Teorie · C1 Geometrie · clasa a V-a
Punct, dreaptă, segment, semidreaptă: noțiunile de bază ale geometriei
Punctul, dreapta, segmentul și semidreapta, punctele coliniare, mijlocul unui segment și cum se calculează lungimi pe o dreaptă, de la regula de bază la problemele care cer o idee.
De unde vine
Cuvântul „geometrie” vine din greaca veche: „geometria” înseamnă „măsurarea pământului”. Cele mai vechi urme scrise ale geometriei vin din Mesopotamia și din Egipt, din mileniul al II-lea î.Hr., și arată reguli născute din nevoi practice: măsurarea terenurilor, construcții, astronomie.
Euclid a adunat geometria grecilor în „Elementele”, scrise în jurul anului 300 î.Hr., în 13 cărți. Prima carte începe cu definiții: „punctul este ceea ce nu are părți”, iar „linia este o lungime fără lățime”. Din câteva astfel de noțiuni și câteva postulate, Euclid deduce apoi toate celelalte teoreme, una din alta.
Mai târziu, matematicienii au observat că definiția punctului nu explică de fapt nimic. În 1899, David Hilbert a publicat „Fundamentele geometriei”, în care punctul, dreapta și planul sunt lăsate nedefinite: sunt noțiuni primare, iar tot ce trebuie știut despre ele spun axiomele. De aceea și manualul tău nu „definește” punctul, ci îl descrie.
La ce folosește
Pe o autostradă, ieșirile sunt marcate prin kilometrul la care se află, exact ca punctele pe o dreaptă. Dacă o ieșire este la km $37$ și alta la km $112$, distanța dintre ele pe autostradă este $112-37=75$ km, iar o parcare aflată la jumătatea drumului este la km $\frac{37+112}{2}=74{,}5$. Mijlocul unui segment este media capetelor.
Numărul segmentelor determinate de mai multe puncte apare când legi orașe între ele: $6$ orașe, fiecare legat direct de fiecare, au nevoie de $\frac{6\cdot 5}{2}=15$ drumuri. Același calcul dă numărul de strângeri de mână într-un grup sau numărul de meciuri dintr-o grupă în care fiecare echipă joacă o dată cu fiecare.
Semidreapta are un capăt și merge la nesfârșit într-un singur sens, ca o rază de lumină care pornește dintr-o lanternă. De aceea, în engleză, semidreapta se numește chiar „ray”, adică rază.
De bază
Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Trei sau mai multe puncte aflate pe aceeași dreaptă se numesc coliniare.
Segmentul $AB$ este format din punctele $A$ și $B$ și din toate punctele dreptei $AB$ aflate între ele. Semidreapta $AB$ pornește din $A$ (originea ei) și conține punctul $B$ și tot ce este dincolo de el. Două semidrepte cu aceeași origine care formează împreună o dreaptă se numesc semidrepte opuse.
Regula de bază: dacă punctul $B$ este între $A$ și $C$, atunci $AB+BC=AC$.
Exemplu: punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=5$ cm și $AC=13$ cm. Cum $B$ este între $A$ și $C$, $BC=AC-AB=13-5=8$ cm.
Mijlocul unui segment este punctul lui aflat la aceeași distanță de capete. Dacă $M$ este mijlocul lui $AB$, atunci $AM=MB=\frac{AB}{2}$.
Exemplul 2: dacă $AB=10$ cm și $M$ este mijlocul lui $AB$, atunci $AM=\frac{10}{2}=5$ cm. Semidreapta opusă semidreptei $MA$ este semidreapta $MB$: aceeași origine, $M$, sens contrar.
Mediu
Problemele de nivel mediu combină mijloace de segmente cu regula $AB+BC=AC$. Primul pas este întotdeauna același: stabilește care punct este între care, apoi scrie segmentul cerut ca sumă sau diferență de segmente cunoscute.
Exemplu: punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=8$ cm și $BC=6$ cm. $M$ este mijlocul lui $AB$, iar $N$ mijlocul lui $BC$. Atunci $MB=4$ cm, $BN=3$ cm, iar $B$ este între $M$ și $N$, deci $MN=MB+BN=4+3=7$ cm. Observă că $MN=\frac{AC}{2}=\frac{14}{2}$: distanța dintre mijloacele a două segmente alăturate este jumătate din segmentul întreg.
Alt tip frecvent: numărarea segmentelor. $n$ puncte coliniare determină $\frac{n(n-1)}{2}$ segmente, pentru că fiecare punct se leagă de celelalte $n-1$, iar fiecare segment a fost numărat de două ori.
Exemplul 2: $5$ puncte coliniare determină $\frac{5\cdot 4}{2}=10$ segmente.
Când un punct împarte un segment într-un raport, notează partea mică și scrie totul cu ea: dacă $B\in AC$, $AB=3\cdot BC$ și $AC=24$ cm, atunci $4\cdot BC=24$ și $BC=6$ cm.
Avansat
Ideea 1 — lucrezi cu sume, nu cu fiecare segment în parte. Uneori datele nu permit aflarea fiecărei lungimi, dar suma lor este tot ce îți trebuie.
Exemplu: punctele $A$, $B$, $C$, $D$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AD=20$ cm și $BC=6$ cm. $M$ este mijlocul lui $AB$, iar $N$ mijlocul lui $CD$. Nu știm $AB$ și $CD$ separat, dar $AB+CD=AD-BC=20-6=14$ cm. Atunci $MN=MB+BC+CN=\frac{AB+CD}{2}+BC=\frac{14}{2}+6=13$ cm.
Ideea 2 — când ordinea punctelor nu este dată, discuți cazurile. Enunțul „$A$, $B$, $C$ sunt coliniare” nu spune care punct este la mijloc.
Exemplul 2: $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, cu $AB=8$ cm și $BC=12$ cm, fără să se spună ordinea. Dacă $B$ este între $A$ și $C$, $AC=8+12=20$ cm. Dacă $A$ este între $B$ și $C$, $AC=12-8=4$ cm. Punctul $C$ nu poate fi între $A$ și $B$, pentru că $BC$ ar fi mai mic decât $AB$. Răspunsul complet are două valori: $20$ cm sau $4$ cm.
Ideea 3 — alege o origine și dă fiecărui punct o „coordonată”, distanța față de ea, ca bornele kilometrice pe autostradă. Atunci lungimea unui segment este diferența coordonatelor, iar mijlocul are coordonata egală cu media capetelor.
Greșeli frecvente
Adunarea în loc de scădere: dacă $B$ este între $A$ și $C$, cu $AB=5$ cm și $AC=13$ cm, atunci $BC$ nu este $5+13$, ci $13-5=8$ cm. Stabilește întâi care punct este între celelalte.
Considerarea unui punct drept mijloc fără să fie spus: $B$ între $A$ și $C$ nu înseamnă că $B$ este mijlocul lui $AC$. Mijlocul se folosește doar când enunțul îl dă.
La numărarea segmentelor, numărarea doar a celor dintre puncte vecine: $4$ puncte coliniare determină $6$ segmente ($AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$), nu $3$. Invers, $AB$ și $BA$ sunt același segment și nu se numără de două ori.
Confuzia dintre semidreapta $AB$ și semidreapta $BA$: prima literă este originea. Semidreapta opusă semidreptei $BA$ pornește tot din $B$, în sens contrar.
Uitarea unui segment din mijloc: dacă $M$ este mijlocul lui $AB$ și $N$ mijlocul lui $CD$, atunci $MN=MB+BC+CN$ — segmentul $BC$ dintre ele intră și el în sumă.
Surse pentru partea istorică
- Cuvântul „geometrie” vine din greaca geometria, „măsurarea pământului” — www.etymonline.com
- Începuturile geometriei în Mesopotamia și Egipt, în mileniul al II-lea î.Hr., din nevoi practice — en.wikipedia.org
- Elementele lui Euclid, în jurul anului 300 î.Hr., 13 cărți; definițiile punctului și liniei din Cartea I — mathcs.clarku.edu
- Hilbert, Grundlagen der Geometrie (1899): punctul, dreapta și planul sunt noțiuni primare, nedefinite — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.