Teorie · B3 Algebră · clasa a VIII-a
Descompuneri în factori în clasa a VIII-a: factor comun, formule, grupare, divizibilitate
Descompunerea expresiilor în factori, pornind de la factorul comun și descompunerea numerelor din clasa a V-a: factor comun, formulele citite invers, gruparea termenilor, trinoame, apoi idei de examen cu divizibilitate și soluții naturale.
De unde vine
Englezul Thomas Harriot (aproximativ 1560–1621) a fost unul dintre primii care au văzut o ecuație ca pe un produs de paranteze. El a observat că o ecuație ale cărei soluții sunt $a$, $b$, $c$ se poate scrie $(x-a)(x-b)(x-c)=0$ — tocmai ideea din spatele descompunerii: un produs este zero când unul dintre factori este zero.
Harriot nu și-a publicat algebra în timpul vieții. Cartea „Artis Analyticae Praxis” a apărut în 1631, la zece ani după moartea lui, îngrijită de prietenul său Walter Warner. În ea, Harriot arată că ecuația $aa-ba+ca=bc$ (cu $a$ necunoscuta) este aceeași cu produsul $(a-b)(a+c)$ egalat cu zero — o grupare de termeni, exact ca în lecția de azi. Soluțiile sunt $a=b$ și $a=-c$.
La ce folosește
Arii de inele: o coroană circulară, cum este marginea unei farfurii sau o șaibă, are aria $\pi R^2-\pi r^2=\pi(R-r)(R+r)$. Pentru $R=13$ cm și $r=12$ cm, calculul devine $\pi\cdot 1\cdot 25=25\pi$ cm$^2$, fără să mai ridici nimic la pătrat.
Scumpiri și ieftiniri: un preț $p$ crește cu $20\%$, apoi scade cu $20\%$. Noul preț este $p(1+0{,}2)(1-0{,}2)=p\left(1-0{,}2^2\right)=0{,}96p$, deci cu $4\%$ mai mic decât la început, nu egal. Un produs de $150$ de lei ajunge la $144$ de lei. Diferența de pătrate arată de ce: oricare ar fi procentul, după o creștere și o scădere egale prețul iese mai mic.
De bază
Din clasa a V-a știi să dai factor comun cu numere, $12\cdot 7+12\cdot 3=12\cdot(7+3)$, și să descompui un număr în factori primi. În clasa a VIII-a faci același lucru cu expresii: le scrii ca produs. Formulele de calcul prescurtat, citite de la dreapta la stânga, devin unelte de descompunere.
Exemplu: $6a^3-4a^2=2a^2(3a-2)$. Factorul comun ia cel mai mare divizor comun al coeficienților ($2$) și litera la puterea cea mai mică ($a^2$).
Exemplul 2 (cu radicali, din clasa a VII-a): $x^2-3=x^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)$. Orice număr pozitiv este pătratul radicalului său.
Exemplul 3: $4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 3+3^2=(2x+3)^2$.
Factorul comun poate fi și o paranteză întreagă. Exemplul 4: $3x(x-1)+5(x-1)=(x-1)(3x+5)$.
Mediu
Ordinea de lucru: factor comun, apoi formule, apoi gruparea — și la final verifici dacă vreun factor se mai poate descompune.
Exemplu: $2x^3-12x^2+18x=2x\left(x^2-6x+9\right)=2x(x-3)^2$.
Exemplul 2 (grupare cu două litere): $xy-2x+3y-6=x(y-2)+3(y-2)=(y-2)(x+3)$.
Exemplul 3 (diferență de pătrate cu o paranteză): $(x+1)^2-16=(x+1-4)(x+1+4)=(x-3)(x+5)$.
Un trinom cu $a\neq 1$ se descompune despărțind termenul din mijloc. Exemplul 4: $2x^2+x-3=2x^2-2x+3x-3=2x(x-1)+3(x-1)=(x-1)(2x+3)$. Cauți două numere cu suma $1$ (coeficientul lui $x$) și produsul $2\cdot(-3)=-6$: acestea sunt $-2$ și $3$.
Exemplul 5 (tip Subiectul al III-lea): $x^2-9+(x-3)(2x+1)=(x-3)(x+3)+(x-3)(2x+1)=(x-3)(3x+4)$. Primul grup se descompune cu formula, ca să apară factorul comun $x-3$.
Avansat
Ideea 1 — un produs de numere consecutive se divide cu numărul lor.
Exemplu: arată că $n^3-n$ se divide cu $6$ pentru orice număr natural $n$. $n^3-n=n\left(n^2-1\right)=(n-1)n(n+1)$: trei numere consecutive. Printre ele există mereu un număr par și un multiplu de $3$, deci produsul se divide cu $6$.
Ideea 2 — adaugi și scazi același termen, ca să apară o diferență de pătrate.
Exemplul 2: $x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=\left(x^2+2\right)^2-(2x)^2=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)$.
Ideea 3 — adaugi $1$ ca să poți grupa, apoi folosești divizorii.
Exemplul 3: câte perechi de numere naturale $(x,y)$ verifică $xy+x+y=11$? Adunăm $1$: $xy+x+y+1=12$, adică $(x+1)(y+1)=12$. Factorul $x+1$ poate fi orice divizor al lui $12$: $1,2,3,4,6,12$. Rezultă $6$ perechi: $(0,11)$, $(1,5)$, $(2,3)$, $(3,2)$, $(5,1)$, $(11,0)$.
Ideea 4 — o sumă de pătrate egală cu $0$. Un pătrat nu este niciodată negativ, deci dacă o sumă de pătrate este $0$, fiecare pătrat este $0$: din $A^2+B^2=0$ rezultă $A=0$ și $B=0$. Desparți termenul liber în pătrate perfecte ca să ajungi la această formă.
Exemplul 4: află numerele reale $x$ și $y$ pentru care $x^2+y^2-2x+4y+5=0$. Scriem $5=1+4$: $\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)=(x-1)^2+(y+2)^2=0$. Atunci $x-1=0$ și $y+2=0$, deci $x=1$ și $y=-2$.
Greșeli frecvente
Factorul $1$ uitat: $3x^2+3x=3x(x+1)$, nu $3x\cdot x$. Când un termen este chiar factorul comun, în paranteză rămâne $1$.
„Descompunerea” lui $x^2+9$ ca $(x-3)(x+3)$: acel produs dă $x^2-9$. O sumă de pătrate $x^2+9$ nu se descompune cu numere reale — este mereu cel puțin $9$.
Semnul la gruparea cu minus: $-2x+6=-2(x-3)$, nu $-2(x+3)$.
Factorul $1$ uitat la paranteza comună: $2x(x-1)+(x-1)=(x-1)(2x+1)$, nu $(x-1)\cdot 2x$.
Diferența de pătrate cu radicali ignorată: $x^2-5$ se descompune, $\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)$.
Descompunere lăsată neterminată: $x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)$ — primul factor se mai descompune.
Surse pentru partea istorică
- Thomas Harriot (1560–1621): dacă a, b, c sunt rădăcinile unei ecuații de gradul trei, ea este (x−a)(x−b)(x−c)=0; „Artis Analyticae Praxis” publicată în 1631, la zece ani după moarte — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Harriot, date de viață; „Artis Analyticae Praxis” publicată postum în 1631 de prietenul și executorul său Walter Warner — en.wikipedia.org
- Descompunerea în factori nu a fost folosită înainte de lucrarea lui Harriot din 1631; exemplul aa − ba + ca = + bc, descompus ca (a − b)(a + c) — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.