Teorie · C4 Geometrie · clasa a VI-a
Paralelism și perpendicularitate în clasa a VI-a: unghiuri cu o secantă, criterii, distanța de la un punct la o dreaptă
Din clasa a V-a știi că două drepte sunt concurente sau paralele. În clasa a VI-a: axioma paralelelor, unghiurile formate cu o secantă și criteriile de paralelism, dreptele perpendiculare, oblicele, distanța de la un punct la o dreaptă și aplicații în poligoane și în cub.
De unde vine
Definiția dreptelor paralele pe care o folosești și azi este aproape cuvânt cu cuvânt cea din „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), Cartea I, definiția 23: drepte din același plan care, prelungite oricât în ambele sensuri, nu se întâlnesc. Euclid doar definește paralelele; o metodă de a construi una prin punctul dat vine abia mai târziu, în propoziția 31.
Ordinea în care Euclid așază criteriile este interesantă. Propoziția 27 — dacă o secantă face unghiuri alterne egale, dreptele sunt paralele — se demonstrează fără celebrul postulat al cincilea. Abia propoziția 29, reciproca (dacă dreptele sunt paralele, unghiurile alterne sunt egale), are nevoie de el: este prima propoziție din „Elemente” care se sprijină pe postulatul paralelelor.
Nici perpendiculara nu e o idee nouă la Euclid. Propoziția 12 din Cartea I arată cum se duce perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă, iar Proclus scrie că problema fusese studiată de Oenopides din Chios, care a trăit pe la mijlocul secolului al V-lea î.Hr., cu un secol și jumătate înaintea lui Euclid.
La ce folosește
Liniile unei parcări „în spic” sunt vopsite paralele. Vopsitorul nu măsoară distanța dintre ele pe toată lungimea, ci face fiecare linie cu același unghi față de bordură, de exemplu $60^\circ$: unghiurile corespondente egale garantează paralelismul. Unghiul de lângă, dintre linie și bordură, are $180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
Drumul cel mai scurt de la o casă la o șosea dreaptă este pe perpendiculara pe șosea: aceasta este distanța de la punct la dreaptă. Orice alt drum drept, pe o oblică, este mai lung.
Când măsori înălțimea unui copil lângă perete, rigla de pe cap trebuie ținută perpendicular pe perete, adică paralel cu podeaua; dacă o înclini, citești o valoare greșită.
De bază
Din clasa a V-a știi că două drepte din plan sunt fie concurente (au un punct comun), fie paralele. În clasa a VI-a afli cum recunoști și cum construiești paralelele și ce este special la dreptele perpendiculare.
Notații: $a\parallel b$ (paralele), $a\perp b$ (perpendiculare, adică formează un unghi drept). O paralelă se construiește intuitiv prin translație: așezi echerul lângă dreaptă, pui rigla lipită de echer și glisezi echerul de-a lungul riglei; muchia lui rămâne mereu paralelă cu poziția de la început.
Axioma paralelelor: printr-un punct care nu este pe o dreaptă trece o singură paralelă la ea.
O secantă care taie două drepte formează opt unghiuri. Dacă dreptele sunt paralele, unghiurile alterne interne sunt egale, unghiurile corespondente sunt egale, iar unghiurile interne de aceeași parte a secantei au suma $180^\circ$.
Exemplu: $a\parallel b$, iar unul dintre cele opt unghiuri are $47^\circ$. Atunci patru dintre unghiuri au câte $47^\circ$, iar celelalte patru au câte $180^\circ-47^\circ=133^\circ$. Nu există o a treia valoare.
Dintr-un punct $P$ care nu este pe dreapta $d$ se duce o singură perpendiculară pe $d$; piciorul ei este $A$. Orice alt segment de la $P$ la $d$ se numește oblică. Distanța de la $P$ la $d$ este lungimea $PA$, a perpendicularei.
Construcția perpendicularei din $P$ pe $d$. Cu echerul: o riglă se așază de-a lungul dreptei $d$, o catetă a echerului se sprijină pe riglă, iar echerul se glisează până când cealaltă catetă trece prin $P$; de-a lungul ei se duce perpendiculara. Cu compasul: un arc cu centrul în $P$, cu deschiderea mai mare decât distanța până la $d$, taie dreapta în două puncte $E$ și $F$; din $E$ și din $F$, cu aceeași deschidere, se duc două arce de cealaltă parte a lui $d$, care se taie în $Q$. Dreapta $PQ$ este perpendiculară pe $d$: $P$ și $Q$ sunt amândouă egal depărtate de $E$ și de $F$, deci $PQ$ este mediatoarea segmentului $EF$.
Exemplul 2: în dreptunghiul $ABCD$, $AB=8$ cm și $BC=5$ cm. Laturile opuse sunt paralele ($AB\parallel CD$, $AD\parallel BC$), iar laturile vecine sunt perpendiculare. Distanța de la $D$ la dreapta $AB$ este $DA=5$ cm, iar distanța de la $D$ la dreapta $BC$ este $DC=8$ cm — nu diagonala $DB$, care este o oblică.
Mediu
Criteriile de paralelism se folosesc și invers: dacă o pereche de unghiuri potrivită este egală (sau, la cele interne de aceeași parte, are suma $180^\circ$), dreptele sunt paralele.
Exemplu: o secantă taie dreptele $a$ și $b$, iar unghiurile interne de aceeași parte a secantei au $112^\circ$ și $68^\circ$. Cum $112^\circ+68^\circ=180^\circ$, dreptele sunt paralele. Dacă însă unghiurile ar avea $110^\circ$ și $72^\circ$, suma ar fi $182^\circ$, deci dreptele nu sunt paralele: de cealaltă parte a secantei, unghiurile interne au $70^\circ$ și $108^\circ$, cu suma $178^\circ$, mai mică decât $180^\circ$, iar dreptele se întâlnesc de acea parte. Oricât de paralele ar părea pe desen, un grad diferență le face concurente.
Paralelismul și perpendicularitatea se văd și pe corpurile pe care le știi din clasa a V-a.
Exemplul 2: în cubul $ABCDA'B'C'D'$, muchiile paralele cu $AB$ sunt $CD$, $A'B'$ și $C'D'$ — trei muchii. Muchiile care pleacă din $A$ sau din $B$, altele decât $AB$, sunt perpendiculare pe $AB$: $AD$, $AA'$, $BC$ și $BB'$ — patru muchii. Fiecare față a cubului este un pătrat, deci laturile ei vecine sunt perpendiculare, iar cele opuse sunt paralele.
Avansat
Ideea 1 — paralela ajutătoare și când punctul este în afara celor două paralele. Prin punct duci o a treia paralelă; de data aceasta unghiul cerut este DIFERENȚA a două unghiuri, nu suma lor.
Exemplu: $AB\parallel CD$, iar punctul $E$ este sub ambele drepte, ca în figură, cu $m(\sphericalangle BAE)=50^\circ$ și $m(\sphericalangle DCE)=80^\circ$. Ducem prin $E$ dreapta $EF\parallel AB$ (deci și $EF\parallel CD$). Pentru secanta $AE$, unghiurile $BAE$ și $AEF$ sunt alterne interne, deci $m(\sphericalangle AEF)=50^\circ$. Pentru secanta $CE$, la fel, $m(\sphericalangle CEF)=80^\circ$. Semidreapta $EA$ este în interiorul unghiului $CEF$, deci $m(\sphericalangle AEC)=80^\circ-50^\circ=30^\circ$.
Ideea 2 — perpendiculara este mai scurtă decât orice oblică. În triunghiul $PAB$ cu unghiul drept în $A$, unghiul drept este cel mai mare, iar în fața lui stă latura cea mai mare, $PB$.
Exemplul 2: punctul $P$ este la $4$ cm de dreapta $d$, iar $A$ este piciorul perpendicularei. O oblică $PB$ poate avea $5$ cm, dar niciuna nu poate avea $3$ cm, pentru că orice oblică este mai lungă decât $PA=4$ cm. Dacă $B$ și $C$ sunt pe $d$ de o parte și de alta a lui $A$, cu $AB=AC$, triunghiurile $PAB$ și $PAC$ sunt congruente (CC), deci $PC=PB=5$ cm: oblicele cu picioarele la fel de departe de $A$ sunt egale.
Greșeli frecvente
„Arată paralele, deci sunt paralele.” Paralelismul se demonstrează cu un criteriu, nu cu ochiul: cu unghiurile de $110^\circ$ și $72^\circ$ dreptele par paralele, dar se întâlnesc.
Distanța de la un punct la o dreaptă măsurată pe o oblică. În dreptunghiul $ABCD$, distanța de la $D$ la dreapta $BC$ este $DC$, pe perpendiculară, nu diagonala $DB$.
Două segmente care nu se ating nu sunt, prin asta, paralele. Paralelismul privește dreptele întregi, prelungite oricât; două segmente scurte pot fi pe drepte care se taie puțin mai încolo.
În cub, numirea „paralele” a două muchii care nu se întâlnesc, dar nici nu au aceeași direcție, de exemplu $AB$ și $CC'$. Paralele cu $AB$ sunt doar $CD$, $A'B'$ și $C'D'$.
La punctul aflat în afara celor două paralele, adunarea unghiurilor din obișnuință: acolo unghiul cerut este diferența lor, $80^\circ-50^\circ=30^\circ$, nu $130^\circ$.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, Cartea I, definiția 23: drepte paralele sunt drepte din același plan care, prelungite oricât în ambele sensuri, nu se întâlnesc; construcția paralelei vine în I.31 — mathcs.clarku.edu
- Elementele, I.27: unghiuri alterne egale implică drepte paralele, fără postulatul al cincilea — mathcs.clarku.edu
- Elementele, I.29 (reciproca lui I.27 și a lui I.28) este prima propoziție care depinde de postulatul paralelelor — mathcs.clarku.edu
- Elementele, I.12: perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă; Proclus spune că problema a fost studiată de Oenopides din Chios, la mijlocul secolului al V-lea î.Hr. — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.