Teorie · B2 Algebră · clasa a VIII-a
Formule de calcul prescurtat: pătratul sumei, pătratul diferenței, produsul sumei cu diferența
Formulele (a+b)², (a−b)² și (a−b)(a+b), cum se aplică repede și corect, cum se combină într-un exercițiu și ideile pentru problemele grele: completarea pătratului și ridicarea la pătrat a unei egalități.
De unde vine
Babilonienii foloseau aceste relații cu aproape patru mii de ani în urmă, în perioada babiloniană veche (de pe la 2000 î.Hr.). Ca să înmulțească două numere, ei foloseau tabele de pătrate și formula $ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$: o înmulțire devenea două citiri din tabel, o scădere și o împărțire la $4$.
În „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), cartea a II-a, propoziția 4, spune că, dacă tai un segment în două bucăți, pătratul construit pe tot segmentul este egal cu pătratele construite pe bucăți plus de două ori dreptunghiul format de ele. Este formula $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, dar spusă cu segmente și arii, nu cu litere. Propoziția 5 din aceeași carte corespunde, în limbaj de azi, unei diferențe de pătrate. Istoricii discută însă cât de „algebrică” era de fapt gândirea lui Euclid.
Scrierea cu litere a acestor formule a devenit posibilă abia după ce Viète (1591) și Descartes (1637) au introdus literele în calcul.
La ce folosește
Calculul în minte: $49\cdot 51=(50-1)(50+1)=50^2-1=2499$, iar $98^2=(100-2)^2=10000-400+4=9604$. Casierii și cei care fac des calcule rapide folosesc exact aceste formule, chiar dacă nu le numesc așa.
La amenajări: o terasă pătrată cu latura de $x$ metri se lărgește cu câte $1$ m pe fiecare parte, deci latura devine $x+2$. Suprafața în plus este $(x+2)^2-x^2=4x+4$ metri pătrați. Pentru o terasă cu latura de $5$ m trebuie cumpărate plăci pentru $4\cdot 5+4=24$ m$^2$ în plus — nu $4$ m$^2$, cât ar crede cineva care uită termenul din mijloc.
De bază
Trei formule se folosesc tot timpul, pentru orice numere reale $a$ și $b$:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Termenul din mijloc, $2ab$, este de două ori produsul celor doi termeni. În produsul sumei cu diferența el nu apare, pentru că $+ab$ și $-ab$ se reduc.
Exemplu: $(x+6)^2=x^2+2\cdot x\cdot 6+6^2=x^2+12x+36$.
Exemplul 2: $(3x-2)^2=(3x)^2-2\cdot 3x\cdot 2+2^2=9x^2-12x+4$. La pătrat se ridică tot termenul $3x$, cu coeficient cu tot.
Exemplul 3: $(x-7)(x+7)=x^2-49$, iar cu radicali $\left(\sqrt{3}+1\right)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$.
Mediu
La examen formulele apar amestecate cu desfaceri de paranteze și cu minusuri.
Exemplu: $(x+3)^2-(x-3)(x+3)=x^2+6x+9-\left(x^2-9\right)=x^2+6x+9-x^2+9=6x+18$. Rezultatul unei formule se pune întâi între paranteze, și abia apoi se scoate paranteza cu semnele schimbate.
Formulele se pot citi și invers, ca să afli o expresie din alta. Din $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ rezultă $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$.
Exemplul 2: dacă $a+b=5$ și $ab=6$, atunci $a^2+b^2=25-12=13$. La fel, $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=25-24=1$.
Cu radicali, produsul sumei cu diferența scapă de radical: $\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)=5-4=1$. Pe asta se bazează raționalizarea numitorilor de forma $\sqrt{a}\pm b$.
Avansat
Ideea 1 — completarea pătratului. Un pătrat nu este niciodată negativ, deci o expresie scrisă ca „pătrat plus număr” își arată singură cea mai mică valoare.
Exemplu: arată că $x^2+8x+20\ge 4$ pentru orice număr real $x$ și află când are loc egalitatea. Cum $x^2+8x+16=(x+4)^2$, avem $x^2+8x+20=(x+4)^2+4$. Deoarece $(x+4)^2\ge 0$, expresia este cel puțin $4$, iar valoarea $4$ se obține pentru $x=-4$.
Ideea 2 — ridici la pătrat o egalitate dată. Când se dă $x-\frac{1}{x}$ și se cere $x^2+\frac{1}{x^2}$, nu afli $x$.
Exemplul 2: dacă $x-\frac{1}{x}=2$, atunci $\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}=4$, deci $x^2+\frac{1}{x^2}=6$. Produsul $x\cdot\frac{1}{x}$ este $1$, de aceea termenul din mijloc este un simplu număr.
Ideea 3 — recunoști o formulă într-un calcul cu numere mari.
Exemplul 3: $2025^2-2024\cdot 2026=2025^2-(2025-1)(2025+1)=2025^2-\left(2025^2-1\right)=1$.
Greșeli frecvente
Uitarea termenului din mijloc: $(x+5)^2$ nu este $x^2+25$, ci $x^2+10x+25$.
Termenul din mijloc scris $ab$ în loc de $2ab$: $(x+5)^2$ are $2\cdot x\cdot 5=10x$, nu $5x$. Și pătratul lui $5$ este $25$, nu $10$.
Coeficientul uitat la ridicarea la pătrat: $(2x)^2=4x^2$, nu $2x^2$.
Confuzia dintre formule: $(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$ nu are termen în $x$; $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$ are. Iar $101^2-99^2$ nu este $(101-99)^2$, ci $(101-99)(101+99)=400$.
Minusul din fața unui produs aplicat doar primului termen: $-(x^2-4)=-x^2+4$, nu $-x^2-4$.
Semnul greșit când citești formula invers: $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ (se scade), iar $x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2$.
Surse pentru partea istorică
- Babilonienii (perioada babiloniană veche, de pe la 2000 î.Hr.) înmulțeau cu tabele de pătrate, folosind ab = ((a+b)² − (a−b)²)/4 — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Elementele lui Euclid, cartea a II-a, propoziția 4: pătratul întregului segment egal cu pătratele părților plus de două ori dreptunghiul lor — mathcs.clarku.edu
- Elementele, cartea a II-a, propoziția 5, citită azi ca o diferență de pătrate — mathcs.clarku.edu
- Elementele scrise în jurul anului 300 î.Hr.; interpretarea cărții a II-a ca „algebră geometrică” este contestată — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.