Teorie · B4 Algebră · clasa a VIII-a
Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere: domeniu, simplificare, operații
Fracțiile cu litere: când sunt definite, cum se simplifică doar prin factori comuni, cum se adună, se înmulțesc și se împart, și ideile pentru problemele grele: scoaterea întregilor și sumele care se reduc.
De unde vine
Scrierea unei fracții ca un număr deasupra altuia vine din India: Brahmagupta (în jurul anului 628) și Bhaskara (în jurul anului 1150) scriau fracțiile aproape ca noi, dar fără linia de fracție.
Matematicienii arabi au preluat această scriere și au adăugat linia orizontală dintre numărător și numitor. Mai multe surse îi atribuie linia lui al-Hassar, un matematician din secolul al XII-lea, dar atribuirea nu este sigură. În Europa, primul care a folosit linia de fracție ca azi a fost Leonardo din Pisa, numit Fibonacci (circa 1175–1250), a cărui carte „Liber Abaci” a apărut în 1202.
Fracțiile cu litere la numărător și la numitor, pe care le studiezi aici, au devenit posibile abia după ce literele au intrat în calcul, cu Viète (1591) și Descartes (1637).
La ce folosește
Viteza medie: mergi la bunici cu $60$ km/h și te întorci pe același drum cu $40$ km/h. Viteza medie nu este $50$ km/h. Dacă drumul are $d$ km, timpul total este $\frac{d}{60}+\frac{d}{40}$, iar viteza medie este $\frac{2d}{\frac{d}{60}+\frac{d}{40}}=\frac{2\cdot 60\cdot 40}{60+40}=48$ km/h. Fracția algebrică se simplifică prin $d$, deci rezultatul nu depinde de lungimea drumului.
Lucrul în comun: un robinet umple o piscină în $a$ ore, altul în $b$ ore. Într-o oră umplu împreună $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$ din piscină, deci o umplu în $\frac{ab}{a+b}$ ore. Pentru $3$ ore și $6$ ore, timpul comun este $\frac{18}{9}=2$ ore.
De bază
Un raport de numere reprezentate prin litere (o fracție algebrică) are sens doar când numitorul este diferit de $0$. Primul lucru pe care îl faci este să afli pentru ce valori numitorul se anulează.
Exemplu: fracția $\frac{x+5}{x^2-16}$ nu este definită când $x^2-16=0$, adică $(x-4)(x+4)=0$, deci pentru $x=4$ și pentru $x=-4$. Pentru $x=-5$ ea este definită și egală cu $0$.
Simplificarea se face numai cu FACTORI comuni numărătorului și numitorului. De aceea descompui întâi în factori (B3), apoi simplifici.
Exemplul 2: $\frac{3x+6}{x^2+2x}=\frac{3(x+2)}{x(x+2)}=\frac{3}{x}$, pentru $x\neq 0$ și $x\neq -2$.
Exemplul 3: $\frac{x^2-25}{x-5}=\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=x+5$, pentru $x\neq 5$.
Mediu
Adunarea și scăderea: aduci fracțiile la același numitor. Descompui numitorii și iei numitorul comun format din toți factorii, fiecare o singură dată, la puterea cea mai mare. Apoi amplifici fiecare fracție cu ce îi lipsește.
Exemplu: $\frac{2}{x}+\frac{5}{3x}=\frac{6}{3x}+\frac{5}{3x}=\frac{11}{3x}$.
Exemplul 2: $\frac{2}{x-3}-\frac{2}{x+3}=\frac{2(x+3)-2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x+6-2x+6}{x^2-9}=\frac{12}{x^2-9}$. Minusul din fața celei de-a doua fracții se aplică întregului ei numărător.
Înmulțirea: numărător cu numărător, numitor cu numitor, dar înainte descompui și simplifici. Împărțirea: înmulțești cu fracția inversată.
Exemplul 3: $\frac{x^2-4}{3x}:\frac{x+2}{6x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x+2}=2x(x-2)$.
În subiectul al III-lea, forma tipică este: „Arată că $E(x)=\dots$”, urmată de o cerință care folosește forma simplă — de exemplu o ecuație $E(a)=3$. După ce rezolvi ecuația, verifici că soluția nu este una dintre valorile excluse.
Avansat
Ideea 1 — scoți întregii dintr-o fracție. Când se cere ca o fracție să fie număr întreg, scrii numărătorul cu ajutorul numitorului, astfel încât să rămână doar un număr sus.
Exemplu: pentru ce numere întregi $n$ este $\frac{2n+7}{n+1}$ număr întreg? Scriem $2n+7=2(n+1)+5$, deci $\frac{2n+7}{n+1}=2+\frac{5}{n+1}$. Fracția este întreagă exact când $n+1$ divide $5$, adică $n+1\in\{-5,-1,1,5\}$. Rezultă $n\in\{-6,-2,0,4\}$. Divizorii negativi nu se uită.
Ideea 2 — descompui fiecare termen al unei sume lungi într-o diferență, iar termenii se reduc doi câte doi.
Exemplul 2: $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, pentru că $\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$. Atunci $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{99\cdot 100}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$.
Ideea 3 — dacă după simplificare expresia nu mai depinde de $x$, o sumă de valori ca $E(2)+E(3)+\dots+E(10)$ este doar numărul de termeni înmulțit cu acea valoare.
Greșeli frecvente
Simplificarea termen cu termen: în $\frac{x^2-9}{x+3}$ nu simplifici $x^2$ cu $x$. Întâi descompui, $x^2-9=(x-3)(x+3)$, apoi simplifici factorul $x+3$ și obții $x-3$.
Adunarea numărătorilor între ei și a numitorilor între ei: $\frac{2}{x}+\frac{3}{2x}$ nu este $\frac{5}{3x}$. Aduci la numitorul comun $2x$: $\frac{4}{2x}+\frac{3}{2x}=\frac{7}{2x}$.
Numitorul comun ales, dar amplificarea uitată: $\frac{2}{x}$ devine $\frac{4}{2x}$, nu $\frac{2}{2x}$.
Condițiile greșite: fracția nu este definită unde se anulează NUMITORUL, nu numărătorul. Iar $x^2=4$ are două soluții, $x=2$ și $x=-2$.
Semnul la scădere: în $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$ numărătorul este $(x+2)-(x-2)=4$; minusul schimbă semnul fiecărui termen din a doua paranteză.
Numai divizorii pozitivi: când $n+2$ trebuie să dividă $1$, el poate fi $1$ sau $-1$.
Surse pentru partea istorică
- Brahmagupta (c. 628) și Bhaskara (c. 1150) scriau fracțiile fără linie; arabii au adăugat linia orizontală; mai multe surse o atribuie lui al-Hassar; Fibonacci (c. 1175–1250) primul european care o folosește ca azi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Liber Abaci, scrisă de Leonardo din Pisa (Fibonacci) în 1202 — en.wikipedia.org
- Viète, 1591, literele pentru necunoscute și pentru mărimi cunoscute — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.