Numere raționale în clasa a VI-a: axa, compararea, operațiile și puterile cu exponent negativ

De bază

Din clasa a V-a știi fracțiile ordinare și zecimale, dar doar pozitive: $\frac{3}{4}$, $0{,}5$, $1{,}2$. În clasa a VI-a ele primesc semn, exact ca naturalele când au devenit întregi. Un număr rațional se poate scrie ca $\frac{a}{b}$, cu $a,b$ întregi și $b\neq 0$; mulțimea lor este $\mathbb{Q}$ și îi conține pe toți întregii.

Opusul lui $\frac{3}{5}$ este $-\frac{3}{5}$, iar modulul unui număr rațional este tot distanța lui până la $0$: $\left|-\frac{7}{4}\right|=\frac{7}{4}$. Pe axă, mai mare este numărul aflat mai la dreapta.

Exemplu: ordonează crescător $-\frac{7}{4}$, $-1{,}2$, $-0{,}5$ și $\frac{1}{3}$. Scrii fracțiile negative ca zecimale: $-\frac{7}{4}=-1{,}75$. Dintre negative, mai mic este cel cu modulul mai mare, deci $-\frac{7}{4}<-1{,}2<-0{,}5<\frac{1}{3}$. Pe axă, punctele $A$, $B$, $C$, $D$ apar în această ordine de la stânga la dreapta.

Adunarea și scăderea urmează regulile semnelor de la întregi; dacă apar și zecimale, și fracții, le aduci pe toate la aceeași formă.

Exemplul 2: $-0{,}75+\frac{5}{6}$. Transformi $-0{,}75=-\frac{3}{4}$, apoi aduci la numitorul $12$: $-\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{1}{12}$, pozitiv, pentru că $\frac{10}{12}$ are modulul mai mare.

La înmulțire stabilești întâi semnul, după regula de la întregi: semne la fel dau plus, semne diferite dau minus. Apoi înmulțești modulele ca pe fracții: numărătorul cu numărătorul, numitorul cu numitorul, simplificând înainte, unde se poate.

Exemplul 3: $\left(-\frac{4}{9}\right)\cdot\frac{15}{8}$. Semnele diferă, deci rezultatul este negativ. Simplifici $4$ cu $8$ (rămân $1$ și $2$) și $15$ cu $9$ (rămân $5$ și $3$), deci rezultatul este $-\frac{1\cdot 5}{3\cdot 2}=-\frac{5}{6}$.

Inversul unui număr rațional nenul $\frac{a}{b}$ este $\frac{b}{a}$, fracția răsturnată, cu același semn; produsul dintre un număr și inversul lui este $1$. Inversul lui $-\frac{2}{3}$ este $-\frac{3}{2}$, inversul lui $5$ este $\frac{1}{5}$, iar inversul lui $-0{,}4=-\frac{2}{5}$ este $-\frac{5}{2}$. Numărul $0$ nu are invers: orice număr înmulțit cu $0$ dă $0$, niciodată $1$.

Împărțirea la un număr rațional nenul este înmulțirea cu inversul lui: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$. Semnul se află la fel ca la înmulțire.

Exemplul 4: $\left(-\frac{5}{6}\right):\left(-\frac{10}{9}\right)=\left(-\frac{5}{6}\right)\cdot\left(-\frac{9}{10}\right)=\frac{5\cdot 9}{6\cdot 10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$, pozitiv, pentru că semnele sunt la fel.

Mediu

Noutatea cea mai mare din clasa a VI-a la numere raționale sunt puterile cu exponent întreg negativ. Pentru un număr rațional nenul $a$ și $n$ natural, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Pentru o fracție, exponentul negativ răstoarnă fracția: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$. Semnul rezultatului îl dă tot paritatea lui $n$.

Exemplu: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$ și $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}=(-2)^3=-8$. Exponentul negativ nu face rezultatul negativ; semnul vine din bază.

Regulile de calcul cu puteri rămân aceleași și pentru exponenți negativi: la înmulțire exponenții se adună.

Exemplul 2: $\left(-\frac{2}{5}\right)^{-2}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)^{3}=\left(-\frac{2}{5}\right)^{-2+3}=-\frac{2}{5}$.

Exemplul 3: $2^{-3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-(-3)^0$. Pe rând: $2^{-3}=\frac{1}{8}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2$ și $(-3)^0=1$. Rezultă $\frac{1}{8}+2-1=\frac{9}{8}$.

Ordinea operațiilor cu numere raționale este aceeași ca la întregi: întâi parantezele (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade), în fiecare întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile în ordinea în care apar, la sfârșit adunările și scăderile.

Exemplul 4: $\frac{1}{2}-\frac{3}{4}:\left(-\frac{3}{2}\right)^2$. Întâi puterea: $\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$. Apoi împărțirea: $\frac{3}{4}:\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{9}=\frac{1}{3}$. La sfârșit scăderea: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. Cu paranteză, $\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right):\frac{9}{4}=\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{4}{9}=-\frac{1}{9}$ — alt rezultat, pentru că s-a schimbat ordinea.

Avansat

Problemele mai grele cu numere raționale cer să vezi o structură înainte să calculezi: un factor comun ascuns sau o comparație care se poate face fără numitor comun.

Ideea 1 — factorul comun scurtează calculul și cu fracții negative.

Exemplu: $\left(-\frac{3}{7}\right)\cdot\frac{5}{4}+\left(-\frac{3}{7}\right)\cdot\left(-\frac{9}{4}\right)$. Scoți factorul comun: $\left(-\frac{3}{7}\right)\cdot\left(\frac{5}{4}-\frac{9}{4}\right)=\left(-\frac{3}{7}\right)\cdot(-1)=\frac{3}{7}$.

Ideea 2 — compari două fracții apropiate de $1$ după cât le lipsește până la $1$.

Exemplul 2: care este mai mare, $-\frac{13}{14}$ sau $-\frac{14}{15}$? Lui $\frac{13}{14}$ îi lipsește $\frac{1}{14}$ până la $1$, iar lui $\frac{14}{15}$ îi lipsește $\frac{1}{15}$, care este mai puțin. Deci $\frac{13}{14}<\frac{14}{15}$, iar pentru opuse ordinea se inversează: $-\frac{13}{14}>-\frac{14}{15}$.

Ideea 3 — la puteri cu exponent negativ, semnul și mărimea le afli separat.

Exemplul 3: compară $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-3}$ și $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-2}$. Prima este $(-3)^3=-27$, negativă (exponent impar); a doua este $(-3)^2=9$, pozitivă. Deci a doua este mai mare, deși exponentul ei este „mai mic” ca modul.