Teorie · C4 Geometrie · clasa a VI-a
Drepte paralele și perpendiculare: axioma paralelelor și unghiurile formate cu o secantă
Axioma paralelelor, unghiurile formate de două drepte cu o secantă (alterne interne, corespondente, interne de aceeași parte), criteriile de paralelism și ideea paralelei ajutătoare, cu exemple rezolvate.
De unde vine
În „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), al cincilea postulat vorbește despre două drepte tăiate de o a treia: dacă unghiurile interne de aceeași parte au împreună mai puțin de două unghiuri drepte, cele două drepte se întâlnesc de acea parte. Forma pe care o înveți la școală — printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea — a fost enunțată deja de Proclus în secolul al V-lea d.Hr. și a fost răspândită de scoțianul John Playfair, într-un manual din 1795. Cele două formulări sunt echivalente.
Postulatul al cincilea arăta mai complicat decât celelalte, așa că, vreme de multe secole, matematicienii au încercat să-l demonstreze din ele. Nu au reușit, și pe bună dreptate: la începutul secolului al XIX-lea, Nikolai Lobacevski (care a publicat în 1829) și János Bolyai au arătat, independent, că există o geometrie la fel de coerentă în care prin punctul exterior trec mai multe paralele.
János Bolyai s-a născut în 1802 la Cluj (pe atunci Kolozsvár), iar lucrarea lui a apărut la începutul anilor 1830 ca anexă la o carte a tatălui său, matematicianul Farkas Bolyai. Gauss a scris că ideile ei coincid aproape exact cu propriile lui gânduri din ultimii treizeci–treizeci și cinci de ani.
La ce folosește
Străzile unui cartier sistematizat sunt adesea paralele. Dacă un bulevard le taie pe toate sub același unghi, de exemplu $72^\circ$, criteriul unghiurilor corespondente spune că ele sunt paralele; iar la fiecare intersecție unghiul vecin are $180^\circ-72^\circ=108^\circ$.
Rafturile prinse perpendicular pe același perete sunt paralele între ele — două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele. Tâmplarii și zidarii folosesc exact această regulă: fixează fiecare raft cu echerul pe perete, iar paralelismul vine de la sine.
Șinele de cale ferată trebuie să rămână paralele pe toată lungimea lor, ca distanța dintre ele să fie mereu aceeași (la ecartamentul normal, folosit și de căile ferate din România, $1435$ mm). Traversele sunt perpendiculare pe ambele șine.
De bază
Două drepte din același plan sunt paralele ($a\parallel b$) dacă nu au niciun punct comun, și perpendiculare ($a\perp b$) dacă formează un unghi drept.
Axioma paralelelor: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă.
Când două drepte $a$ și $b$ sunt tăiate de o secantă $c$, se formează opt unghiuri. Perechile importante sunt: alterne interne (între drepte, de o parte și de alta a secantei), corespondente (în aceeași poziție la cele două intersecții) și interne de aceeași parte a secantei.
Dacă $a\parallel b$: unghiurile alterne interne sunt congruente, unghiurile corespondente sunt congruente, iar unghiurile interne de aceeași parte sunt suplementare. Și invers — acestea sunt criteriile de paralelism.
Exemplu: $a\parallel b$, iar secanta $c$ formează cu $a$ un unghi de $72^\circ$. Unghiul corespondent lui, la dreapta $b$, are tot $72^\circ$; alternul lui intern are tot $72^\circ$.
Exemplul 2: $a\parallel b$, iar un unghi intern are $130^\circ$. Unghiul intern de aceeași parte a secantei are $180^\circ-130^\circ=50^\circ$.
Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.
Mediu
Problemele medii au două forme. Fie ți se dau paralelele și afli un unghi, de obicei combinând cu o bisectoare sau cu suma unghiurilor unui triunghi. Fie ți se dau unghiurile cu o necunoscută și afli când dreptele sunt paralele.
Exemplu: dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$, iar două unghiuri corespondente au $(3x+10)^\circ$ și $(5x-30)^\circ$. Dreptele sunt paralele când unghiurile sunt congruente: $3x+10=5x-30$, deci $2x=40$ și $x=20$. Atunci ambele unghiuri au $70^\circ$.
Exemplul 2: $AB\parallel CD$, $M\in AB$, $N\in CD$, $m(\sphericalangle AMN)=64^\circ$, iar bisectoarea unghiului $AMN$ taie $CD$ în $P$. Bisectoarea dă $m(\sphericalangle AMP)=32^\circ$. Pentru secanta $MP$, unghiurile $AMP$ și $MPN$ sunt alterne interne, deci $m(\sphericalangle MPN)=32^\circ$.
Cum alegi relația: uită-te pe ce parte a secantei sunt unghiurile și dacă sunt între drepte. De o parte și de alta, între drepte — alterne interne, egale. De aceeași parte, între drepte — suplementare.
Avansat
Ideea 1 — paralela ajutătoare. Când un punct se află între două paralele și se cere unghiul din el, duci prin punct o a treia paralelă. Ea împarte unghiul cerut în două bucăți, fiecare egală cu un unghi dat.
Exemplu: $AB\parallel CD$, punctul $E$ este între cele două drepte, $m(\sphericalangle BAE)=40^\circ$ și $m(\sphericalangle DCE)=35^\circ$. Ducem prin $E$ dreapta $EF\parallel AB$ (deci și $EF\parallel CD$). Unghiurile $BAE$ și $AEF$ sunt alterne interne, deci $m(\sphericalangle AEF)=40^\circ$; la fel, $m(\sphericalangle FEC)=35^\circ$. Rezultă $m(\sphericalangle AEC)=40^\circ+35^\circ=75^\circ$.
Ideea 2 — bisectoarele a două unghiuri interne de aceeași parte a secantei sunt perpendiculare. Cele două unghiuri au împreună $180^\circ$, deci jumătățile lor au $90^\circ$, iar în triunghiul format de bisectoare și secantă unghiul rămas este $90^\circ$.
Exemplul 2: $a\parallel b$, secanta le taie în $A$ și $B$, iar unghiul intern din $A$ are $130^\circ$. Unghiul intern de aceeași parte din $B$ are $50^\circ$. Bisectoarele lor fac cu $AB$ unghiuri de $65^\circ$ și $25^\circ$, deci se întâlnesc sub un unghi de $180^\circ-65^\circ-25^\circ=90^\circ$.
Ideea 3 — pentru a demonstra paralelismul, cauți o pereche de unghiuri congruente (alterne interne sau corespondente). De multe ori ele vin din alt capitol: un triunghi isoscel, o congruență de triunghiuri, un unghi drept.
Greșeli frecvente
Confuzia dintre unghiurile congruente și cele suplementare: alterne interne și corespondente sunt EGALE; doar cele interne de aceeași parte a secantei au suma $180^\circ$. Un unghi de $72^\circ$ nu are „corespondentul” de $108^\circ$.
Folosirea complementului ($90^\circ-x$) acolo unde nu există niciun unghi drept: la paralele tăiate de o secantă apar doar unghiuri egale sau suplementare.
Crederea că două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt perpendiculare între ele: ele sunt paralele.
La bisectoare, uitarea înjumătățirii: dacă $MP$ este bisectoarea unghiului $AMN$ de $64^\circ$, alternul intern căutat are $32^\circ$, nu $64^\circ$.
La punctul dintre paralele, scăderea unghiurilor sau tratarea lor ca într-un triunghi: cu paralela ajutătoare, unghiul din punct este SUMA celor două unghiuri date.
La ecuații, răspunsul cu măsura unghiului în loc de $x$, sau invers: citește ce se cere.
Surse pentru partea istorică
- Al cincilea postulat al lui Euclid, în Elementele (în jurul anului 300 î.Hr.) — mathcs.clarku.edu
- Axioma lui Playfair (manualul din 1795), enunțată deja de Proclus în secolul al V-lea, echivalentă cu postulatul al cincilea — en.wikipedia.org
- János Bolyai, născut la 15 decembrie 1802 la Kolozsvár (Cluj); Appendix la Tentamen al tatălui său Farkas; reacția lui Gauss; Lobacevski publicase în 1829 — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Ecartamentul normal are 1435 mm și este folosit de Căile Ferate Române — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.