Teorie · B2 Algebră · clasa a VIII-a
Formule de calcul prescurtat în clasa a VIII-a: pătrate de binoame, radicali, comparări
Cele trei formule din clasa a VIII-a, pornind de la înmulțirea parantezelor și de la radicalii din clasa a VII-a: cum le aplici pe fracții și radicali, cum le folosești la Evaluarea Națională și cum compari numere sau recunoști pătrate perfecte.
De unde vine
Multă vreme, reguli ca $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ au fost gândite cu ajutorul figurilor geometrice. Un pas important spre calculul făcut doar cu simboluri l-a făcut al-Karaji (aproximativ 953–1029), un matematician persan care a lucrat la Bagdad. Istoricii îl socotesc printre primii care au desprins algebra de construcțiile geometrice: în cartea „Al-Fakhri” și în altele a dat reguli pentru adunarea, scăderea și înmulțirea expresiilor cu necunoscute, așa cum le faci tu acum.
Tot al-Karaji a descris tabelul de numere care dă coeficienții puterilor unui binom — tabel pe care Europa îl va numi mult mai târziu „triunghiul lui Pascal”. Rândul care corespunde pătratului este $1,\ 2,\ 1$: exact coeficienții din $a^2+2ab+b^2$.
La ce folosește
Procente la arii: dacă latura unui pătrat crește cu $10\%$, aria nu crește cu $10\%$ și nici cu $20\%$. Latura devine $a+0{,}1a$, iar aria $(a+0{,}1a)^2=a^2+0{,}2a^2+0{,}01a^2=1{,}21a^2$ — cu $21\%$ mai mult. Termenul din mijloc dă $20\%$, iar ultimul pătrat încă $1\%$. Așa se explică de ce o pizza puțin mai mare are mult mai mult blat.
Pătratele numerelor terminate în $5$ se fac în minte: $(10k+5)^2=100k^2+100k+25=100k(k+1)+25$. Pentru $35^2$: $3\cdot 4=12$, apoi scrii $25$ după el, deci $35^2=1225$.
De bază
Din clasa a VII-a știi să lucrezi cu radicali, de exemplu $\left(\sqrt{3}\right)^2=3$ și $2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6$, iar la începutul clasei a VIII-a ai învățat să înmulțești două paranteze, fiecare termen cu fiecare. Formulele de calcul prescurtat sunt rezultatul acestei înmulțiri, ținut minte ca să nu-l refaci de fiecare dată:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $\quad(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $\quad(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Primul și ultimul termen sunt pătrate, deci mereu pozitive; doar termenul din mijloc are semnul din paranteză.
Exemplu: $(2a+5)^2=4a^2+20a+25$, iar cu fracții, $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=x^2-x+\frac{1}{4}$.
Exemplul 2: $(4y-3)(4y+3)=16y^2-9$.
Exemplul 3 (tip Subiectul I): $\left(2\sqrt{3}-1\right)^2=12-4\sqrt{3}+1=13-4\sqrt{3}$. Pătratul lui $2\sqrt{3}$ este $4\cdot 3=12$.
Exemplul 4: $103^2=(100+3)^2=10000+600+9=10609$.
Mediu
La Evaluarea Națională formulele apar în două locuri: în expresia $E(x)$ de la Subiectul al III-lea și în calculele cu radicali de la Subiectul I și al II-lea.
Exemplu: arată că $E(x)=(x+3)^2-(x-2)(x+2)-2(3x+5)$ nu depinde de $x$. Avem $(x+3)^2=x^2+6x+9$ și $(x-2)(x+2)=x^2-4$, deci $E(x)=x^2+6x+9-x^2+4-6x-10=3$.
Exemplul 2: $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=\left(5+2\sqrt{6}\right)+\left(5-2\sqrt{6}\right)=10$. Termenii din mijloc au semne opuse și se reduc.
Exemplul 3: arată că $N=\left(2\sqrt{2}+1\right)^2-4\sqrt{2}$ este număr natural. $\left(2\sqrt{2}+1\right)^2=8+4\sqrt{2}+1=9+4\sqrt{2}$, deci $N=9$. Cerința „arată că e natural” îți spune dinainte că radicalii trebuie să dispară.
Pătratul unei sume de trei termeni nu este o formulă nouă: grupezi primii doi termeni și aplici de două ori pătratul sumei. $(a+b+c)^2=\big((a+b)+c\big)^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ — pătratele celor trei termeni, plus dublul fiecărui produs de câte doi.
Exemplul 4: $(x+y+1)^2=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$.
Raționalizarea cu conjugatul: dintr-un numitor de forma $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ radicalii dispar dacă amplifici cu $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, pentru că $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b$. Deci $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$, pentru $a\neq b$; la $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ amplifici cu $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.
Exemplul 5: $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$.
Avansat
Ideea 1 — recunoști un pătrat perfect ascuns.
Exemplu: arată că $n(n+2)+1$ este pătrat perfect pentru orice număr natural $n$. Desfaci: $n^2+2n+1=(n+1)^2$. De exemplu, $99\cdot 101+1=10000=100^2$.
Ideea 2 — diferența de pătrate leagă suma de diferență, fără să afli numerele înainte.
Exemplul 2: numerele reale $x$ și $y$ verifică $x^2-y^2=40$ și $x+y=10$. Cum $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, rezultă $10(x-y)=40$, deci $x-y=4$. Din $x+y=10$ și $x-y=4$ obții $x=7$ și $y=3$.
Ideea 3 — compari două sume de radicali ridicându-le la pătrat. Pentru numere pozitive, cel cu pătratul mai mare este mai mare.
Exemplul 3: care este mai mare, $\sqrt{2}+\sqrt{7}$ sau $\sqrt{3}+\sqrt{6}$? Pătratele sunt $9+2\sqrt{14}$ și $9+2\sqrt{18}$. Cum $14<18$, al doilea este mai mare: $\sqrt{2}+\sqrt{7}<\sqrt{3}+\sqrt{6}$.
Ideea 4 — completarea pătratului. Scrii $x^2$ și termenul în $x$ ca început al unui pătrat, $x^2-2kx=(x-k)^2-k^2$, iar ce rămâne este un număr. Cum un pătrat este mereu cel puțin $0$, numărul acela este cea mai mică valoare a expresiei, atinsă când paranteza este $0$.
Exemplul 4: $x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2=(x-3)^2+2\ge 2$, pentru orice $x$ real. Cea mai mică valoare a expresiei este $2$, pentru $x=3$. Tot de aici rezultă că ecuația $x^2-6x+11=0$ nu are soluții reale.
Greșeli frecvente
Semnul ultimului termen: $(x-5)^2=x^2-10x+25$, nu $x^2-10x-25$. Ultimul termen este un pătrat, deci pozitiv.
Minusul din față: $(-x-2)^2=(x+2)^2=x^2+4x+4$, nu $x^2-4x+4$.
Pătratul unei sume de radicali „fără mijloc”: $\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=8+2\sqrt{15}$, nu $8$.
Fracția ridicată greșit: $\left(\frac{x}{2}+1\right)^2=\frac{x^2}{4}+x+1$; pătratul lui $\frac{x}{2}$ este $\frac{x^2}{4}$, nu $\frac{x^2}{2}$.
Radicalul „împărțit” pe termeni: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, nu $3+4=7$. Radicalul unei sume nu este suma radicalilor.
Produsul sumei cu diferența nerecunoscut când termenii sunt inversați: $(2x+1)(1-2x)=1-4x^2$, pentru că $(1+2x)(1-2x)$ are aceeași formă.
Surse pentru partea istorică
- Al-Karaji (953 – c. 1029), la Bagdad, „Al-Fakhri”; primul care a eliberat algebra de operațiile geometrice; reguli pentru operațiile aritmetice, inclusiv înmulțirea polinoamelor; construcția triunghiului lui Pascal — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Al-Karaji (c. 953 – c. 1029), la Bagdad; începuturile eliberării algebrei de geometrie; reguli pentru adunarea, scăderea și înmulțirea polinoamelor; o formulare timpurie a coeficienților binomiali și a triunghiului lui Pascal — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.