Teorie · B1 Algebră · clasa a VIII-a
Calcul algebric: termeni asemenea, înmulțirea monoamelor și desfacerea parantezelor
Cum se calculează cu numere reprezentate prin litere: reducerea termenilor asemenea, înmulțirea monoamelor, desfacerea parantezelor și valoarea unei expresii, cu exemple rezolvate de la ușor la greu.
De unde vine
Ideea de a nota un număr necunoscut cu un semn special apare la Diofant din Alexandria, în cartea sa „Arithmetica”. Nu știm sigur când a trăit; cea mai des întâlnită estimare este în jurul anului 250 d.Hr. Diofant folosea prescurtări pentru necunoscută și pentru puterile ei, dar avea semn pentru o singură necunoscută și niciunul pentru un număr oarecare.
Semnele $+$ și $-$ apar într-o carte a lui Johannes Widmann din 1489, unde arătau un surplus și o lipsă, nu adunarea și scăderea. Ca semne pentru adunare și scădere, în sensul de azi, le găsim într-o carte a lui Henricus Grammateus din 1518.
Pasul decisiv l-a făcut francezul François Viète (1540–1603). În cartea „In artem analyticem isagoge”, tipărită la Tours în 1591, el a notat cu litere atât necunoscutele (cu vocale), cât și numerele cunoscute (cu consoane). Astfel, un singur calcul rezolva o întreagă familie de probleme. Obiceiul de azi — $x$, $y$, $z$ pentru necunoscute și $a$, $b$, $c$ pentru numere date — vine de la René Descartes, din cartea „La Géométrie” (1637).
La ce folosește
La cumpărături: Ana ia $3$ caiete și $2$ pixuri, iar Mihai ia $2$ caiete și $5$ pixuri. Dacă un caiet costă $c$ lei și un pix $p$ lei, împreună plătesc $3c+2p+2c+5p=5c+7p$ lei. Termenii asemenea s-au adunat: caiete cu caiete, pixuri cu pixuri. Pentru $c=6$ și $p=3$, totalul este $30+21=51$ de lei.
În construcții: o cameră are lățimea $x$ metri și lungimea cu $2$ m mai mare. Aria podelei este $x(x+2)=x^2+2x$ metri pătrați, iar plinta de pe margine are $2(x+2)+2x=4x+4$ metri. Pentru $x=4$, podeaua are $24$ m$^2$, iar plinta $20$ m. O singură formulă servește pentru orice cameră de această formă.
Formulele dintr-un tabel de calcul (de exemplu una care înmulțește prețul cu cantitatea pe fiecare rând) sunt tot expresii cu litere: numele celulelor țin locul numerelor, iar calculatorul înlocuiește valorile, exact ca atunci când calculezi valoarea unei expresii.
De bază
Termenii asemenea au aceeași parte cu litere: aceleași litere, la aceleași puteri. $3x$ și $-5x$ sunt asemenea; $3x$ și $3x^2$ nu sunt; nici $2x$ și $2y$. Termenii asemenea se reduc adunând coeficienții și păstrând partea cu litere: $3x-5x=-2x$. Termenii care nu sunt asemenea rămân separați.
Exemplu: $7a+3b-2a-5b=(7a-2a)+(3b-5b)=5a-2b$. Rezultatul nu se mai poate scrie mai scurt, pentru că $5a$ și $-2b$ nu sunt asemenea.
La înmulțirea monoamelor se înmulțesc coeficienții, iar puterile aceleiași litere se înmulțesc adunând exponenții: $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$.
Exemplul 2: $\left(-3x^2\right)\cdot 4x^3=(-3\cdot 4)\cdot x^{2+3}=-12x^5$.
Valoarea unei expresii se află înlocuind litera cu numărul dat, pus între paranteze dacă este negativ.
Exemplul 3: pentru $x=-2$, $3x^2-x=3\cdot(-2)^2-(-2)=3\cdot 4+2=14$.
Mediu
Un monom înmulțit cu o paranteză se înmulțește cu fiecare termen din ea: $a(b+c)=ab+ac$. Două paranteze se înmulțesc „fiecare cu fiecare”: $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$, apoi se reduc termenii asemenea.
Exemplu: $(x+4)(3x-2)=3x^2-2x+12x-8=3x^2+10x-8$.
O paranteză precedată de minus se scoate schimbând semnul FIECĂRUI termen din ea: $-(x^2-x)=-x^2+x$. Când sunt paranteze una în alta, începi cu cea din interior: $5x-\left[2x-(x-4)\right]=5x-(2x-x+4)=5x-(x+4)=4x-4$.
Problema tipică de subiectul al III-lea spune: „Arată că $E(x)=\dots$, pentru orice număr real $x$”. Desfaci toate parantezele, reduci termenii asemenea și trebuie să ajungi exact la forma cerută.
Exemplul 2: $E(x)=(x+2)(x-3)-x(x-1)$. Avem $(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$ și $x(x-1)=x^2-x$, deci $E(x)=x^2-x-6-x^2+x=-6$. Expresia are aceeași valoare pentru orice $x$. O verificare rapidă: pentru $x=0$, $E(0)=2\cdot(-3)-0=-6$.
Avansat
Problemele grele de calcul algebric nu cer calcule lungi, ci o alegere bună: ce înlocuiești și ce notezi cu o literă.
Ideea 1 — înlocuiești un grup întreg, nu literele pe rând. Dacă se cunoaște doar o combinație a literelor, restul expresiei trebuie scris cu ea.
Exemplu: numerele reale $a$ și $b$ verifică $a-2b=4$. Calculează $3a-6b+(2b-a)^2$. Nu poți afla $a$ și $b$ separat, dar nici nu ai nevoie: $3a-6b=3(a-2b)=3\cdot 4=12$ și $2b-a=-(a-2b)=-4$, deci $(2b-a)^2=16$. Rezultatul este $12+16=28$, oricare ar fi $a$ și $b$.
Ideea 2 — o expresie simplificată arată o proprietate pentru toate numerele deodată.
Exemplul 2: arată că $(n+4)(n+5)-(n+1)(n+2)$ se divide cu $6$ pentru orice număr natural $n$. Desfacem: $n^2+9n+20-\left(n^2+3n+2\right)=6n+18=6(n+3)$, care este multiplu de $6$.
Ideea 3 — un calcul cu numere mari devine ușor dacă notezi numărul cu o literă.
Exemplul 3: calculează $123456\cdot 123459-123457\cdot 123458$. Notăm $a=123456$. Numărul este $a(a+3)-(a+1)(a+2)=a^2+3a-\left(a^2+3a+2\right)=-2$.
Greșeli frecvente
Reducerea unor termeni care nu sunt asemenea: $5x-2y-3x-4y$ nu este $-4xy$. Termenii în $x$ se reduc între ei, cei în $y$ între ei: $2x-6y$.
Înmulțirea exponenților la înmulțirea puterilor: $x^2\cdot x^3=x^5$, nu $x^6$. Iar coeficienții se înmulțesc, nu se adună: $\left(-2x^2\right)\cdot 3x^3=-6x^5$.
Pătratul unui număr negativ: $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$, nu $-9$ și nici $(-3)\cdot 2$. Tot aici: în $2x^2$ doar $x$ este la pătrat; $2x^2$ nu este $(2x)^2$.
Înmulțirea a două paranteze doar „primul cu primul și ultimul cu ultimul”: $(x+3)(2x-1)$ are patru produse, $2x^2-x+6x-3=2x^2+5x-3$.
Paranteza precedată de minus scoasă fără schimbarea tuturor semnelor: $-(3x-5)=-3x+5$, nu $-3x-5$. Semnul se schimbă la fiecare termen din paranteză.
Înlocuirea unui grup fără factorul lui: dacă $2a-b=3$, atunci $4a-2b=2(2a-b)=6$, nu $3$.
Surse pentru partea istorică
- Diofant din Alexandria, „Arithmetica”, data nesigură (cel mai des în jurul anului 250 d.Hr.), prescurtări pentru necunoscută și puterile ei, un singur semn de necunoscută — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Semnele + și − în cartea lui Johannes Widmann din 1489, pentru surplus și lipsă, și folosirea de azi în cartea lui Grammateus din 1518 — en.wikipedia.org
- François Viète (1540–1603), „In artem analyticem isagoge”, Tours 1591, vocale pentru necunoscute și consoane pentru mărimi cunoscute — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Descartes, „La Géométrie” (1637): x, y, z pentru necunoscute, a, b, c pentru constante — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.