Teorie · A8 Mulțimi. Numere · clasa a VII-a
Numere reale: rădăcina pătrată, numere iraționale, calcul cu radicali și raționalizare
Rădăcina pătrată, numerele iraționale, scoaterea și introducerea factorilor sub radical, operațiile cu radicali și raționalizarea numitorului, de la regula de bază la problemele care cer o idee, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Grecii antici credeau la început că orice două lungimi se pot exprima ca raport de numere întregi. Descoperirea că diagonala pătratului nu se poate măsura astfel — adică $\sqrt{2}$ nu este o fracție — a fost atribuită lui Hippasus din Metapont, un pitagoreic din secolul al V-lea î.Hr. Atribuirea este însă nesigură: niciun autor antic nu spune explicit că el a făcut descoperirea, iar legenda că ar fi fost înecat pentru că a dezvăluit-o apare în variante care se contrazic.
Sigur știm, din dialogul „Theaetetus” al lui Platon, că Theodorus din Cyrene, în secolul al V-lea î.Hr., a arătat pe rând că $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ și ceilalți radicali ai numerelor care nu sunt pătrate perfecte, până la $\sqrt{17}$, nu pot fi scriși ca raport de întregi.
Semnul radicalului este mult mai nou. A apărut tipărit pentru prima dată în 1525, în cartea „Die Coss” a matematicianului german Christoff Rudolff, dar fără bara de deasupra. Leonhard Euler credea că semnul vine de la litera „r”, de la latinescul „radix”, adică „rădăcină”. În 1637, René Descartes a unit semnul cu bara orizontală, obținând forma $\sqrt{\phantom{x}}$ folosită azi.
La ce folosește
O grădină pătrată cu aria de $200$ m$^2$ are latura $\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx 14{,}14$ m. Ca s-o împrejmuiești îți trebuie aproximativ $4\cdot 14{,}14\approx 56{,}57$ m de gard. Radicalul apare de fiecare dată când știi aria unui pătrat și cauți latura.
Foaia A4 are $210$ mm pe $297$ mm, iar $\frac{297}{210}\approx 1{,}414$, adică aproape exact $\sqrt{2}$. Raportul acesta este ales intenționat: când împăturești foaia în două, jumătatea are aceeași formă, așa că un document se poate micșora de pe A4 pe A5 fără margini albe.
Diagonala unei plăci pătrate de gresie cu latura de $30$ cm este $30\sqrt{2}\approx 42{,}4$ cm. Meșterii care taie plăcile pe diagonală folosesc exact această lungime.
De bază
Rădăcina pătrată a unui număr $a\ge 0$, notată $\sqrt{a}$, este numărul nenegativ care ridicat la pătrat dă $a$. De exemplu $\sqrt{49}=7$, pentru că $7^2=49$ și $7\ge 0$. Din numere negative nu se extrage radical pătrat.
Numerele iraționale sunt cele care nu se pot scrie ca fracție: au o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic. Radicalul unui număr natural care nu este pătrat perfect este irațional, de exemplu $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{3}$. Numerele raționale și cele iraționale formează împreună mulțimea numerelor reale, $\mathbb{R}$.
Reguli: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ și $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$. Pentru a scoate un factor de sub radical, descompui numărul într-un produs în care un factor este pătrat perfect.
Exemplu: $\sqrt{48}$. Cum $48=16\cdot 3$ și $16$ este pătrat perfect, $\sqrt{48}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
Radicalii cu același număr sub radical sunt termeni asemenea: se adună doar coeficienții.
Exemplul 2: $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3+5-1)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$. Ultimul termen are coeficientul $1$.
Exemplul 3: $\left(2\sqrt{3}\right)^2=2^2\cdot\left(\sqrt{3}\right)^2=4\cdot 3=12$. La pătrat se ridică fiecare factor.
Mediu
Raționalizarea numitorului înseamnă să scrii fracția fără radical la numitor. Dacă numitorul este $\sqrt{a}$, amplifici fracția cu $\sqrt{a}$, pentru că $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$.
Exemplu: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
Un exercițiu tipic cere să aduci mai mulți radicali la același radical, apoi să reduci termenii asemenea.
Exemplul 2: $\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}$. Scoatem factorii: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. Deci suma este $(2+3-4)\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
Pentru a compara radicali, introduci coeficientul sub radical ($a\sqrt{b}=\sqrt{a^2 b}$ pentru $a\ge 0$) și compari numerele de sub radical.
Exemplul 3: care este cel mai mare dintre $3\sqrt{2}$, $\sqrt{19}$ și $2\sqrt{5}$? Avem $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$ și $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$. Cum $18<19<20$, cel mai mare este $2\sqrt{5}$ — deși coeficientul lui, $2$, este mai mic decât $3$.
Avansat
Problemele grele cu radicali se deblochează cu formulele de calcul prescurtat, mai ales cu $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Ideea 1 — amplifici cu conjugatul. Conjugatul lui $\sqrt{a}-b$ este $\sqrt{a}+b$, iar produsul lor, $a-b^2$, nu mai are radical.
Exemplu: $\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{\left(\sqrt{5}\right)^2-2^2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$.
Ideea 2 — o sumă lungă de fracții cu radicali se reduce după raționalizare. Pentru orice $k$ natural, $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$, pentru că numitorul devine $(k+1)-k=1$.
Exemplul 2: $S=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$. După raționalizare, $S=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\ldots+\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)$. Termenii din mijloc se reduc, deci $S=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9$.
Ideea 3 — un radical sub alt radical ascunde adesea un pătrat perfect. Cauți un număr de forma $a+b\sqrt{3}$ al cărui pătrat este expresia de sub radical, și ții minte că $\sqrt{x^2}=|x|$.
Exemplul 3: $n=\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Cum $\left(2+\sqrt{3}\right)^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$ și la fel $\left(2-\sqrt{3}\right)^2=7-4\sqrt{3}$, avem $\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}$, pentru că $\sqrt{3}<2$. Deci $n=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$, un număr natural.
Greșeli frecvente
Radicalul luat drept jumătate: $\sqrt{16}$ nu este $8$, ci $4$, pentru că $4^2=16$. Radicalul caută numărul care ridicat la pătrat dă numărul de sub radical.
Factorul scos de sub radical așa cum este: $\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$, nu $16\sqrt{3}$. De sub radical iese rădăcina factorului.
Radicalul unei sume despărțit în sumă de radicali: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, nu $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$. Regula $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ este doar pentru produs.
Produsul unui radical cu el însuși: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$, nu $9$. Iar la raționalizare se amplifică ambii termeni ai fracției, nu doar numărătorul.
Adunarea numerelor de sub radical: $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=7\sqrt{2}$, nu $7\sqrt{6}$. La termeni asemenea se adună doar coeficienții.
Compararea după coeficient: $3\sqrt{2}$ nu este mai mare decât $2\sqrt{5}$ doar pentru că $3>2$. Introdu coeficienții sub radical: $\sqrt{18}<\sqrt{20}$.
Surse pentru partea istorică
- Hippasus din Metapont (c. 530–450 î.Hr.), atribuirea descoperirii iraționalității nesigură și legenda înecului în variante contradictorii — en.wikipedia.org
- Theodorus din Cyrene, secolul al V-lea î.Hr., după „Theaetetus” al lui Platon, a arătat iraționalitatea radicalilor de la radical din 3 la radical din 17 — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Semnul radicalului tipărit prima dată în 1525 în „Die Coss” de Christoff Rudolff, ipoteza lui Euler despre litera r din radix, bara adăugată de Descartes în 1637 — en.wikipedia.org
- Foaia A4 are 210 mm pe 297 mm, iar raportul laturilor seriei A este radical din 2, păstrat la înjumătățire — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.