Punct, dreaptă, plan, segment în clasa a V-a: notații, poziții, mijloc și simetric

De bază

Din clasele I–IV știi să tragi o linie dreaptă cu rigla și să măsori în centimetri. În clasa a V-a aceste lucruri primesc nume și notații.

Punctul se notează cu o literă mare: $A$, $B$, $C$. Dreapta se notează cu o literă mică, $d$, sau cu două puncte ale ei: dreapta $AB$. Ea nu are capete: se prelungește la nesfârșit în ambele sensuri. Planul este ca o foaie de hârtie fără margini. O dreaptă împarte planul în două semiplane.

Un punct poate fi pe o dreaptă, $A\in d$ („$A$ aparține dreptei $d$”), sau în afara ei, $C\notin d$. Punctele aflate pe aceeași dreaptă se numesc coliniare. Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.

Exemplu: punctele $A$ și $B$ sunt pe dreapta $d$, iar punctul $C$ nu este pe $d$. Câte drepte trec prin câte două dintre ele? Prin $A$ și $B$ trece $d$, prin $A$ și $C$ trece dreapta $AC$, prin $B$ și $C$ trece dreapta $BC$ — în total $3$ drepte, pentru că $A$, $B$, $C$ nu sunt coliniare. Dacă și $C$ ar fi pe $d$, toate trei ar fi pe aceeași dreaptă și ar fi una singură.

Segmentul $AB$ are două capete, $A$ și $B$, iar lungimea lui se măsoară cu rigla. Semidreapta pornește dintr-un punct, originea, și merge la nesfârșit într-un singur sens. Două segmente cu aceeași lungime se numesc congruente: $AB\equiv CD$.

Exemplul 2: pe riglă, punctul $A$ este în dreptul gradației $3$ cm, iar $B$ în dreptul gradației $11$ cm. Atunci $AB=11-3=8$ cm. Dacă un alt segment are $CD=8$ cm, atunci $AB\equiv CD$.

Un segment congruent cu un segment dat $AB$ se construiește cu rigla și compasul, fără să-l măsori. Pașii: se fixează vârful compasului în $A$ și se deschide compasul până când celălalt vârf ajunge în $B$. Cu rigla se trage o semidreaptă cu originea într-un punct $C$. Fără să se schimbe deschiderea, se pune vârful compasului în $C$ și se face un arc care taie semidreapta într-un punct $D$. Atunci $CD\equiv AB$, pentru că deschiderea compasului a rămas aceeași.

Exemplul 3: dacă $AB=5$ cm, segmentul $CD$ construit așa are tot $5$ cm, chiar dacă nu te-ai uitat la gradațiile riglei.

Mediu

Două drepte diferite dintr-un plan pot fi în două poziții. Sunt concurente dacă au exact un punct comun, sau paralele dacă nu au niciun punct comun: $a\parallel b$. Două drepte diferite nu pot avea două puncte comune, pentru că prin două puncte trece o singură dreaptă.

Mijlocul segmentului $AB$ este punctul $M$ de pe segment cu $AM=MB$. Simetricul punctului $A$ față de punctul $O$ este punctul $A'$ pentru care $O$ este mijlocul segmentului $AA'$. Îl găsești așa: tragi semidreapta din $A$ prin $O$ și măsori dincolo de $O$ încă o dată lungimea $OA$.

Exemplu: $OA=3{,}5$ cm, iar $A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$. Atunci $OA'=3{,}5$ cm, iar $AA'=2\cdot 3{,}5=7$ cm.

Exemplul 2: $B$ este simetricul lui $A$ față de $M$, iar $C$ este simetricul lui $M$ față de $B$, cu $AM=3$ cm. Din prima simetrie, $MB=AM=3$ cm. Din a doua, $BC=MB=3$ cm. Punctele $A$, $M$, $B$, $C$ sunt pe aceeași dreaptă, una după alta, deci $AC=3+3+3=9$ cm.

Două figuri sunt congruente dacă, așezate una peste alta, se suprapun exact: au aceeași formă și aceeași mărime. Așa verifici, de exemplu, că două pătrate decupate din hârtie sunt congruente.

O dreaptă este axă de simetrie a unei figuri dacă, îndoind figura după acea dreaptă, cele două părți se suprapun exact. Fiecare punct al figurii are atunci o pereche de cealaltă parte a dreptei, la aceeași distanță de ea.

Exemplul 3: un dreptunghi care nu este pătrat, de $6$ cm pe $4$ cm, are $2$ axe de simetrie: dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse. Diagonala lui nu este axă: îndoit după ea, dreptunghiul nu se suprapune peste el însuși. Pătratul are $4$ axe: cele două drepte prin mijloacele laturilor opuse și cele două diagonale. Cercul are o infinitate de axe de simetrie: orice dreaptă care trece prin centrul lui.

Avansat

Ideea 1 — înjumătățirea repetată. Dacă iei mijlocul unui segment, apoi mijlocul jumătății, și tot așa, lungimea se împarte de fiecare dată la $2$.

Exemplu: $AB=32$ cm. $M_1$ este mijlocul lui $AB$, $M_2$ mijlocul lui $AM_1$, $M_3$ mijlocul lui $AM_2$, și așa mai departe. Lungimile sunt $AM_1=16$ cm, $AM_2=8$ cm, $AM_3=4$ cm, $AM_4=2$ cm și $AM_5=1$ cm. Ai nevoie de $5$ înjumătățiri ca să ajungi la $1$ cm, pentru că $32=2^5$.

Ideea 2 — metoda figurativă, pe care o folosești și la problemele cu numere, merge și pe segmente: desenul este chiar segmentul.

Exemplul 2: punctul $C$ este pe segmentul $AB$, cu $AB=20$ cm, iar $AC$ este cu $6$ cm mai lung decât $CB$. Dacă din $AC$ tai cei $6$ cm în plus, rămân două bucăți egale cu $CB$, care au împreună $20-6=14$ cm. Deci $CB=14:2=7$ cm și $AC=7+6=13$ cm. Verificare: $13+7=20$.

Ideea 3 — semiplanele. Dacă punctele $A$ și $B$ sunt de o parte și de alta a dreptei $d$, segmentul $AB$ taie dreapta $d$. Dacă sunt în același semiplan, segmentul $AB$ nu o taie.