Teorie · C3 Geometrie · clasa a VI-a
Congruența triunghiurilor în clasa a VI-a: construcția, cazurile LUL, ULU, LLL și cazurile triunghiurilor dreptunghice
De la figurile congruente prin suprapunere din clasa a V-a la cazurile de congruență: de ce ajung trei elemente, cazurile LUL, ULU, LLL și CC, CU, IC, IU, și metoda triunghiurilor congruente, cu exemple rezolvate la nivelul clasei a VI-a.
De unde vine
Cazurile de congruență au pornit de la o întrebare de construcție: ce trebuie să știi despre un triunghi ca să-l poți face din nou? În „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), Cartea I, propoziția 22 construiește un triunghi din trei segmente date, cu rigla și compasul: se pun segmentele unul după altul pe o dreaptă și se duc două cercuri, iar punctul lor comun este al treilea vârf. Euclid cere ca oricare două segmente să fie împreună mai lungi decât al treilea — altfel cercurile nu se întâlnesc.
Tot acolo apare și o scăpare pe care comentatorii au observat-o mai târziu: Euclid nu demonstrează că cele două cercuri chiar se intersectează, ci o ia ca de la sine înțeles, la fel ca în prima lui propoziție.
Cam la șase sute de ani după Euclid, Pappus din Alexandria (care a trăit aproximativ între anii 290 și 350 d.Hr.) a dat o demonstrație ingenioasă pentru faptul că unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale: a comparat triunghiul $ABC$ cu el însuși, citit în altă ordine, $ACB$. Cele două „triunghiuri” au $AB=AC$, $AC=AB$ și unghiul $A$ comun, deci sunt congruente (LUL), iar unghiul $B$ corespunde unghiului $C$. Este o idee scurtă, dar deloc ușoară: aceeași figură privită ca două triunghiuri.
La ce folosește
Când se sparge un geam triunghiular, geamgiul nu are nevoie de toate cele trei laturi și cele trei unghiuri. Îi ajung cele trei laturi (cazul LLL) sau două laturi și unghiul dintre ele (cazul LUL): orice geam tăiat după aceste măsuri se potrivește exact în ramă.
Scara dublă are două brațe de câte $2$ m și un lanț de siguranță de $80$ cm între ele. Brațele și lanțul formează un triunghi cu toate laturile fixe, deci, după cazul LLL, un singur triunghi posibil: scara nu se poate deschide mai mult decât îi permite lanțul, oricine ar urca pe ea.
Un felinar așezat pe bisectoarea unghiului dintre două garduri este la aceeași distanță de amândouă. Este proprietatea punctelor de pe bisectoare, care se demonstrează chiar cu triunghiuri congruente — ca în exemplul de la nivelul mediu.
De bază
Din clasa a V-a știi că două figuri sunt congruente dacă, puse una peste alta, se suprapun perfect. La triunghiurile dintr-o problemă nu le poți decupa și suprapune, așa că în clasa a VI-a înveți când ajunge să compari doar trei elemente.
Totul pornește de la construcție. Dacă ți se dau $AB=6$ cm, $m(\sphericalangle A)=50^\circ$ și $AC=4$ cm, cu rigla și raportorul obții un singur triunghi $ABC$: oricine îl construiește după aceste date obține același triunghi. De aceea cele trei date îl determină complet. Același lucru se întâmplă când se dau două unghiuri și latura dintre ele, sau toate trei laturile. Așa apar cazurile de congruență: LUL (două laturi și unghiul dintre ele), ULU (o latură și cele două unghiuri alăturate ei), LLL (trei laturi).
Exemplu: triunghiurile $ABC$ și $MNP$ au $AB=MN=7$ cm, $m(\sphericalangle A)=m(\sphericalangle M)=48^\circ$ și $m(\sphericalangle B)=m(\sphericalangle N)=65^\circ$. Latura $AB$ este între unghiurile $A$ și $B$, iar $MN$ între $M$ și $N$, deci, după cazul ULU, $\triangle ABC\equiv\triangle MNP$. Dacă $BC=9$ cm, atunci și $NP=9$ cm, iar $m(\sphericalangle P)=m(\sphericalangle C)=180^\circ-48^\circ-65^\circ=67^\circ$.
La triunghiurile dreptunghice unghiul drept este deja egal, deci ajung două elemente: catetă–catetă (CC), catetă–unghi ascuțit (CU), ipotenuză–catetă (IC), ipotenuză–unghi ascuțit (IU).
Exemplul 2: triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt dreptunghice în $A$ și $D$, cu $AB=DE=5$ cm și $m(\sphericalangle B)=m(\sphericalangle E)=35^\circ$. Au o catetă și unghiul ascuțit alăturat ei congruente, deci sunt congruente (cazul CU). Rezultă $AC=DF$ și $m(\sphericalangle C)=m(\sphericalangle F)=90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
Mediu
Metoda triunghiurilor congruente: ca să arăți că două segmente sau două unghiuri sunt egale, cauți două triunghiuri care le conțin, demonstrezi că sunt congruente și citești elementele care se corespund.
Exemplu (proprietatea bisectoarei): $OP$ este bisectoarea unghiului $xOy$, cu $m(\sphericalangle xOy)=64^\circ$. Din $P$ ducem perpendicularele $PA$ pe $Ox$ și $PB$ pe $Oy$. Triunghiurile $OAP$ și $OBP$ sunt dreptunghice în $A$ și $B$, au ipotenuza $OP$ comună și $m(\sphericalangle AOP)=m(\sphericalangle BOP)=32^\circ$. După cazul IU sunt congruente, deci $PA=PB$ și $OA=OB$. Dacă $PA=3$ cm, atunci $PB=3$ cm, iar $m(\sphericalangle OPA)=180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ$. Concluzia generală: orice punct de pe bisectoarea unui unghi este la aceeași distanță de laturile lui.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$, $AB=AC=12$ cm, $M$ este mijlocul lui $AB$ și $N$ mijlocul lui $AC$. Atunci $AM=AN=6$ cm. Triunghiurile $ABN$ și $ACM$ au $AB=AC$, unghiul $A$ comun și $AN=AM$, deci sunt congruente (LUL), cu $B\leftrightarrow C$ și $N\leftrightarrow M$. Rezultă $BN=CM$: cele două mediane duse din $B$ și din $C$ sunt egale.
Cum lucrezi: scrie cele trei perechi de elemente una sub alta, fiecare cu motivul ei („ipoteză”, „latură comună”, „bisectoare”), apoi numele cazului, apoi ce rezultă.
Avansat
Ideea — două congruențe una după alta. Uneori primul triunghi congruent nu dă direct ce se cere, ci un unghi sau o latură cu care construiești a doua congruență.
Exemplu: punctele $C$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AB$, cu $AC=AD$ și $BC=BD$, iar $CD$ taie $AB$ în $O$. Se știe că $m(\sphericalangle CAB)=35^\circ$ și $CD=10$ cm.
Pasul 1: triunghiurile $ACB$ și $ADB$ au $AC=AD$, $BC=BD$ și $AB$ comună, deci sunt congruente (LLL). Rezultă $\sphericalangle CAB\equiv\sphericalangle DAB$, deci și $m(\sphericalangle DAB)=35^\circ$ și $m(\sphericalangle CAD)=70^\circ$.
Pasul 2: triunghiurile $CAO$ și $DAO$ au $AC=AD$, unghiurile din $A$ de câte $35^\circ$ și $AO$ comună, deci sunt congruente (LUL). Rezultă $CO=DO=\frac{10}{2}=5$ cm și $\sphericalangle AOC\equiv\sphericalangle AOD$. Cele două unghiuri sunt și suplementare, deci fiecare are $90^\circ$.
Concluzia: $AB$ este perpendiculară pe $CD$ și trece prin mijlocul lui — adică $AB$ este mediatoarea segmentului $CD$. Nimeni nu a spus asta în enunț; au spus-o cele două congruențe.
Când nu vezi triunghiurile potrivite, întreabă-te ce segmente ar trebui să duci ca elementul căutat să ajungă într-un triunghi: aici, segmentul $AO$ a fost cheia pasului al doilea.
Greșeli frecvente
Trei unghiuri egale nu fac triunghiurile congruente. Două triunghiuri echilaterale, unul cu latura de $3$ cm și altul cu latura de $5$ cm, au toate unghiurile de $60^\circ$, dar nu se suprapun. „UUU” nu este un caz de congruență.
„Se vede pe desen.” Două segmente care arată la fel de lungi în figură nu sunt, prin asta, egale. Egalitatea trebuie să vină din ipoteză sau dintr-o congruență demonstrată, nu din măsurarea cu rigla pe caiet.
Renunțarea când latura nu este între cele două unghiuri. Dacă știi două unghiuri și o latură care nu e între ele, calculează întâi al treilea unghi cu suma de $180^\circ$; atunci latura ajunge între două unghiuri cunoscute și ai cazul ULU.
Citirea unor elemente care nu se corespund. Din $\triangle ABN\equiv\triangle ACM$ rezultă $BN=CM$ (a doua și a treia literă), nu $BN=AM$.
La triunghiurile dreptunghice, amestecarea catetei cu ipotenuza: dacă latura dată este catetă într-un triunghi și ipotenuză în celălalt, cele două laturi nu sunt elemente care se corespund și cazul IC nu se aplică.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, Cartea I, propoziția 22: construcția unui triunghi din trei segmente date, cu condiția ca oricare două să fie împreună mai mari decât al treilea; Euclid nu demonstrează că cercurile se intersectează, ca în I.1 — mathcs.clarku.edu
- Demonstrația lui Pappus pentru I.5: triunghiul isoscel comparat cu el însuși, printr-o corespondență a triunghiului cu el însuși — mathcs.clarku.edu
- Pappus din Alexandria a trăit aproximativ între 290 și 350 d.Hr. — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.