Teorie · B7 Algebră · clasa a VII-a
Sisteme de ecuații în clasa a VII-a: perechi-soluție, metoda substituției și metoda reducerii
De la ecuația cu o necunoscută din clasa a VI-a la sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute: ce este o pereche-soluție, metoda substituției, metoda reducerii, sisteme cu fracții și radicali, probleme cu vârste și necunoscute la numitor — materia de clasa a VII-a, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Probleme care duc la două ecuații cu două necunoscute se găsesc deja pe tăblițe babiloniene de lut. Pe una, datată în jurul anului 300 î.Hr., se cere: două câmpuri au împreună $1800$ de iarzi pătrați; primul dă $\frac{2}{3}$ de bușel de grâu pe iard pătrat, al doilea $\frac{1}{2}$; recolta totală este de $1100$ de bușeli; cât de mare este fiecare câmp? Cu metodele din clasa a VII-a: $x+y=1800$ și $\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=1100$, cu soluția $x=1200$ și $y=600$ — într-adevăr, $800+300=1100$.
În cartea chineză „Nouă capitole despre arta matematică”, capitolul al optulea se numește „Fangcheng”, titlu tradus de obicei prin „ecuații”. Dintre cele $18$ probleme ale lui, unele au două necunoscute, altele trei, iar cea mai complicată are cinci. Coeficienții se așezau pe o tablă de socotit, iar numerele pozitive și cele negative erau deosebite prin culoarea bețișoarelor: roșii și negre.
Aceeași metodă a reducerii a folosit-o Carl Friedrich Gauss pentru asteroidul Pallas: din observațiile făcute între 1803 și 1809 a obținut un sistem de șase ecuații liniare cu șase necunoscute și a dat o metodă sistematică de a-l rezolva, eliminând necunoscutele una câte una.
La ce folosește
Tariful unui taxi are o taxă de pornire și un preț pe kilometru. O cursă de $10$ km a costat $29$ de lei, iar una de $4$ km a costat $14{,}60$ lei. Cu $a$ taxa de pornire și $p$ prețul pe kilometru: $a+10p=29$ și $a+4p=14{,}6$. Scăzând ecuațiile, $6p=14{,}4$, deci $p=2{,}40$ lei/km și $a=5$ lei. Așa poți verifica dacă o factură de taxi, de telefon sau de energie (abonament plus consum) este corectă.
La baschet, o echipă a marcat $13$ coșuri, de câte $2$ și de câte $3$ puncte, în total $30$ de puncte. Cu $x$ coșuri de $2$ puncte și $y$ de $3$: $x+y=13$ și $2x+3y=30$. Scăzând dublul primei ecuații, $y=30-26=4$, deci $x=9$. Statisticienii sportivi reconstituie astfel detaliile unui meci din totaluri.
De bază
Din clasa a VI-a știi să rezolvi o ecuație cu o necunoscută, ca $2x+3=11$: are o singură soluție, $x=4$. O ecuație cu DOUĂ necunoscute, ca $2x+y=7$, are de obicei multe soluții, iar fiecare soluție este o pereche de numere $(x,y)$, scrisă în această ordine: întâi $x$, apoi $y$.
Exemplu: soluțiile naturale ale ecuației $2x+y=7$ sunt $(0,7)$, $(1,5)$, $(2,3)$ și $(3,1)$. Dacă cerem în plus ca $x-y=-1$, dintre aceste patru perechi rămâne doar $(2,3)$, pentru că $2-3=-1$. Perechea $(2,3)$ este soluția sistemului $\begin{cases} 2x+y=7\\ x-y=-1 \end{cases}$ — ea verifică AMBELE ecuații.
Un sistem nu se rezolvă însă încercând perechi. Metoda substituției: scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă, care devine o ecuație cu o singură necunoscută, ca în clasa a VI-a.
Exemplul 2: $\begin{cases} x-3y=1\\ 2x+5y=13 \end{cases}$. Din prima, $x=1+3y$. În a doua: $2(1+3y)+5y=13$, adică $2+6y+5y=13$, deci $11y=11$ și $y=1$. Apoi $x=1+3\cdot 1=4$. Soluția este $(4,1)$. Verificare: $4-3=1$ și $8+5=13$.
Mediu
Metoda reducerii: aduni sau scazi ecuațiile, după ce le-ai înmulțit, dacă e nevoie, cu numere potrivite, astfel încât o necunoscută să dispară. În clasa a VII-a coeficienții și termenii liberi pot fi orice numere reale, inclusiv radicali.
Exemplu: $\begin{cases} x+y=3\sqrt{2}\\ x-y=\sqrt{2} \end{cases}$. Adunând, $2x=4\sqrt{2}$, deci $x=2\sqrt{2}$. Din prima ecuație, $y=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Soluția este $\left(2\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$. Radicalii se adună ca termenii asemenea: $3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
Dacă o ecuație are fracții, o înmulțești întâi cu numitorul comun — toți termenii, inclusiv membrul drept.
Exemplul 2: $\begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4\\ x-y=3 \end{cases}$. Înmulțim prima ecuație cu $6$: $3x+2y=24$. Din a doua, $x=y+3$, deci $3(y+3)+2y=24$, adică $5y+9=24$, $y=3$ și $x=6$. Verificare: $\frac{6}{2}+\frac{3}{3}=3+1=4$.
Într-o problemă cu text, alegi două necunoscute și transformi fiecare informație într-o ecuație.
Exemplul 3: tatăl are acum de $4$ ori vârsta fiului. Peste $5$ ani va avea de $3$ ori vârsta fiului. Cu $t$ și $f$ vârstele de acum: $t=4f$ și $t+5=3(f+5)$. Înlocuim: $4f+5=3f+15$, deci $f=10$ ani și $t=40$ de ani. Verificare: peste $5$ ani, $45=3\cdot 15$. Atenție: „peste $5$ ani” se adună la AMBELE vârste.
Avansat
Ideea 1 — când necunoscutele apar la numitor, le înlocuiești cu altele noi. Sistemul devine unul obișnuit.
Exemplu: $\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \end{cases}$. Notăm $a=\frac{1}{x}$ și $b=\frac{1}{y}$: $a+b=\frac{5}{6}$ și $a-b=\frac{1}{6}$. Adunând, $2a=1$, deci $a=\frac{1}{2}$, iar $b=\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$. Nu te opri aici: se cer $x$ și $y$, deci $x=2$ și $y=3$.
Ideea 2 — dacă știi soluția, poți afla coeficienții. O pereche este soluție când, înlocuită, face ambele egalități adevărate; fiecare egalitate devine o ecuație cu necunoscuta coeficientul.
Exemplul 2: aflați $a$ și $b$ astfel încât $(1,2)$ să fie soluția sistemului $\begin{cases} ax+y=5\\ x+by=7 \end{cases}$. Înlocuim $x=1$, $y=2$: $a+2=5$, deci $a=3$, și $1+2b=7$, deci $b=3$.
Ideea 3 — în geometrie, laturile necunoscute sunt necunoscutele sistemului, iar perimetrul și relațiile dintre laturi sunt ecuațiile.
Exemplul 3: un triunghi isoscel are perimetrul $32$ cm, iar fiecare latură egală este cu $4$ cm mai lungă decât baza. Cu $l$ latura egală și $b$ baza: $2l+b=32$ și $l-b=4$. Din a doua, $b=l-4$, deci $2l+l-4=32$, $3l=36$, $l=12$ cm și $b=8$ cm. Verificare: $12+12+8=32$.
Greșeli frecvente
Perechea verificată într-o singură ecuație: $(5,2)$ verifică $x+y=7$, dar nu și $x-y=1$, pentru că $5-2=3$. O soluție a sistemului verifică ambele ecuații.
Ordinea din pereche inversată: soluția cu $x=4$ și $y=1$ se scrie $(4,1)$, nu $(1,4)$. Perechea $(1,4)$ este alt punct și, de regulă, nu este soluție.
Paranteza uitată la substituție: înlocuind $x=1+3y$ în $2x$, obții $2(1+3y)=2+6y$, nu $2+3y$ și nici $1+6y$. Scrie întotdeauna expresia înlocuită între paranteze.
Înmulțirea doar a membrului stâng: înmulțind $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4$ cu $6$, obții $3x+2y=24$, nu $3x+2y=4$.
Timpul adăugat unei singure vârste: „peste $5$ ani” înseamnă $t+5$ ȘI $f+5$. Ecuația $t+5=3f$ uită că și fiul îmbătrânește.
Răspunsul dat cu necunoscutele auxiliare: din $\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$ rezultă $x=2$, nu $x=\frac{1}{2}$. După o notație nouă, întoarce-te mereu la necunoscutele cerute.
Surse pentru partea istorică
- Tăbliță babiloniană din jurul anului 300 î.Hr. cu problema celor două câmpuri: 1800 de iarzi pătrați, 2/3 și 1/2 bușel pe iard pătrat, recolta 1100 de bușeli; coeficienții așezați pe o tablă de socotit; Gauss și asteroidul Pallas, observații 1803–1809, sistem de șase ecuații cu șase necunoscute rezolvat prin eliminare — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Capitolul al optulea din Nouă capitole se numește Fangcheng (tradus „ecuații”), are 18 probleme, unele cu două necunoscute, altele cu trei, cea mai complexă cu cinci; bețișoare roșii și negre pentru numere pozitive și negative — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.