Teorie · B7 Algebră · clasa a VII-a
Sisteme de ecuații liniare: metoda substituției și metoda reducerii
Cum rezolvi un sistem de două ecuații cu două necunoscute prin substituție sau prin reducere, cum traduci o problemă cu text într-un sistem și ce idei scurtează calculul, cu exemple rezolvate.
De unde vine
O metodă completă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare apare într-o carte chineză antică. Cartea „Nouă capitole despre arta matematică” (Jiuzhang suanshu) a fost scrisă, după cei mai mulți istorici, în jurul anului 200 î.Hr.; datarea este nesigură, iar estimările merg de la 100 î.Hr. până la 50 d.Hr. Matematicianul Liu Hui i-a scris un comentariu în anul 263.
Capitolul al optulea al cărții are $18$ probleme care duc la sisteme de ecuații liniare. Coeficienții erau așezați într-un tabel, pe coloane, iar tabelul era adus pas cu pas la o formă triunghiulară — în esență aceeași metodă de eliminare pe care o folosim și azi. Tot în acest capitol apar numere negative, împreună cu regulile de calcul pentru ele.
În Europa, metoda a devenit standard în manualele de algebră de la sfârșitul secolului al XVIII-lea, după ce notițele lui Isaac Newton au fost publicate în 1707 sub titlul „Arithmetica Universalis”. Astăzi se numește „eliminarea gaussiană”, după Carl Friedrich Gauss, deși Gauss nu a inventat-o: numele i s-a dat abia în anii 1950, dintr-o confuzie despre istoria metodei.
La ce folosește
Prețuri necunoscute. La cinema, $2$ bilete de adult și $3$ de copil costă $95$ de lei, iar un bilet de adult și unul de copil costă împreună $40$ de lei. Cu $a$ și $c$ prețurile, $a+c=40$ și $2a+3c=95$. Din a doua scădem dublul primei: $c=95-80=15$ lei, iar $a=25$ de lei. Magazinele, contabilii și oricine compară bonuri fac astfel de calcule.
Amestecuri. O prăjitorie vrea $10$ kg de cafea care să coste $60$ de lei kilogramul, amestecând cafea de $50$ de lei/kg cu cafea de $75$ de lei/kg. Cu $x$ și $y$ cantitățile, $x+y=10$ și $50x+75y=600$ (costul total al amestecului, $10\cdot 60$). Scăzând $50$ ori prima ecuație, $25y=100$, deci $y=4$ kg și $x=6$ kg. Aceeași socoteală se face pentru aliaje, soluții de laborator sau furaje.
În tehnică, sistemele sunt peste tot: un calculator care desenează o imagine 3D, un program de navigație sau o simulare a unui pod rezolvă sisteme cu mii de necunoscute, prin aceeași metodă de eliminare, făcută de mașină.
De bază
Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute arată ca $\begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases}$. O soluție este o pereche $(x,y)$ care verifică AMBELE ecuații în același timp.
Metoda substituției: scoți o necunoscută din una dintre ecuații și o înlocuiești în cealaltă. Este comodă când o necunoscută are deja coeficientul $1$.
Exemplu: $\begin{cases} y=x+1\\ 2x+y=10 \end{cases}$. Înlocuim $y$ în a doua ecuație: $2x+x+1=10$, deci $3x=9$ și $x=3$. Apoi $y=3+1=4$. Soluția este $(3,4)$. Verificare: $2\cdot 3+4=10$.
Metoda reducerii: aduni sau scazi ecuațiile, ca să dispară una dintre necunoscute.
Exemplul 2: $\begin{cases} x+y=9\\ x-y=3 \end{cases}$. Adunăm ecuațiile: $y$ și $-y$ se reduc, rămâne $2x=12$, deci $x=6$. Din prima ecuație, $y=9-6=3$. Soluția este $(6,3)$.
La final, verifică soluția în ambele ecuații: durează câteva secunde și prinde aproape orice greșeală de calcul.
Mediu
De cele mai multe ori coeficienții nu se reduc direct. Atunci înmulțești una sau ambele ecuații cu câte un număr ales astfel încât o necunoscută să aibă coeficienți opuși — și înmulțești TOȚI termenii, inclusiv membrul drept.
Exemplu: $\begin{cases} 3x+2y=12\\ 5x-3y=1 \end{cases}$. Înmulțim prima ecuație cu $3$ și a doua cu $2$: $9x+6y=36$ și $10x-6y=2$. Adunând, $19x=38$, deci $x=2$. Din prima ecuație, $6+2y=12$, deci $y=3$. Verificare în a doua: $10-9=1$.
Dacă ecuațiile au paranteze sau fracții, le aduci întâi pe fiecare la forma $ax+by=c$, apoi aplici una dintre metode.
Cum recunoști un sistem într-o problemă cu text: apar două mărimi necunoscute și două informații despre ele („împreună”, „în total”, „cu atât mai mult”). Fiecare informație devine o ecuație.
Exemplul 2: într-o curte sunt găini și iepuri, în total $20$ de capete și $56$ de picioare. Cu $g$ găini și $i$ iepuri: $g+i=20$ și $2g+4i=56$. Înmulțim prima cu $2$ și o scădem din a doua: $2i=56-40=16$, deci $i=8$ iepuri și $g=12$ găini. Verificare: $24+32=56$ de picioare.
Avansat
Ideea 1 — nu calcula ce nu ți se cere. Dacă problema întreabă de $x+y$ sau de $x-y$, adună sau scade ecuațiile întregi: coeficienții „încrucișați” se aranjează singuri.
Exemplu: $4x+3y=25$ și $3x+4y=24$. Adunând, $7x+7y=49$, deci $x+y=7$. Scăzând a doua din prima, $x-y=1$. Din aceste două ecuații simple, $x=4$ și $y=3$. Verificare: $16+9=25$ și $12+12=24$.
Ideea 2 — un număr de două cifre $\overline{ab}$ se scrie $10a+b$. Cu această scriere, problemele cu cifre devin sisteme.
Exemplul 2: suma cifrelor unui număr de două cifre este $10$. Dacă inversăm cifrele, obținem un număr cu $36$ mai mic. Numărul este $\overline{ab}=10a+b$, iar cel inversat este $10b+a$. Condițiile: $a+b=10$ și $10b+a=10a+b-36$, adică $9a-9b=36$, deci $a-b=4$. Adunând cu $a+b=10$: $2a=14$, $a=7$, $b=3$. Numărul este $73$, iar $37=73-36$.
Ideea 3 — nu orice sistem are o singură soluție. Dacă, după înmulțire, membrii stângi devin identici, compară membrii drepți: dacă diferă, sistemul nu are soluție.
Exemplul 3: $2x+4y=6$ și $x+2y=5$. Înmulțind a doua cu $2$, obținem $2x+4y=10$. Aceeași expresie nu poate fi egală și cu $6$, și cu $10$, deci sistemul nu are nicio soluție. Dacă membrii drepți ar fi fost egali, sistemul ar fi avut o infinitate de soluții.
Greșeli frecvente
Adunarea greșită a termenilor asemenea: după substituția $y=2x$ în $x+y=12$, se obține $x+2x=3x$, nu $2x$. Deci $3x=12$ și $x=4$.
Citirea inversă a unei relații: „$y$ este dublul lui $x$” înseamnă $y=2x$, nu $x=2y$. Verifică soluția în enunț.
Răspunsul la altă întrebare: ai aflat $y$, dar se cere $x$; ai aflat numărul mai mic, dar se cere cel mai mare. Recitește întrebarea înainte să scrii răspunsul.
Oprirea înainte de final: din $2y=4$ rezultă $y=2$ — mai rămâne o împărțire. La fel, după reducere, $c-p=2$ este doar diferența prețurilor, nu prețul.
Scăderea în ordinea greșită: $(2x+3y)-(3x+2y)=-x+y$, adică $y-x$, nu $x-y$. Scrie fiecare scădere cu paranteze.
Folosirea unei singure ecuații: dacă suma a două numere este $30$, nu înseamnă că fiecare este $15$ — și cealaltă informație trebuie folosită. Iar când înmulțești o ecuație, înmulțește și membrul drept.
Surse pentru partea istorică
- Nouă capitole despre arta matematică: datată de cei mai mulți istorici în jurul anului 200 î.Hr. (estimări între 100 î.Hr. și 50 d.Hr.); comentariul lui Liu Hui din 263; capitolul 8 cu 18 probleme rezolvate prin reducerea tabelului de coeficienți la formă triunghiulară; numere negative cu reguli de calcul — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Notițele lui Newton publicate în 1707 ca Arithmetica Universalis, metoda standard în manuale de la sfârșitul secolului al XVIII-lea; numele lui Gauss dat metodei abia în anii 1950, dintr-o confuzie istorică — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.