Teorie · C5 Geometrie · clasa a VI-a
Proprietăți ale triunghiurilor: suma unghiurilor, unghi exterior, inegalități, linii importante
Suma unghiurilor unui triunghi, unghiul exterior, inegalitatea triunghiului, triunghiul isoscel și echilateral, bisectoarea, înălțimea, mediana și mediatoarea, cu exemple rezolvate de la simplu la greu.
De unde vine
Teorema că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte ($180^\circ$) este una dintre cele mai vechi demonstrații cunoscute. Proclus (secolul al V-lea d.Hr.) scrie că Eudem, un istoric al geometriei din secolul al IV-lea î.Hr., le-o atribuia pitagoreicilor, și redă demonstrația lor: prin unul dintre vârfuri se duce paralela la latura opusă, iar unghiurile alterne interne completează un unghi alungit. Nu se știe dacă Pitagora însuși a descoperit-o sau urmașii lui.
În „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), Cartea I, propoziția 20 este inegalitatea triunghiului — suma a două laturi este mai mare decât a treia — iar propoziția 32 arată că unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente și că suma unghiurilor este de două unghiuri drepte.
Liniile importante ale triunghiului au ascuns surprize și mai târziu. În 1765, Leonhard Euler a arătat că în orice triunghi punctul de intersecție al înălțimilor, cel al medianelor și cel al mediatoarelor sunt coliniare; dreapta lor se numește azi dreapta lui Euler.
La ce folosește
Inegalitatea triunghiului spune că drumul drept este cel mai scurt. Un parc dreptunghiular are laturile de $180$ m și $240$ m; dacă îl traversezi pe diagonală, mergi $300$ m, iar pe lângă el, pe două laturi, $420$ m — cu $120$ m mai mult. Orice ocol printr-un al treilea punct lungește drumul.
Mediatoarea unui segment este formată din punctele egal depărtate de capetele lui. Dacă două sate vor o fântână sau o stație de autobuz la aceeași distanță de amândouă, locul ei este pe mediatoarea segmentului dintre sate. Pentru trei sate, punctul potrivit este intersecția mediatoarelor — centrul cercului care trece prin toate trei.
Triunghiul este forma cea mai folosită în construcții, de la acoperișuri la macarale, pentru că nu se deformează. Un acoperiș în două ape cu panta de $30^\circ$ de fiecare parte are la coamă un unghi de $180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$.
De bază
Suma unghiurilor oricărui triunghi este $180^\circ$.
Într-un triunghi isoscel ($AB=AC$) unghiurile de la bază, $B$ și $C$, sunt congruente. Într-un triunghi echilateral toate unghiurile au $60^\circ$.
Exemplu: triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\sphericalangle B)=65^\circ$. Atunci și $m(\sphericalangle C)=65^\circ$, deci $m(\sphericalangle A)=180^\circ-2\cdot 65^\circ=50^\circ$.
Unghiul exterior al unui triunghi este suplementul unghiului interior de lângă el și este egal cu suma celorlalte două unghiuri interioare.
Exemplul 2: dacă $m(\sphericalangle A)=50^\circ$ și $m(\sphericalangle B)=60^\circ$, unghiul exterior din $C$ are $50^\circ+60^\circ=110^\circ$. Verificare: $m(\sphericalangle C)=70^\circ$ și $180^\circ-70^\circ=110^\circ$.
Inegalitatea triunghiului: fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor. Dacă $AB=4$ cm și $AC=9$ cm, atunci $5<BC<13$ (în cm). Inegalitățile sunt stricte: cu $BC=5$ sau $BC=13$ punctele ar fi coliniare.
Liniile importante: bisectoarea împarte un unghi în două; înălțimea este perpendiculara dintr-un vârf pe latura opusă; mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse; mediatoarea unei laturi este perpendiculara pe ea prin mijlocul ei.
Mediu
Problemele medii leagă suma unghiurilor de o linie importantă. Mai întâi afli toate unghiurile triunghiului mare, apoi lucrezi într-un triunghi mai mic, tăiat de bisectoare sau de înălțime.
Exemplu: triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\sphericalangle A)=36^\circ$, iar bisectoarea unghiului $B$ taie $AC$ în $D$. Unghiurile de la bază au $\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ$, deci $m(\sphericalangle DBC)=36^\circ$. În triunghiul $BDC$: $m(\sphericalangle BDC)=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ$ — triunghiul $BDC$ este și el isoscel.
Mediatoarea are o proprietate care simplifică perimetrele: orice punct al ei este la egală distanță de capetele segmentului.
Exemplul 2: triunghiul $ABC$ are $AB=8$ cm, $AC=11$ cm, $BC=10$ cm, iar mediatoarea lui $BC$ taie $AC$ în $M$. Cum $MB=MC$, perimetrul triunghiului $ABM$ este $AB+AM+MB=AB+AM+MC=AB+AC=8+11=19$ cm. Lungimea $BC$ nu se folosește deloc.
Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf este și bisectoare, și mediană, și parte din mediatoarea bazei — un singur segment, patru proprietăți.
Avansat
Ideea 1 — lucrezi cu sume de unghiuri, nu cu fiecare unghi. Uneori nu poți afla unghiurile $B$ și $C$ separat, dar suma lor este $180^\circ-m(\sphericalangle A)$, iar asta ajunge.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $m(\sphericalangle A)=70^\circ$, iar bisectoarele unghiurilor $B$ și $C$ se taie în $I$. Știm că $m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=110^\circ$, deci jumătățile lor au împreună $55^\circ$. În triunghiul $BIC$: $m(\sphericalangle BIC)=180^\circ-55^\circ=125^\circ$. În general, $m(\sphericalangle BIC)=90^\circ+\frac{m(\sphericalangle A)}{2}$.
Ideea 2 — un punct de pe mediatoare dă o ecuație. Dacă $O$ este pe mediatoarea lui $AB$, atunci $OA=OB$, iar cele două lungimi se pot scrie în două triunghiuri dreptunghice diferite.
Exemplul 2: triunghiul $ABC$ are $AB=AC=10$ cm și $BC=12$ cm, iar $AD$ este înălțime. Înălțimea este și mediană, deci $BD=6$ cm și $AD=\sqrt{100-36}=8$ cm. Mediatoarea lui $AB$ taie $AD$ în $O$. Notăm $OA=OB=R$; atunci $OD=8-R$ și, în triunghiul dreptunghic $ODB$, $R^2=36+(8-R)^2$. Rezultă $16R=100$, deci $R=6{,}25$ cm — raza cercului care trece prin $A$, $B$ și $C$.
Ideea 3 — în fața unui unghi mai mare stă o latură mai mare. Dacă ți se cere să compari laturi, compară unghiurile opuse lor, și invers.
Greșeli frecvente
În triunghiul isoscel, considerarea unghiului din vârf egal cu cele de la bază: egale sunt doar unghiurile de la bază. Dacă unghiul din vârf are $36^\circ$, unghiurile de la bază au câte $72^\circ$, nu $36^\circ$.
Scăderea doar a unui unghi din $180^\circ$: în triunghiul isoscel cu unghiul de la bază de $65^\circ$, unghiul din vârf este $180^\circ-65^\circ-65^\circ$, nu $180^\circ-65^\circ$.
Inegalitatea triunghiului verificată pe jumătate sau cu egalitate: latura trebuie să fie mai mare decât diferența ȘI mai mică decât suma celorlalte, strict. Cu laturile $4$ și $9$, a treia nu poate fi $5$ sau $13$.
Confuzia dintre liniile importante: mediana merge la mijlocul laturii, înălțimea este perpendiculară pe latură, bisectoarea înjumătățește unghiul. Ele coincid doar în triunghiul isoscel (din vârf) și în cel echilateral.
Luarea unui punct de pe mediatoare drept mijloc: mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, dar despre celelalte puncte ale ei știm doar că sunt egal depărtate de capete.
La intersecția bisectoarelor, calculul cu unghiurile întregi: bisectoarele iau doar jumătate din $B$ și din $C$, deci $m(\sphericalangle BIC)=180^\circ-\frac{110^\circ}{2}=125^\circ$, nu $70^\circ$ sau $110^\circ$.
Surse pentru partea istorică
- Proclus, după Eudem (secolul al IV-lea î.Hr.), atribuie pitagoreicilor teorema sumei unghiurilor și redă demonstrația cu paralela prin vârf — web.calstatela.edu
- Teorema sumei unghiurilor este atribuită pitagoreicilor, nu neapărat lui Pitagora însuși — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Elementele lui Euclid, Cartea I: propoziția 20 (inegalitatea triunghiului) și propoziția 32 (unghiul exterior și suma unghiurilor) — mathcs.clarku.edu
- Euler a arătat în 1765 că ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris sunt coliniare — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.