Teorie · C3 Geometrie · clasa a VI-a
Congruența triunghiurilor: cazurile LUL, ULU, LLL și cazurile triunghiurilor dreptunghice
Cazurile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL, și CC, CU, IC, IU pentru triunghiuri dreptunghice), cum se scrie corespondența vârfurilor și cum se folosește congruența în probleme grele.
De unde vine
Cazurile de congruență se află deja în „Elementele” lui Euclid, scrise în jurul anului 300 î.Hr. În Cartea I, propoziția 4 este cazul latură–unghi–latură, propoziția 8 cazul latură–latură–latură, iar propoziția 26 cazurile cu două unghiuri și o latură.
Euclid demonstrează cazul LUL prin „suprapunere”: așază un triunghi peste celălalt și arată că se potrivesc punct cu punct. Mai târziu s-a observat că niciun postulat al lui Euclid nu permite de fapt această mutare. De aceea, David Hilbert, în „Fundamentele geometriei” (1899), a luat o parte a cazului LUL drept axiomă, adică drept adevăr de pornire, nu drept teoremă.
Ideea ar putea fi și mai veche. Proclus (secolul al V-lea d.Hr.) scrie, după istoricul Eudem, că Thales din Milet ar fi cunoscut cazul cu două unghiuri și o latură și l-ar fi folosit ca să afle distanța până la o corabie pe mare. Istoricii consideră însă că Thales ar fi putut face măsurătoarea și fără această teoremă, deci atribuirea este nesigură.
La ce folosește
Un triunghi făcut din trei bare prinse la capete nu se poate deforma: conform cazului LLL, trei laturi fixe determină un singur triunghi. Un cadru dreptunghiular, în schimb, se strâmbă ușor. De aceea porțile, rafturile și podurile au bare diagonale: o poartă de $2$ m pe $1{,}2$ m primește o diagonală de aproximativ $2{,}33$ m, care o împarte în două triunghiuri rigide.
Distanța până la un punct la care nu poți ajunge, de exemplu peste un lac de la $A$ la $B$, se poate măsura cu triunghiuri congruente. Alegi un punct $O$ pe mal, prelungești $AO$ cu $OA'=OA$ și $BO$ cu $OB'=OB$. Triunghiurile $AOB$ și $A'OB'$ sunt congruente (LUL, cu unghiurile din $O$ opuse la vârf), deci $AB=A'B'$ — iar $A'B'$ este pe uscat. Dacă măsori $A'B'=46$ m, atunci și $AB=46$ m.
În fabrici, piesele tăiate după același șablon sunt congruente: au laturile și unghiurile respectiv egale, deci se potrivesc una peste alta și se pot înlocui între ele.
De bază
Două triunghiuri sunt congruente dacă au laturile și unghiurile respectiv congruente. Scrierea $\triangle ABC\equiv\triangle MNP$ spune și ce se corespunde: literele în ordine, $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$.
Exemplu: $\triangle ABC\equiv\triangle MNP$, cu $AB=5$ cm, $BC=7$ cm și $AC=6$ cm. Latura $NP$ corespunde laturii $BC$ (a doua și a treia literă), deci $NP=7$ cm.
Nu trebuie verificate toate șase perechile. Ajung trei, după unul dintre cazuri: LUL — două laturi și unghiul CUPRINS între ele; ULU — două unghiuri și latura dintre ele; LLL — toate trei laturile.
Pentru triunghiurile dreptunghice unghiul drept este deja comun, deci ajung două elemente: catetă–catetă (CC), catetă–unghi ascuțit (CU), ipotenuză–catetă (IC), ipotenuză–unghi ascuțit (IU).
Exemplul 2: triunghiurile $ABC$ și $DEF$ au $m(\sphericalangle A)=m(\sphericalangle D)=90^\circ$, $BC=EF$ și $AB=DE$. $BC$ și $EF$ se opun unghiurilor drepte, deci sunt ipotenuze, iar $AB$ și $DE$ sunt catete: cazul IC.
Mediu
În problemele medii, congruența nu este scopul, ci unealta: demonstrezi că două triunghiuri sunt congruente ca să afli un unghi sau o latură. Elementele ascunse care completează un caz sunt aproape mereu: o latură comună, unghiuri opuse la vârf sau un mijloc de segment.
Exemplu: segmentele $AB$ și $CD$ se taie în $O$, mijlocul fiecăruia, iar $m(\sphericalangle OAC)=50^\circ$ și $m(\sphericalangle OCA)=70^\circ$. În triunghiurile $AOC$ și $BOD$: $OA=OB$, $OC=OD$, iar unghiurile din $O$ sunt opuse la vârf. Conform LUL, $\triangle AOC\equiv\triangle BOD$, cu $C\leftrightarrow D$. Deci $m(\sphericalangle ODB)=m(\sphericalangle OCA)=70^\circ$.
Exemplul 2: în patrulaterul $ABCD$, $AB=AD$, $CB=CD$, $m(\sphericalangle A)=70^\circ$ și $m(\sphericalangle C)=50^\circ$. Triunghiurile $ABC$ și $ADC$ au $AC$ latură comună, deci sunt congruente (LLL) și $\sphericalangle B\equiv\sphericalangle D$. Suma unghiurilor patrulaterului este $360^\circ$, deci $m(\sphericalangle B)=\frac{360^\circ-70^\circ-50^\circ}{2}=120^\circ$.
Cum o recunoști: enunțul îți dă egalități de segmente („mijloc”, „isoscel”, „$BD=CE$”) și îți cere un unghi sau o lungime din altă parte a figurii.
Avansat
Ideea 1 — congruența „transportă” o proprietate. Dacă mai multe triunghiuri mici sunt congruente, laturile lor omoloage sunt egale, iar din asta afli forma unei figuri noi.
Exemplu: triunghiul echilateral $ABC$ are latura de $9$ cm, iar $D\in AB$, $E\in BC$, $F\in CA$ cu $AD=BE=CF=3$ cm. Triunghiurile $ADF$, $BED$, $CFE$ au fiecare o latură de $3$ cm, una de $6$ cm și între ele un unghi de $60^\circ$, deci sunt congruente (LUL) și $DE=EF=FD$: triunghiul $DEF$ este echilateral. În triunghiul $BED$, $BE=3$ cm este jumătate din $BD=6$ cm, iar unghiul $B$ are $60^\circ$; de aici triunghiul este dreptunghic în $E$ și $DE=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$ cm. Perimetrul lui $DEF$ este $9\sqrt{3}$ cm.
Ideea 2 — dublarea medianei. Dacă $M$ este mijlocul lui $BC$, prelungești mediana $AM$ cu $MD=AM$. Triunghiurile $AMB$ și $DMC$ sunt congruente (LUL, unghiuri opuse la vârf), deci $CD=AB$ — iar o latură „mutată” apare lângă celelalte.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$, $AB=5$ cm, $AC=9$ cm, iar $AM$ este mediană. După dublarea medianei, triunghiul $ACD$ are $CD=5$ cm, $AC=9$ cm și $AD=2\cdot AM$. Din inegalitatea triunghiului, $9-5<2\cdot AM<9+5$, deci $2<AM<7$ (în cm). Fără construcția ajutătoare, mediana nu stă în niciun triunghi cu laturile cunoscute.
Greșeli frecvente
Corespondența greșită a vârfurilor: în $\triangle ABC\equiv\triangle MNP$ literele se corespund în ordinea scrierii, deci $NP=BC$, nu $AB$ sau $AC$. Scrie întâi corespondența, apoi citește laturile.
Cazul LUL cu un unghi care nu este cuprins între laturi: unghiul trebuie să fie între cele două laturi congruente. Două laturi și un unghi opus uneia dintre ele nu garantează congruența.
Confuzia ipotenuzei cu o catetă: ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Cu ipotenuzele și câte o catetă congruente, cazul este IC, nu CC.
Folosirea cazurilor pentru triunghiuri dreptunghice la triunghiuri care nu au unghi drept: CC, CU, IC, IU sunt doar pentru triunghiuri dreptunghice. Trei perechi de laturi congruente dau cazul LLL.
Uitarea elementului „gratuit”: latura comună și unghiurile opuse la vârf trebuie scrise explicit în demonstrație, cu motivul lor, altfel cazul are doar două elemente.
Oprirea la jumătatea drumului: dacă din congruență rezultă $\sphericalangle B\equiv\sphericalangle D$ și suma lor este $240^\circ$, fiecare are $120^\circ$ — nu $240^\circ$.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, Cartea I: propoziția 4 (LUL), propoziția 8 (LLL), propoziția 26 (două unghiuri și o latură) — mathcs.clarku.edu
- Euclid demonstrează I.4 prin suprapunere, pe care niciun postulat nu o justifică; Hilbert ia în schimb o parte a cazului drept axiomă — mathcs.clarku.edu
- Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899 — en.wikipedia.org
- Proclus, după Eudem, îi atribuie lui Thales cazul cu două unghiuri și o latură și măsurarea distanței până la corăbii; atribuirea este nesigură — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.