Teorie · B9 Algebră · clasa a VIII-a
Ecuația de gradul al II-lea: discriminantul și formula soluțiilor
Cum rezolvi ecuația ax² + bx + c = 0: formele incomplete, discriminantul, formula soluțiilor, descompunerea în factori și problemele cu parametru sau cu text, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Probleme care astăzi se scriu ca ecuații de gradul al doilea apar pe tăblițele de lut babiloniene încă din jurul anului 2000 î.Hr. Scribii din Mesopotamia știau, de exemplu, să afle laturile unui dreptunghi când îi cunoșteau aria și o altă relație dintre laturi.
În India, Brahmagupta a dat în anul 628 prima regulă explicită de rezolvare, pentru ecuații de forma $ax^2+bx=c$ — încă nu complet generală. În secolul al IX-lea, la Casa Înțelepciunii din Bagdad, al-Khwarizmi (aproximativ 790–850) a scris cartea „Hisab al-jabr w'al-muqabala”. El a împărțit ecuațiile în șase tipuri și le-a rezolvat prin completarea pătratului, arătată cu figuri geometrice. Din „al-jabr” vine cuvântul „algebră”, iar din numele lui, cuvântul „algoritm”.
Formula care acoperă toate cazurile a fost obținută de Simon Stevin în 1594, iar René Descartes a publicat-o în forma de azi în 1637, în „La Géométrie”.
La ce folosește
Arii. O grădină dreptunghiulară are lungimea cu $3$ m mai mare decât lățimea și aria de $40$ m$^2$. Cu lățimea $x$: $x(x+3)=40$, adică $x^2+3x-40=0$. Discriminantul este $9+160=169$, iar soluția pozitivă este $x=\frac{-3+13}{2}=5$. Grădina are $5$ m pe $8$ m. Arhitecții și grădinarii dau des peste ecuații de acest fel, pentru că aria înmulțește două lungimi.
Mișcare. O minge aruncată vertical în sus cu viteza de $20$ m/s se află, după $t$ secunde, la înălțimea $h=20t-5t^2$ metri (cu accelerația gravitațională rotunjită la $10$ m/s$^2$). Revine pe sol când $h=0$: $t(20-5t)=0$, deci $t=0$ (momentul aruncării) sau $t=4$ s. După $2$ s, la jumătatea timpului, mingea atinge cel mai înalt punct, la $20$ m. Fizicienii și inginerii folosesc astfel de ecuații pentru traiectorii și pentru distanțe de frânare.
De bază
Ecuația de gradul al II-lea are forma $ax^2+bx+c=0$, cu $a\neq 0$. Numerele $a$, $b$, $c$ sunt coeficienții; semnul face parte din coeficient.
Forme incomplete, care se rezolvă mai repede fără formulă:
• dacă $b=0$: $x^2=k$; pentru $k>0$ are soluțiile $\sqrt{k}$ și $-\sqrt{k}$;
• dacă $c=0$: dai factor comun pe $x$, iar un produs este $0$ când unul dintre factori este $0$.
Exemplu: $x^2-9=0$ dă $x^2=9$, deci $x=3$ sau $x=-3$. Iar $2x^2-6x=0$ se scrie $2x(x-3)=0$, deci $x=0$ sau $x=3$.
Forma completă se rezolvă cu discriminantul $\Delta=b^2-4ac$:
• dacă $\Delta>0$, ecuația are două soluții reale diferite, $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$;
• dacă $\Delta=0$, are două soluții egale, $x=\frac{-b}{2a}$;
• dacă $\Delta<0$, nu are soluții reale.
Exemplul 2: $x^2-5x+6=0$, cu $a=1$, $b=-5$, $c=6$. $\Delta=25-24=1$, deci $x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$: $x_1=2$ și $x_2=3$.
Mediu
La examen, greutatea stă de obicei în semne și în alegerea metodei. Scrie mai întâi coeficienții cu semnul lor, apoi calculează $\Delta$.
Exemplu: $x^2+2x-15=0$. Aici $a=1$, $b=2$, $c=-15$, deci $\Delta=4-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64$ și $\sqrt{\Delta}=8$. Soluțiile: $\frac{-2+8}{2}=3$ și $\frac{-2-8}{2}=-5$.
Soluțiile dau descompunerea în factori: dacă $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2+bx+c=0$, atunci $x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$. De exemplu, $x^2+2x-15=(x-3)(x+5)$. Așa se simplifică fracțiile care au la numărător sau la numitor un trinom de gradul al doilea.
Problemele cu parametru se recunosc după o literă în plus. Dacă se dă o soluție, o înlocuiești; dacă se cer soluții egale, pui $\Delta=0$.
Exemplul 2: $x=2$ este soluție a ecuației $x^2+ax-10=0$. Înlocuim: $4+2a-10=0$, deci $a=3$. Ecuația devine $x^2+3x-10=0$, adică $(x-2)(x+5)=0$, iar cealaltă soluție este $-5$.
Exemplul 3: ecuația $x^2-6x+m=0$ are două soluții egale când $\Delta=36-4m=0$, adică $m=9$. Atunci $x^2-6x+9=(x-3)^2$, iar soluția este $3$.
Avansat
Ideea 1 — nu împărți niciodată la o expresie care îl conține pe $x$: poate fi zero și pierzi o soluție. Treci totul într-un membru și dă factor comun.
Exemplu: $(x+1)^2=3(x+1)$. Scriem $(x+1)^2-3(x+1)=0$, adică $(x+1)(x+1-3)=0$, deci $(x+1)(x-2)=0$. Soluțiile sunt $x=-1$ și $x=2$. Dacă am fi împărțit la $x+1$, am fi găsit doar $x=2$.
Ideea 2 — într-o problemă cu text, ecuația poate avea o soluție care nu are sens (o lungime negativă, un număr care nu e natural). O calculezi, apoi o elimini și spui de ce.
Exemplul 2: produsul a două numere naturale consecutive este $132$. Cu $n$ numărul mai mic, $n(n+1)=132$, adică $n^2+n-132=0$. $\Delta=1+528=529=23^2$, deci $n=\frac{-1+23}{2}=11$ sau $n=\frac{-1-23}{2}=-12$. Cum $-12$ nu este număr natural, numerele sunt $11$ și $12$.
Ideea 3 — completarea pătratului arată dintr-odată de ce o ecuație nu are soluții, sau care este cea mai mică valoare a unei expresii. De exemplu, $x^2-4x+7=(x-2)^2+3\ge 3$ pentru orice $x$, deci ecuația $x^2-4x+7=0$ nu are soluții reale — la fel spune și $\Delta=16-28=-12<0$. Aceeași scriere arată că valoarea minimă a expresiei este $3$, pentru $x=2$.
Greșeli frecvente
Semnul coeficienților: la $x^2-3x-4=0$, $c=-4$, deci $-4ac=-4\cdot 1\cdot(-4)=+16$. Pătratul unui număr negativ este pozitiv: $(-3)^2=9$, nu $-9$.
Formula discriminantului scrisă greșit: $\Delta=b^2-4ac$, nu $b^2+4ac$ și nici $b^2-ac$.
Formula soluțiilor aplicată greșit: la numărător este $-b$, nu $b$, iar numitorul este $2a$, nu $a$.
Împărțirea la $x$ sau la $x-3$: la $x^2-5x=0$, împărțind la $x$ pierzi soluția $x=0$. Corect: $x(x-5)=0$, deci $x=0$ sau $x=5$.
Binomul la pătrat fără termenul din mijloc: $(x-3)^2=x^2-6x+9$, nu $x^2+9$. Iar $x^2$ înseamnă $x\cdot x$, nu $2x$.
Trecerea unui termen fără schimbarea semnului, când se caută un parametru: din $9-3a+6=0$ rezultă $15=3a$, deci $a=5$.
Surse pentru partea istorică
- Matematicienii babilonieni rezolvau încă din jurul anului 2000 î.Hr. probleme cu arii și laturi de dreptunghiuri; Brahmagupta a dat în 628 prima soluție explicită, dar nu complet generală, pentru ax²+bx=c; formula pentru toate cazurile la Simon Stevin în 1594 și în forma modernă la Descartes în 1637 — en.wikipedia.org
- Al-Khwarizmi (c. 790–850), Casa Înțelepciunii din Bagdad, cartea Hisab al-jabr w'al-muqabala, cele șase tipuri de ecuații, completarea pătratului cu figuri geometrice, originea cuvintelor algebră și algoritm — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.