Teorie · B9 Algebră · clasa a VIII-a
Ecuația de gradul al II-lea în clasa a VIII-a: de la x² = a la discriminant
Cum treci de la ecuațiile x² = a și ax + b = 0 din clasa a VII-a la ecuația ax² + bx + c = 0: forme incomplete, discriminantul, soluții cu radicali, ecuații cu fracții, probleme cu triunghiuri și cu parametru, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Una dintre cele mai cunoscute ecuații de gradul al II-lea vine dintr-o întrebare geometrică. În „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), cartea a VI-a definește tăierea unui segment „în medie și extremă rație”: întregul segment se raportează la partea mai mare cum se raportează partea mai mare la cea mai mică. Euclid folosește această tăiere ca să construiască pentagonul regulat.
Dacă partea mare are lungimea $1$ și întregul are lungimea $x$, condiția este $\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$, adică $x^2-x-1=0$. Soluția pozitivă, $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618$, este numărul pe care îl numim azi „secțiunea de aur”. Cea mai veche folosire cunoscută a numelui „secțiune de aur” este într-un dicționar din 1789 al lui Johann Samuel Traugott Gehler.
La ce folosește
Proporții plăcute ochiului: un dreptunghi din care, tăind un pătrat, rămâne un dreptunghi cu aceeași formă, are raportul laturilor soluția pozitivă a ecuației $x^2-x-1=0$. Discriminantul este $1+4=5$, deci raportul este $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618$. Designerii și arhitecții folosesc des acest raport.
Turnee: dacă în campionatul unei clase fiecare echipă joacă o singură dată cu fiecare altă echipă, $n$ echipe joacă $\frac{n(n-1)}{2}$ meciuri. Pentru $45$ de meciuri, $n^2-n-90=0$, $\Delta=1+360=361=19^2$, deci $n=10$ echipe (cealaltă soluție, $-9$, nu are sens).
De bază
Din clasa a VII-a știi să rezolvi $ax+b=0$ și $x^2=a$: pentru $a>0$ ecuația $x^2=a$ are două soluții, $\sqrt{a}$ și $-\sqrt{a}$. Nou în clasa a VIII-a: ecuația completă $ax^2+bx+c=0$, cu $a\neq 0$.
Exemplu: $x^2=12$ are soluțiile $\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$. Aceeași idee merge când la pătrat este o paranteză: $(x-1)^2=16$ dă $x-1=4$ sau $x-1=-4$, deci $x=5$ sau $x=-3$.
Când lipsește termenul liber, dai factor comun: $3x^2+5x=0$ devine $x(3x+5)=0$, deci $x=0$ sau $x=-\frac{5}{3}$.
Forma completă se rezolvă cu discriminantul $\Delta=b^2-4ac$ și formula $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$, când $\Delta\ge 0$.
Exemplul 2 (coeficientul lui $x^2$ diferit de $1$): $2x^2-3x-2=0$. $\Delta=9+16=25$, deci $x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$: $x_1=2$ și $x_2=-\frac{1}{2}$.
Semnul lui $\Delta$ spune câte soluții are ecuația. Dacă $\Delta>0$, are două soluții diferite. Dacă $\Delta=0$, are o singură soluție (dublă), $x=-\frac{b}{2a}$, iar $ax^2+bx+c$ este atunci $a$ înmulțit cu un pătrat. Dacă $\Delta<0$, ecuația nu are soluții reale, pentru că nu există radicalul unui număr negativ.
Exemplul 3: $4x^2-4x+1=0$. $\Delta=16-16=0$, deci singura soluție este $x=\frac{4}{2\cdot 4}=\frac{1}{2}$. Verificare: $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$, care este $0$ doar pentru $x=\frac{1}{2}$.
Mediu
Înainte de formulă, aduci ecuația la forma $ax^2+bx+c=0$: desfaci parantezele și treci totul într-un membru.
Exemplu: $(x+2)(x-3)=2x-2$. Desfaci: $x^2-x-6=2x-2$, apoi $x^2-3x-4=0$. $\Delta=9+16=25$, deci $x=\frac{3\pm 5}{2}$: $x=4$ sau $x=-1$.
Soluțiile pot fi iraționale. Exemplul 2: $x^2-2x-1=0$. $\Delta=4+4=8$ și $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $x=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$. Simplifici împărțind AMBII termeni ai numărătorului la $2$.
Exemplul 3 (tip Subiectul al II-lea): arată că ecuația $2x^2+x+1=0$ nu are soluții reale. $\Delta=1-8=-7<0$, deci nu există număr real care să o verifice.
Soluțiile dau și descompunerea în factori: dacă ecuația $ax^2+bx+c=0$ are soluțiile $x_1$ și $x_2$, atunci $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. Așa descompui un trinom la care termenul din mijloc nu se desparte ușor, apoi simplifici fracții algebrice. Dacă $\Delta<0$, trinomul nu se descompune.
Exemplul 4: simplifică $\frac{2x^2-x-6}{x^2-4}$, pentru $x\neq\pm 2$. Pentru numărător, $2x^2-x-6=0$ are $\Delta=1+48=49$, deci $x=\frac{1\pm 7}{4}$: $x_1=2$ și $x_2=-\frac{3}{2}$. Atunci $2x^2-x-6=2(x-2)\left(x+\frac{3}{2}\right)=(x-2)(2x+3)$, iar fracția devine $\frac{(x-2)(2x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x+3}{x+2}$.
Avansat
Ideea 1 — o ecuație cu fracții algebrice devine de gradul al II-lea după ce elimini numitorii. Scrii condițiile înainte.
Exemplu: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{3}{4}$, cu $x\neq 0$ și $x\neq -2$. Înmulțind cu $4x(x+2)$: $4(x+2)+4x=3x(x+2)$, adică $3x^2-2x-8=0$. $\Delta=4+96=100$, deci $x=\frac{2\pm 10}{6}$: $x=2$ sau $x=-\frac{4}{3}$. Niciuna nu este exclusă, deci amândouă sunt soluții.
Ideea 2 — teorema lui Pitagora din clasa a VII-a duce des la o ecuație de gradul al II-lea.
Exemplul 2: un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $13$ cm, iar o catetă este cu $7$ cm mai lungă decât cealaltă. Cu $x$ cateta mică: $x^2+(x+7)^2=169$, adică $2x^2+14x-120=0$, sau $x^2+7x-60=0$. $\Delta=49+240=289=17^2$, deci $x=5$ sau $x=-12$. O lungime nu poate fi negativă: catetele au $5$ cm și $12$ cm.
Ideea 3 — un discriminant care este pătrat perfect arată că ecuația are soluții pentru orice valoare a parametrului.
Exemplul 3: arată că $x^2-(m+2)x+2m=0$ are soluții reale pentru orice $m$ real. $\Delta=(m+2)^2-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2\ge 0$. Soluțiile sunt $\frac{m+2\pm(m-2)}{2}$, adică $2$ și $m$.
Ideea 4 — ecuația bipătrată $ax^4+bx^2+c=0$ devine de gradul al II-lea dacă notezi $t=x^2$. Cum un pătrat nu este negativ, păstrezi doar valorile $t\ge 0$, iar din fiecare $t>0$ ies două soluții, $x=\pm\sqrt{t}$.
Exemplul 4: $x^4+x^2-12=0$. Cu $t=x^2\ge 0$: $t^2+t-12=0$, $\Delta=1+48=49$, deci $t=\frac{-1\pm 7}{2}$: $t=3$ sau $t=-4$. Valoarea $-4$ se respinge, pentru că $x^2=-4$ nu are soluții reale. Din $x^2=3$: $x=\sqrt{3}$ sau $x=-\sqrt{3}$.
Greșeli frecvente
Soluția negativă uitată: $x^2=16$ are soluțiile $4$ și $-4$; la fel, din $(x-1)^2=16$ ies două valori, nu doar $x=5$.
Formula aplicată înainte de a aduce ecuația la forma cu $0$: în $x^2-3x=4$ termenul liber nu este $4$. Scrii $x^2-3x-4=0$, deci $c=-4$, și obții $4$ și $-1$.
Simplificare pe jumătate: $\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$, nu $1\pm\sqrt{8}$ și nici $2\pm\sqrt{2}$.
Condițiile uitate într-o ecuație cu fracții: dacă o soluție anulează un numitor, ea se elimină.
Soluțiile negative eliminate fără motiv: într-o ecuație fără context ($x^2+x-6=0$) și $-3$ este soluție. Elimini o soluție doar când enunțul o face imposibilă (o lungime, un număr de persoane).
Împărțirea ecuației la coeficientul lui $x^2$ aplicată doar primului termen: $2x^2+14x-120=0$ împărțită la $2$ dă $x^2+7x-60=0$, fiecare termen se împarte.
Surse pentru partea istorică
- Euclid, Elementele, cartea a VI-a, definiția 3: tăierea unui segment în medie și extremă rație; folosită la construcția pentagonului regulat (cartea a IV-a, 10–11) — mathcs.clarku.edu
- Elementele (c. 300 î.Hr.) conțin prima definiție cunoscută; numărul de aur este soluția pozitivă a ecuației φ² − φ − 1 = 0, (1+√5)/2 ≈ 1,618; cea mai veche folosire cunoscută a termenului „secțiune de aur”, Gehler, 1789 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.