Teorie · B3 Algebră · clasa a VIII-a
Descompunerea în factori: factor comun, formule de calcul prescurtat, gruparea termenilor
Cum se scrie o expresie ca produs: factorul comun, formulele citite invers și gruparea termenilor, apoi cum folosești descompunerea în ecuații, în probleme cu numere prime și în sume de pătrate egale cu zero.
De unde vine
A descompune înseamnă a scrie o sumă ca produs. Una dintre cele mai vechi urme ale ideii este în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.): propoziția 5 din cartea a II-a leagă, cu segmente și dreptunghiuri, produsul a două lungimi de diferența a două pătrate — ceea ce azi scriem $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Francezul Pierre de Fermat (1601–1665) a transformat această formulă într-o metodă de a găsi divizorii unui număr impar: cauți să-l scrii ca diferență de două pătrate. Metoda, care îi poartă numele, apare într-o scrisoare trimisă lui Marin Mersenne în jurul anului 1643. De exemplu, $5959=80^2-21^2=(80-21)(80+21)=59\cdot 101$.
La ce folosește
Calcul rapid cu factor comun: un magazin vinde $13$ tricouri cu $47$ de lei și $13$ perechi de pantaloni scurți cu $53$ de lei. Încasarea este $13\cdot 47+13\cdot 53=13\cdot(47+53)=13\cdot 100=1300$ de lei — o singură înmulțire în loc de două.
Arii cu goluri: dintr-o placă pătrată de tablă cu latura de $12$ cm se decupează un pătrat cu latura de $8$ cm. Rămân $12^2-8^2=(12-8)(12+8)=4\cdot 20=80$ cm$^2$. La fel, $37\cdot 43=(40-3)(40+3)=1600-9=1591$ se face în minte.
Securitatea pe internet: o parte dintre metodele de criptare folosite la plăți online se bazează pe faptul că înmulțirea a două numere prime foarte mari este ușoară, dar descompunerea produsului înapoi în factori este, pentru numere cu sute de cifre, practic imposibilă chiar și pentru calculatoare.
De bază
A descompune în factori înseamnă a scrie o expresie ca produs. Verificarea este mereu aceeași: înmulțești factorii înapoi și trebuie să obții expresia de la început.
Factorul comun: dacă toți termenii conțin același factor, îl scoți în fața unei paranteze: $ab+ac=a(b+c)$. Iei cel mai mare număr care divide toți coeficienții și fiecare literă la cea mai mică putere la care apare.
Exemplu: $10x^2-15x=5x\cdot 2x-5x\cdot 3=5x(2x-3)$. Verificare: $5x(2x-3)=10x^2-15x$.
Formulele de calcul prescurtat citite de la dreapta la stânga: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
Exemplul 2: $9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x-4)(3x+4)$.
Exemplul 3: $x^2-10x+25=x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2=(x-5)^2$.
Mediu
Ordinea contează: întâi factorul comun, apoi formulele, apoi te uiți la fiecare factor să vezi dacă se mai poate descompune.
Exemplu: $5x^3-20x=5x\left(x^2-4\right)=5x(x-2)(x+2)$. Dacă te opreai la $5x\left(x^2-4\right)$, descompunerea nu era completă.
Gruparea termenilor: când nu există un factor comun tuturor termenilor, îi grupezi câte doi astfel încât fiecare grupă să aibă un factor comun, iar grupele să aibă apoi aceeași paranteză.
Exemplul 2: $x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)\left(x^2-4\right)=(x+3)(x-2)(x+2)$. Atenție la semn: $-4x-12=-4(x+3)$.
Un trinom de forma $x^2+bx+c$ se descompune despărțind termenul din mijloc în doi termeni aleși bine: $x^2+5x+6=x^2+2x+3x+6=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$. Cauți două numere cu suma $5$ și produsul $6$.
Avansat
Descompunerea nu este un scop în sine: în problemele grele ea transformă o întrebare dificilă într-una despre un produs.
Ideea 1 — un produs este zero dacă și numai dacă unul dintre factori este zero. Într-o ecuație nu împarți la o expresie care poate fi zero; o aduci în membrul stâng și dai factor comun.
Exemplu: $x(x-3)=2(x-3)$. Dacă împarți la $x-3$, obții doar $x=2$ și pierzi o soluție. Corect: $x(x-3)-2(x-3)=0$, adică $(x-3)(x-2)=0$, deci $x=3$ sau $x=2$.
Ideea 2 — o sumă de pătrate este zero numai dacă fiecare pătrat este zero. Desparți termenul liber ca să apară pătrate perfecte.
Exemplul 2: numerele reale $x$ și $y$ verifică $x^2+y^2-6x+2y+10=0$. Scriem $10=9+1$: $\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2+2y+1\right)=(x-3)^2+(y+1)^2=0$, deci $x=3$ și $y=-1$.
Ideea 3 — un număr prim nu se poate scrie ca produs de două numere naturale mai mari decât $1$. Descompui expresia și unul dintre factori trebuie să fie $1$.
Exemplul 3: pentru ce număr natural $n$ este $n^2+2n-3$ număr prim? Descompunem: $n^2+2n-3=(n+3)(n-1)$. Pentru $n$ natural, $n+3\ge 3$ și $n+3>n-1$, deci factorul mai mic trebuie să fie $n-1=1$, adică $n=2$. Verificare: $5\cdot 1=5$, care este prim.
Greșeli frecvente
Factorul comun împărțit doar din primul termen: $6x^2-9x=3x(2x-3)$, nu $3x(2x-9)$. Fiecare termen se împarte la factorul comun.
Semnul pierdut: $3x(2x+3)=6x^2+9x$, deci nu este descompunerea lui $6x^2-9x$. Înmulțirea înapoi prinde greșeala.
Confuzia dintre diferența de pătrate și pătratul diferenței: $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$, nu $(2x-5)^2$, care ar avea și termenul $-20x$.
Termenii formulei luați fără rădăcină: în $4x^2-25$ termenii sunt $2x$ și $5$, pentru că $(2x)^2=4x^2$ și $5^2=25$ — nu $4x$ și $25$.
Descompunere oprită prea devreme sau factor comun uitat: $2x^2-8=2(x-2)(x+2)$; $(x-2)(x+2)$ singur este doar jumătate din expresie.
Împărțirea ecuației la un factor care poate fi zero, sau semnul greșit la final: din $(a-1)^2=0$ rezultă $a=1$, nu $a=-1$.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, cartea a II-a, propoziția 5: produsul a două segmente ca diferență de două pătrate — mathcs.clarku.edu
- Pierre de Fermat (1601–1665), date de viață — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Metoda lui Fermat, prin diferența de pătrate, și exemplul 5959 = 80² − 21² = 59 · 101 — en.wikipedia.org
- Metoda descrisă de Fermat într-o scrisoare către Mersenne, în jurul anului 1643 — arxiv.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.