Teorie · B1 Algebră · clasa a VIII-a
Calcul algebric în clasa a VIII-a: monoame, împărțire, puteri și expresii de examen
Ce aduce nou clasa a VIII-a față de calculul cu numere din clasele V–VII: litere în loc de numere, reducerea termenilor asemenea, împărțirea și ridicarea la putere a monoamelor și expresiile de tip Evaluare Națională, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Scrierea puterilor pe care o folosești azi s-a format încet. Nicolas Chuquet scria, în 1484, în lucrarea „Le Triparty en la Science des Nombres”, exponenți ridicați deasupra rândului. În 1637, René Descartes folosea în „La Géométrie” exponenții aproape ca noi, dar numai numere naturale — și, curios, pentru pătrat scria de obicei $aa$, nu $a^2$, poate pentru că ocupa la fel de mult loc.
Semnul $\times$ pentru înmulțire apare în cartea „Clavis Mathematicae” a lui William Oughtred, publicată la Londra în 1631. Lui Gottfried Wilhelm Leibniz nu i-a plăcut: într-o scrisoare din 1698 către Johann Bernoulli spunea că se confundă ușor cu litera $x$ și că preferă un punct între cei doi factori. De aceea, în algebră scriem $3\cdot x$ sau direct $3x$, nu $3\times x$.
La ce folosește
O ramă pentru fotografii: o fotografie de $x$ cm pe $y$ cm primește o bordură lată de $2$ cm pe fiecare parte. Rama are $(x+4)(y+4)-xy=4x+4y+16$ cm$^2$. Pentru o fotografie de $10$ cm pe $15$ cm, rama are $14\cdot 19-150=116$ cm$^2$, adică exact $40+60+16$. Un atelier care face rame de toate mărimile folosește o singură formulă.
Modele care cresc: cu bețe de chibrit se face un șir de pătrate lipite. Primul pătrat cere $4$ bețe, fiecare pătrat nou încă $3$. Pentru $n$ pătrate trebuie $4+3(n-1)=3n+1$ bețe, deci pentru $10$ pătrate, $31$ de bețe — fără să le numeri pe desen. A trece de la „câteva cazuri” la o formulă cu literă este chiar calculul algebric.
De bază
Din clasele a V-a – a VII-a știi să calculezi cu numere naturale, întregi, raționale și reale, să folosești regulile semnelor și ale puterilor: $2^3\cdot 2^4=2^7$, $5^6:5^2=5^4$, $\left(3^2\right)^3=3^6$. Nou în clasa a VIII-a: în locul numerelor apar litere, iar regulile rămân exact aceleași.
Un monom este un produs dintre un număr (coeficientul) și litere la puteri: $-5x^2y$ are coeficientul $-5$. Monoamele cu aceeași parte de litere sunt asemenea și se adună adunând coeficienții.
Exemplu: $4x^2-3x+5-x^2+7x-8=(4x^2-x^2)+(-3x+7x)+(5-8)=3x^2+4x-3$. Grupezi pe „familii”: pătratele cu pătratele, termenii în $x$ între ei, numerele între ele.
Împărțirea monoamelor: împarți coeficienții, iar la aceeași literă scazi exponenții. Ridicarea la putere: ridici coeficientul la putere și înmulțești fiecare exponent cu puterea.
Exemplul 2: $12x^5y^2:\left(-4x^2y\right)=-3x^3y$, iar $\left(-2a^2b\right)^3=(-2)^3a^6b^3=-8a^6b^3$. Semnul: un număr negativ la putere impară rămâne negativ; la putere pară, $\left(-2x^3\right)^2=4x^6$, devine pozitiv.
Exemplul 3 (tip Subiectul I): rezultatul calculului $5a-2(a-3)$ este $5a-2a+6=3a+6$.
Mediu
La Subiectul al III-lea, punctul a) cere aproape mereu: „Arată că $E(x)=\dots$”. Calculezi separat fiecare produs, îl pui între paranteze, apoi scoți parantezele și reduci.
Exemplu: $E(x)=(2x-1)(x+3)-2(x-2)(x+1)$. Avem $(2x-1)(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3$ și $2(x-2)(x+1)=2\left(x^2-x-2\right)=2x^2-2x-4$. Deci $E(x)=2x^2+5x-3-2x^2+2x+4=7x+1$.
Punctul b) folosește forma simplă. Exemplul 2: numărul real $a$ pentru care $E(a)=15$ verifică $7a+1=15$, deci $a=2$. Cu forma de la început ai fi avut de rezolvat o ecuație cu pătrate; forma simplă o face de gradul întâi.
Împărțirea unei sume la un monom: împarți FIECARE termen. Exemplul 3: $\left(6x^3-9x^2+3x\right):3x=2x^2-3x+1$, pentru $x\neq 0$.
Literele pot primi și valori iraționale, ca în clasa a VII-a. Exemplul 4: pentru $x=\sqrt{2}$, $3x^2-x\sqrt{2}=3\cdot 2-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6-2=4$.
Avansat
Ideea 1 — două expresii egale pentru orice $x$ au aceiași coeficienți. Desfaci și compari termen cu termen.
Exemplu: află numerele reale $a$ și $b$ pentru care $(x+a)(2x-1)=2x^2+5x+b$, oricare ar fi $x$. În stânga, $2x^2-x+2ax-a=2x^2+(2a-1)x-a$. Coeficienții lui $x$: $2a-1=5$, deci $a=3$; termenii liberi: $b=-a=-3$.
Ideea 2 — o literă poate ține locul unei cifre. Numărul de două cifre $\overline{ab}$ este $10a+b$, nu $a\cdot b$.
Exemplul 2: arată că diferența dintre un număr de două cifre și răsturnatul lui se divide cu $9$. $\overline{ab}-\overline{ba}=(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)$. De exemplu, $82-28=54=9\cdot 6$.
Ideea 3 — o arie compusă se scrie ca diferență de arii simple, apoi se reduce.
Exemplul 3: dintr-un dreptunghi cu laturile $2x+3$ și $x+1$ (în cm) se taie, dintr-un colț, un pătrat cu latura $x$. Aria rămasă este $(2x+3)(x+1)-x^2=2x^2+5x+3-x^2=x^2+5x+3$. Verificare pentru $x=2$: $7\cdot 3-4=17$ și $4+10+3=17$.
Greșeli frecvente
Împărțirea exponenților în loc de scădere: $x^6:x^2=x^4$, nu $x^3$.
Confuzia dintre „putere a unei puteri” și „produs de puteri”: $\left(x^3\right)^2=x^6$ (exponenții se înmulțesc), dar $x^3\cdot x^2=x^5$ (exponenții se adună).
Coeficientul lăsat pe dinafară la ridicarea la putere: $(2x)^3=8x^3$, nu $2x^3$ și nici $6x^3$. Iar $(-2x)^2=4x^2$, cu plus.
Adunarea exponenților la adunarea termenilor: $x^2+x^2=2x^2$, nu $x^4$. Exponenții se schimbă doar la înmulțire și împărțire.
Minusul din fața unui pătrat: pentru $x=-3$, $-x^2=-9$, pentru că întâi se ridică la pătrat și abia apoi se pune minusul; $(-x)^2$ ar fi $9$.
Împărțirea la monom aplicată doar primului termen: $\left(6x^2+3x\right):3x=2x+1$, nu $2x+3x$.
Surse pentru partea istorică
- Chuquet, exponenți ridicați în „Le Triparty” (1484); Descartes, exponenți moderni în „Géométrie” (1637), dar aa în loc de a²; Leibniz, scrisoarea din 1698 către Bernoulli: × se confundă cu x, preferă punctul — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- William Oughtred folosește semnul × în „Clavis Mathematicae”, 1631 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.