Teorie · A8 Mulțimi. Numere · clasa a VII-a
Numere reale în clasa a VII-a: rădăcina pătrată, numere iraționale, calcul cu radicali, raționalizare
Din pătratele numerelor naturale la rădăcina pătrată, numerele iraționale și mulțimea numerelor reale, scoaterea și introducerea factorilor sub radical, înmulțirea, împărțirea și puterile radicalilor, raționalizarea numitorului de forma a√b și ecuația x² = a — materia de clasa a VII-a, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Cuvintele cu care vorbim despre radicali au o istorie ciudată. Matematicianul persan al-Khwarizmi, în jurul anului 825, numea numerele raționale „audibile” și pe cele iraționale „inaudibile”. În arabă, numărul irațional a ajuns să fie numit cu un cuvânt care înseamnă „surd”, iar traducătorii latini l-au redat prin „surdus”. Gerard din Cremona (în jurul anului 1150) și Fibonacci (1202) au folosit acest termen pentru radicalii care nu se pot calcula exact — de aceea în engleză un astfel de radical se numește uneori și azi „surd”.
Adjectivul „real” l-a folosit René Descartes, în secolul al XVII-lea, ca să deosebească numerele obișnuite de numerele „imaginare”, cum sunt rădăcinile pătrate ale numerelor negative. Și anul acesta afli că $\sqrt{-4}$ nu există printre numerele pe care le studiezi.
Mulțimea $\mathbb{R}$, pe care o întâlnești în clasa a VII-a, a primit o definiție riguroasă abia în secolul al XIX-lea. Richard Dedekind a avut ideea pe 24 noiembrie 1858, când preda pentru prima dată la Politehnica din Zürich, și a publicat-o în 1872, în lucrarea „Stetigkeit und irrationale Zahlen” („Continuitate și numere iraționale”): un număr irațional ca $\sqrt{2}$ este determinat de felul în care împarte numerele raționale în două — cele mai mici decât el și cele mai mari.
La ce folosește
Timpul de cădere. Dacă neglijăm aerul, un obiect lăsat să cadă de la înălțimea $h$ metri ajunge jos după aproximativ $\sqrt{\frac{h}{5}}$ secunde. De la $45$ m cade în $\sqrt{9}=3$ secunde, de la $20$ m în $\sqrt{4}=2$ secunde, iar de la $30$ m în $\sqrt{6}\approx 2{,}45$ secunde. Rezultatul este exact doar când $\frac{h}{5}$ este pătrat perfect; altfel este un număr irațional, pe care îl aproximezi.
Mărirea unui afiș. Un afiș pătrat are latura de $50$ cm. Un afiș pătrat cu aria de două ori mai mare NU are latura de $100$ cm (aria ar fi de patru ori mai mare), ci $50\sqrt{2}\approx 70{,}7$ cm. Tipografiile și programele de editare a imaginilor folosesc exact acest calcul când măresc o imagine „la dublu ca suprafață”.
Tasta $\sqrt{\phantom{x}}$ a calculatorului afișează pentru $\sqrt{5}$ ceva de forma $2{,}2360679\ldots$ — doar primele cifre ale unui număr cu o infinitate de zecimale care nu se repetă. De aceea, în calcule exacte, inginerii și profesorii păstrează forma $\sqrt{5}$ până la final și aproximează abia rezultatul.
De bază
Din clasa a V-a știi pătratele numerelor naturale: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots$ Anul acesta faci drumul invers. Rădăcina pătrată a lui $n^2$ este $n$: $\sqrt{n^2}=n$ pentru $n$ natural. Pentru un număr mare, folosești descompunerea în factori primi din clasa a VI-a: dacă fiecare factor prim apare de un număr par de ori, numărul este pătrat perfect.
Exemplu: $\sqrt{1764}$. Descompunem: $1764=2^2\cdot 3^2\cdot 7^2$. Fiecare exponent este par, deci $\sqrt{1764}=2\cdot 3\cdot 7=42$. Verificare: $42^2=1764$.
Nu orice număr natural este pătrat perfect: între $36$ și $49$ nu mai există niciun pătrat, deci $\sqrt{40}$ nu este număr natural. Nu este nici fracție: este un număr irațional, cu o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic. Numerele raționale și cele iraționale formează împreună mulțimea numerelor reale, $\mathbb{R}$, și avem $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
Exemplul 2: unde se află numerele $\sqrt{64}$, $-\sqrt{25}$, $\sqrt{\frac{9}{4}}$, $0{,}(3)$, $\sqrt{7}$ și $-\sqrt{20}$? Calculăm întâi ce se poate calcula: $\sqrt{64}=8\in\mathbb{N}$; $-\sqrt{25}=-5\in\mathbb{Z}$, dar nu este natural; $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\in\mathbb{Q}$; $0{,}(3)=\frac{1}{3}\in\mathbb{Q}$. Numerele $\sqrt{7}$ și $-\sqrt{20}$ sunt iraționale, pentru că $7$ și $20$ nu sunt pătrate perfecte. Toate șase sunt numere reale.
Mediu
Scoaterea factorilor de sub radical se face tot cu descompunerea în factori primi: fiecare pereche de factori egali iese de sub radical ca un singur factor.
Exemplu: $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$, deci $\sqrt{180}=2\cdot 3\cdot\sqrt{5}=6\sqrt{5}$. Invers, introducerea factorilor sub radical ridică factorul la pătrat: $3\sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63}$. Un minus rămâne în fața radicalului: $-2\sqrt{5}=-\sqrt{20}$.
La adunare și scădere se reduc doar termenii asemenea, adică radicalii cu același număr sub radical: $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$: $\sqrt{c}$ se comportă ca o unitate de măsură, iar coeficienții se adună. Uneori termenii asemenea apar abia după ce scoți factorii de sub radical. Radicalii diferiți nu se reduc: $3\sqrt{2}+5\sqrt{3}$ rămâne așa.
Exemplu (adunarea și scăderea): $\sqrt{12}+\sqrt{75}-\sqrt{27}$. Scoatem factorii: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$. Toți sunt acum termeni asemenea: $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(2+5-3)\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
La înmulțire și împărțire, înmulțești coeficienții între ei și numerele de sub radical între ele: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ și $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$, pentru $a\ge 0$, $b>0$.
Exemplul 2: $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{10}=(2\cdot 3)\sqrt{5\cdot 10}=6\sqrt{50}=6\cdot 5\sqrt{2}=30\sqrt{2}$. Iar $\sqrt{98}:\sqrt{2}=\sqrt{49}=7$ — un cât de radicali poate fi chiar un număr natural.
Raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$: amplifici fracția cu $\sqrt{b}$, nu cu tot numitorul. Numitorul devine $a\cdot b$, fără radical.
Exemplul 3: $\frac{14}{3\sqrt{7}}=\frac{14\sqrt{7}}{3\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{14\sqrt{7}}{3\cdot 7}=\frac{14\sqrt{7}}{21}=\frac{2\sqrt{7}}{3}$. La final simplifici cu $7$.
Puterile se calculează cu regulile din clasele a V-a și a VI-a, acum și cu exponent întreg negativ: $\left(\sqrt{2}\right)^6=\left(\left(\sqrt{2}\right)^2\right)^3=2^3=8$, iar $\left(\sqrt{5}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(\sqrt{5}\right)^2}=\frac{1}{5}$.
Puterea cu exponent întreg negativ: pentru $a\ne 0$ și $n$ natural nenul, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, iar pentru o fracție, $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$, cu $a\ne 0$, $b\ne 0$ — o fracție la putere negativă se răstoarnă. Regulile de calcul cu puteri rămân valabile: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^m:a^n=a^{m-n}$, $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Cu radicali: $\left(\sqrt{3}\right)^{-2}=\frac{1}{3}$, iar $\left(2\sqrt{2}\right)^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, după raționalizare.
Exemplul 4: $E=\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-2}+\left(\sqrt{6}\right)^{-3}\cdot\left(\sqrt{6}\right)^{5}$. Răsturnăm fracția: $\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{9}{2}$. Adunăm exponenții: $\left(\sqrt{6}\right)^{-3+5}=\left(\sqrt{6}\right)^2=6$. Deci $E=\frac{9}{2}+6=\frac{21}{2}$.
Avansat
Ideea 1 — un exercițiu lung cu radicali are adesea un rezultat natural, dacă înmulțești cu atenție. Desfaci parantezele cu distributivitatea, ca la numerele raționale, și abia apoi scoți factorii.
Exemplu: $n=\sqrt{2}\cdot\left(\sqrt{8}+\sqrt{18}\right)=\sqrt{16}+\sqrt{36}=4+6=10$. Dacă ai fi scos întâi factorii ($\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$), ai fi ajuns la același rezultat: $\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=5\cdot 2=10$.
Ideea 2 — ecuația $x^2=a$. Dacă $a>0$, are două soluții, $x=\sqrt{a}$ și $x=-\sqrt{a}$, pentru că și un număr negativ ridicat la pătrat dă un număr pozitiv. Dacă $a=0$, singura soluție este $0$. Dacă $a<0$, nu are nicio soluție reală: pătratul unui număr real nu este niciodată negativ.
Exemplul 2: $3x^2-5=55$. Aduci ecuația la forma $x^2=a$: $3x^2=60$, deci $x^2=20$. Soluțiile sunt $x=2\sqrt{5}$ și $x=-2\sqrt{5}$. Verificare: $3\cdot 20-5=55$.
Ideea 3 — teorema lui Pitagora din clasa a VI-a funcționează acum și cu laturi iraționale, pentru că $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ și $\left(k\sqrt{a}\right)^2=k^2\cdot a$.
Exemplul 3: dreptunghiul $ABCD$ are $AB=2\sqrt{6}$ cm și $BC=2\sqrt{3}$ cm. În triunghiul dreptunghic $ABC$, $AC^2=\left(2\sqrt{6}\right)^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2=24+12=36$, deci diagonala este $AC=6$ cm — un număr natural, deși laturile sunt iraționale. Aria este $2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{18}=4\cdot 3\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ cm$^2$.
Greșeli frecvente
Radicalii adunați sub un singur radical: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}$. De exemplu, $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$, dar $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Regula produsului, $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$, nu are pereche la adunare.
Zecimalele numărate greșit: $\sqrt{0{,}04}=0{,}2$, nu $0{,}02$, pentru că $0{,}2^2=0{,}04$, iar $0{,}02^2=0{,}0004$.
Un număr cu radical socotit automat irațional: $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ este rațional, iar $-\sqrt{25}=-5$ este chiar întreg. Întâi calculezi, apoi clasifici.
Scoaterea factorilor lăsată la jumătate: $\sqrt{72}=2\sqrt{18}$ este adevărat, dar nu este forma finală, pentru că $18$ mai conține pătratul $9$: $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. Descompunerea în factori primi, $72=2^3\cdot 3^2$, arată dintr-odată tot ce iese.
Minusul introdus sub radical: $-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$, nu $\sqrt{18}$ și nici $\sqrt{-18}$. Sub radical intră doar factorul pozitiv; semnul rămâne în față.
Coeficientul pierdut la raționalizare: $\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$, nu $\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Numitorul $2$ nu dispare.
Exponentul negativ luat drept semn: $\left(\sqrt{2}\right)^{-2}=\frac{1}{2}$, nu $-2$. Un exponent negativ înseamnă inversul, nu un număr negativ.
Egalul pus în loc de „aproximativ”: $\sqrt{2}\approx 1{,}41$, dar $\sqrt{2}\ne 1{,}41$, pentru că $1{,}41^2=1{,}9881$. Un număr irațional nu are o scriere zecimală finită.
Surse pentru partea istorică
- Al-Khwarizmi (în jurul anului 825) numea numerele raționale „audibile” și iraționale „inaudibile”; cuvântul arab tradus în latină prin surdus; folosit de Gerard din Cremona (c. 1150) și Fibonacci (1202) — en.wikipedia.org
- Adjectivul „real”, folosit de Descartes în secolul al XVII-lea, deosebește numerele reale de cele imaginare, ca rădăcinile pătrate ale numerelor negative; definiția riguroasă a numerelor reale, realizare a secolului al XIX-lea — en.wikipedia.org
- Dedekind: ideea din 24 noiembrie 1858, când preda la Politehnica din Zürich; publicată în 1872 în „Stetigkeit und Irrationale Zahlen”; numărul real ca împărțire a numerelor raționale în două mulțimi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.