etajată care se calculează din interior.
Ideea 1 — descompui fiecare termen ca diferență. Pentru orice $k$ natural nenul, $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. Într-o sumă, termenii din mijloc se reduc doi câte doi și rămân doar primul și ultimul.
Exemplu: $S=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\ldots+\frac{1}{380}$, cu numitorii $2\cdot 3$, $3\cdot 4$, $\ldots$, $19\cdot 20$. Scriem $S=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right)$. Se reduc toți termenii din mijloc, deci $S=\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{10}{20}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20}$.
Ideea 2 — o fracție etajată se calculează de jos în sus, câte un etaj o dată.
Exemplul 2: $\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{3}}}$. Etajul de jos: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Apoi $\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$ și $1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$. La final, $\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$.
Ideea 3 — între oricare două numere raționale diferite există mereu altul: media lor.
Exemplul 3: un număr rațional între $\frac{3}{7}$ și $\frac{4}{7}$ este $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\right)=\frac{1}{2}$. Verificare: $\frac{6}{14}<\frac{7}{14}<\frac{8}{14}$. Repetând, găsești oricâte numere între ele.
Greșeli frecvente
Adunarea numărătorilor între ei și a numitorilor între ei: $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$ nu este $\frac{3}{5}$. Fracțiile se aduc întâi la numitorul comun: $\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}$.
Confuzia dintre opus și invers: opusul lui $\frac{2}{5}$ este $-\frac{2}{5}$ (se schimbă semnul), inversul este $\frac{5}{2}$ (se răstoarnă fracția, semnul rămâne).
Pierderea semnului: $-\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=-\frac{2}{3}$, negativ, pentru că factorii au semne diferite. Iar $\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$, pozitiv, nu $-\frac{1}{4}$.
Împărțirea făcută ca înmulțire: $\frac{3}{4}:\left(-\frac{3}{2}\right)$ se calculează înmulțind cu inversul, $\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)$, nu cu $-\frac{3}{2}$. Și invers: la înmulțire nu se răstoarnă nimic.
Compararea greșită a numerelor negative: $\frac{3}{4}>\frac{2}{3}$, dar $-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}$. Pe axă, numărul negativ cu modulul mai mare este mai la stânga.
Simetricul confundat cu mijlocul: simetricul lui $A$ față de $B$ este punctul $C$ pentru care $B$ este mijlocul lui $AC$, adică $c=2b-a$, nu $\frac{a+b}{2}$.
Surse pentru partea istorică
- Papirusul Rhind a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. de Ahmes, care copia un document cu 200 de ani mai vechi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Papirusul Rhind, copiat de scribul Ahmes în jurul anului 1550 î.Hr. după un text mai vechi, cu tabelul fracțiilor 2/n (n impar de la 3 la 101) scrise ca sume de fracții unitare — en.wikipedia.org
- John Wallis, „Tratat de algebră” (1685): prima folosire a axei numerelor pentru operații, adunarea și scăderea ca mers înainte și înapoi — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.