Teorie · B4 Algebră · clasa a VIII-a
Fracții algebrice în clasa a VIII-a: condiții, simplificare, operații, ridicare la putere
Fracțiile cu litere, pornind de la fracțiile din clasa a V-a: când au sens, cum se simplifică după descompunere, cum se adună, se înmulțesc, se împart și se ridică la putere, și capcanele de la Evaluarea Națională, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Vechii egipteni scriau fracțiile aproape numai ca sume de fracții cu numărătorul $1$, cu câteva excepții, ca $\frac{2}{3}$. Papirusul Rhind, copiat de scribul Ahmes în jurul anilor 1650–1550 î.Hr., conține un tabel care scrie $\frac{2}{n}$ astfel, pentru toate numerele impare $n$ de la $3$ la $101$. De exemplu, $\frac{2}{15}=\frac{1}{10}+\frac{1}{30}$.
Ultimul rând al tabelului este $\frac{2}{101}=\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\frac{1}{303}+\frac{1}{606}$. Cu fracții algebrice vezi imediat că regula merge pentru orice $n$: $\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{6n}=\frac{6+3+2+1}{6n}=\frac{12}{6n}=\frac{2}{n}$. Mult mai târziu, în 1202, Fibonacci a dat în „Liber Abaci” o metodă pentru a scrie o fracție ca sumă de fracții cu numărătorul $1$: alegi mereu cea mai mare fracție de acest fel care încape în ce a rămas.
La ce folosește
Cheltuieli împărțite: un cadou de $240$ de lei se plătește în mod egal de $n$ prieteni. Dacă se mai alătură doi, fiecare plătește cu $\frac{240}{n}-\frac{240}{n+2}=\frac{480}{n(n+2)}$ lei mai puțin. Pentru $n=6$: $40-30=10$ lei, și formula dă $\frac{480}{48}=10$.
Media notelor: un elev are media $8$ din $4$ note, adică suma $32$. Cu o a cincea notă $x$, media devine $\frac{32+x}{5}$. Ca să ajungă la $8{,}40$ are nevoie de $32+x=42$, deci de nota $10$. Aceeași fracție cu literă îți spune, pentru orice notă, ce medie iese.
De bază
Din clasa a V-a știi să simplifici și să amplifici fracții, să le aduci la același numitor cu cel mai mic multiplu comun și să le înmulțești sau împarți. În clasa a VIII-a numărătorul și numitorul pot conține litere. Regulile sunt aceleași, cu două lucruri noi: numitorul nu are voie să fie $0$, iar în locul descompunerii numerelor în factori primi folosești descompunerea expresiilor.
Exemplu: fracția $\frac{2x-1}{x^2+3x}$ are sens când $x^2+3x=x(x+3)\neq 0$, adică pentru $x\neq 0$ și $x\neq -3$. La Evaluarea Națională scrie „$x\in\mathbb{R}\setminus\{-3,0\}$”.
Exemplul 2: $\frac{x^2-6x+9}{2x-6}=\frac{(x-3)^2}{2(x-3)}=\frac{x-3}{2}$, pentru $x\neq 3$.
Amplificarea: înmulțești numărătorul și numitorul cu aceeași expresie, iar la condițiile fracției se adaugă una nouă — expresia cu care amplifici nu are voie să fie $0$. Amplifici ca să ajungi la un numitor dat sau la numitorul comun.
Exemplul 3: $\frac{3}{x-2}$ amplificată cu $x+2$ devine $\frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3x+6}{x^2-4}$, pentru $x\neq 2$ și, de acum, și $x\neq -2$.
Ridicarea la putere: ridici și numărătorul, și numitorul. Exemplul 4: $\left(\frac{2x}{y^2}\right)^3=\frac{8x^3}{y^6}$.
Mediu
La adunare și scădere descompui numitorii, alegi numitorul comun și, la final, verifici dacă rezultatul se mai simplifică.
Exemplu: $\frac{3}{x+2}-\frac{x-4}{x^2+2x}$. Cum $x^2+2x=x(x+2)$, numitorul comun este $x(x+2)$: $\frac{3x-(x-4)}{x(x+2)}=\frac{2x+4}{x(x+2)}=\frac{2(x+2)}{x(x+2)}=\frac{2}{x}$.
Exemplul 2 (tip Subiectul al III-lea): arată că $E(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\frac{4x}{x^2-1}=1$, pentru $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}$. În paranteză: $\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{x^2-1}=\frac{4x}{x^2-1}$. Împărțirea la $\frac{4x}{x^2-1}$ dă $1$. Valoarea $0$ este exclusă pentru că nu poți împărți la o fracție egală cu $0$.
La înmulțire descompui întâi numărătorii și numitorii, simplifici factorii comuni (și în cruce, de la o fracție la alta), apoi înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei. Împărțirea este înmulțirea cu inversa fracției a doua: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$. Apare o condiție în plus: împărțitorul nu are voie să fie $0$, deci și $C\neq 0$.
Exemplul 3: $\frac{x^2-9}{x^2+x}\cdot\frac{x+1}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+1)}\cdot\frac{x+1}{x+3}=\frac{x-3}{x}$.
Exemplul 4: $\frac{x+3}{x}:\frac{x^2-9}{2x}=\frac{x+3}{x}\cdot\frac{2x}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x-3}$. Numitorii cer $x\neq 0$, iar împărțitorul nenul cere $x^2-9\neq 0$, adică $x\neq 3$ și $x\neq -3$. Valoarea $-3$ nu anulează niciun numitor din rezultat, dar este exclusă.
Avansat
Ideea 1 — după simplificare, verifici condițiile. O soluție care anulează un numitor de la început nu este soluție.
Exemplu: $F(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}$, $x\neq\pm 1$. Descompui: $F(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+3}{x+1}$. Rezolvă $F(a)=2$: $a+3=2(a+1)$, deci $a=1$. Dar $1$ este exclus, așa că ecuația nu are nicio soluție. Simplificarea a ascuns condiția, nu a eliminat-o.
Ideea 2 — ca să compari o fracție cu un număr, faci diferența și îi studiezi semnul.
Exemplul 2: arată că $\frac{x}{x^2+1}\le\frac{1}{2}$ pentru orice $x$ real. $\frac{1}{2}-\frac{x}{x^2+1}=\frac{x^2+1-2x}{2\left(x^2+1\right)}=\frac{(x-1)^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge 0$. Egalitatea are loc pentru $x=1$.
Ideea 3 — dintr-un raport dat, notezi ambele numere cu aceeași literă.
Exemplul 3 (tip Subiectul I): dacă $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$, atunci $a=3k$ și $b=4k$, cu $k\neq 0$, iar $\frac{2a+b}{a-b}=\frac{6k+4k}{3k-4k}=\frac{10k}{-k}=-10$.
Greșeli frecvente
Puterea aplicată doar numărătorului: $\left(\frac{x}{3}\right)^2=\frac{x^2}{9}$, nu $\frac{x^2}{3}$.
Semnul la simplificarea unor paranteze opuse: $\frac{a-b}{b-a}=-1$, nu $1$, pentru că $b-a=-(a-b)$.
„Simplificarea” lui $x^2$ dintr-o sumă: $\frac{x^2+1}{x^2}$ nu este $1$; pentru $x=1$ valoarea este $2$.
La împărțire se inversează fracția a doua, nu prima: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$.
Condiția uitată la împărțire: în $E:\frac{x-2}{x+1}$ trebuie și $x\neq 2$, pentru că fracția la care împarți nu are voie să fie $0$.
Soluția păstrată deși este exclusă, ca în exemplul cu $F(a)=2$: întâi scrii condițiile, apoi le compari cu rezultatul.
Surse pentru partea istorică
- Papirusul Rhind a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. de Ahmes, care copia un document cu 200 de ani mai vechi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Papirusul Rhind, în jurul anului 1550 î.Hr., copiat de scribul Ahmose (Ahmes); tabelul 2/n pentru n impar de la 3 la 101; 2/15 = 1/10 + 1/30 și 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606 — en.wikipedia.org
- Fracțiile egiptene ca sume de fracții unitare, simbolurile speciale pentru 2/3; tabelul 2/n din papirusul Rhind; metoda lui Fibonacci din „Liber Abaci” (1202) — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.