Teorie · C5 Geometrie · clasa a VI-a
Proprietăți ale triunghiurilor în clasa a VI-a: suma unghiurilor, unghiul exterior, inegalități, linii importante, simetrie
Suma unghiurilor și unghiul exterior, când trei lungimi pot forma un triunghi, latura mare în fața unghiului mare, triunghiul isoscel și echilateral, bisectoare, mediane, înălțimi, mediatoare, cercul înscris și cel circumscris, simetria față de o dreaptă, cu exemple rezolvate pentru clasa a VI-a.
De unde vine
Proprietatea că unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale este una dintre primele teoreme de geometrie atribuite cuiva pe nume. Proclus, care a scris în jurul anului 450 d.Hr., spune, după „Istoria geometriei” a lui Eudem din Rodos, că ea i se datorează lui Thales din Milet (aproximativ 624–547 î.Hr.). Istoricii atrag atenția că astfel de atribuiri sunt nesigure: autorii antici puneau uneori descoperiri pe seama oamenilor celebri.
În „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), această proprietate este propoziția 5 din Cartea I și a primit mai târziu porecla „Pons asinorum”, adică „podul măgarilor”. Nu se știe sigur de ce: poate pentru că mulți elevi se împotmoleau la ea, poate pentru că figura lui Euclid seamănă cu un pod.
Cercul înscris și cercul circumscris unui triunghi, pe care le întâlnești anul acesta ca puncte de intersecție ale bisectoarelor și ale mediatoarelor, apar tot la Euclid, în Cartea a IV-a: propoziția 4 înscrie un cerc într-un triunghi dat, iar propoziția 5 circumscrie un cerc unui triunghi dat.
La ce folosește
Dacă stai la $2$ m în fața unei oglinzi, imaginea ta pare să fie la $2$ m în spatele ei, deci la $4$ m de tine. Imaginea este simetrica ta față de oglindă: oglinda este la jumătatea drumului și perpendiculară pe el.
Din trei bețe de $3$ cm, $4$ cm și $8$ cm nu poți face un triunghi, oricum le-ai așeza: cele două mai scurte, puse cap la cap, au doar $7$ cm și nu ajung de la un capăt la altul al celui lung.
Un leagăn în formă de A are cele două picioare egale, deci formează un triunghi isoscel. Axa lui de simetrie coboară din vârf perpendicular pe sol și ajunge exact la mijlocul distanței dintre picioare — acolo atârnă leagănul, echilibrat.
Cea mai mare masă rotundă care încape într-un colț triunghiular al unei grădini are centrul în punctul de intersecție al bisectoarelor: este cercul înscris, egal depărtat de toate cele trei laturi.
De bază
Din clasa a V-a știi să măsori unghiuri cu raportorul și să calculezi perimetre. În clasa a VI-a afli regulile pe care le respectă orice triunghi.
Triunghiul $ABC$, notat $\triangle ABC$, este figura formată din trei puncte necoliniare $A$, $B$, $C$ și din segmentele $AB$, $BC$, $CA$. Punctele sunt vârfurile, segmentele sunt laturile, iar unghiurile $\sphericalangle BAC$, $\sphericalangle ABC$, $\sphericalangle ACB$ (pe scurt $\sphericalangle A$, $\sphericalangle B$, $\sphericalangle C$) sunt unghiurile triunghiului. Interiorul triunghiului este format din punctele aflate în interiorul tuturor celor trei unghiuri. Latura $BC$ este opusă unghiului $A$ și alăturată unghiurilor $B$ și $C$.
Suma unghiurilor unui triunghi este $180^\circ$. Unghiul exterior dintr-un vârf este suplementul unghiului interior de acolo și este egal cu suma celorlalte două unghiuri interioare (teorema unghiului exterior).
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $m(\sphericalangle A)=47^\circ$, iar unghiul exterior din $B$ are $118^\circ$. Atunci $m(\sphericalangle B)=180^\circ-118^\circ=62^\circ$ și $m(\sphericalangle C)=180^\circ-47^\circ-62^\circ=71^\circ$. Mai scurt, cu unghiul exterior: $118^\circ=47^\circ+m(\sphericalangle C)$, deci $m(\sphericalangle C)=71^\circ$.
Când construiești un triunghi din trei laturi, observi că nu merge cu orice lungimi: cea mai lungă latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două.
Exemplul 2: se pot construi triunghiuri cu laturile $3$ cm, $4$ cm, $8$ cm? Nu, pentru că $3+4=7<8$. Dar cu $5$ cm, $6$ cm, $10$ cm? Da, pentru că $5+6=11>10$ (iar celelalte două comparații sunt sigur adevărate, fiindcă $10$ este cea mai mare latură).
Clasificare: după laturi, un triunghi este oarecare, isoscel (două laturi egale) sau echilateral (toate laturile egale); după unghiuri, este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic.
Mediu
Triunghiul isoscel are unghiurile de la bază egale și o axă de simetrie: dreapta care trece prin vârf și prin mijlocul bazei. Pe ea se află, în același timp, bisectoarea unghiului din vârf, mediana și înălțimea din vârf. Triunghiul echilateral are toate unghiurile de $60^\circ$ și trei axe de simetrie.
Exemplu: într-un triunghi isoscel, unghiul din vârf este de trei ori mai mare decât un unghi de la bază. Notăm unghiul de la bază cu $x$: $x+x+3x=180^\circ$, deci $5x=180^\circ$ și $x=36^\circ$. Unghiurile sunt $36^\circ$, $36^\circ$ și $108^\circ$, deci triunghiul este obtuzunghic.
Și reciproc: dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci laturile opuse lor sunt congruente, deci triunghiul este isoscel. Iar un triunghi cu toate unghiurile congruente (de câte $60^\circ$) este echilateral.
Exemplu (reciproca): în triunghiul $ABC$, $m(\sphericalangle A)=52^\circ$, $m(\sphericalangle B)=64^\circ$ și $AB=9$ cm. Atunci $m(\sphericalangle C)=180^\circ-52^\circ-64^\circ=64^\circ$, deci $\sphericalangle B\equiv\sphericalangle C$. Latura opusă lui $B$ este $AC$, iar cea opusă lui $C$ este $AB$, deci $AC=AB=9$ cm: triunghiul este isoscel, deși enunțul nu a spus-o.
Simetria față de o dreaptă: simetricul punctului $A$ față de dreapta $d$ este punctul $A'$ pentru care $d$ este mediatoarea segmentului $AA'$ — adică $d$ este perpendiculară pe $AA'$ și trece prin mijlocul lui. Mediatoarea unui segment este formată din punctele egal depărtate de capetele lui.
Exemplul 2: punctul $A$ este la $3$ cm de dreapta $d$, iar $A'$ este simetricul lui față de $d$. Atunci $AA'=2\cdot 3=6$ cm. Un punct $P$ de pe $d$ are $PA=7$ cm; pentru că $P$ este pe mediatoarea lui $AA'$, și $PA'=7$ cm. Simetria păstrează lungimile: triunghiul $PAA'$ este isoscel.
Construcția mediatoarei cu compasul: cu vârful compasului în $A$ și apoi în $B$, cu aceeași deschidere, mai mare decât jumătatea lui $AB$, se duc câte două arce, de o parte și de alta a segmentului. Arcele se taie în două puncte, fiecare egal depărtat de $A$ și de $B$; dreapta care trece prin ele este mediatoarea lui $AB$, iar locul unde taie segmentul este mijlocul lui.
Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Se construiește aflând mijlocul laturii — cu rigla gradată sau cu mediatoarea construită cu compasul — și unindu-l cu vârful. Înălțimea este segmentul perpendicular dus dintr-un vârf pe dreapta laturii opuse, de la vârf până la piciorul perpendicularei. Se construiește cu echerul: o catetă a echerului se așază pe latura opusă, iar echerul se glisează de-a lungul ei până când cealaltă catetă trece prin vârf. La un triunghi obtuzunghic, înălțimile din vârfurile unghiurilor ascuțite cad pe prelungirile laturilor.
Exemplul 3: în triunghiul $ABC$, $BC=10$ cm și $m(\sphericalangle B)=50^\circ$. Mediana $AM$ are $M$ la mijlocul lui $BC$, deci $BM=MC=5$ cm. Înălțimea $AD$, cu $D$ pe $BC$, face triunghiul $ABD$ dreptunghic în $D$, deci $m(\sphericalangle BAD)=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ$. Mediana și înălțimea din același vârf sunt, în general, două segmente diferite; ele coincid doar când $AB=AC$.
Liniile importante sunt câte trei în fiecare triunghi și se întâlnesc în câte un punct (anul acesta fără demonstrație): bisectoarele, în centrul cercului înscris; mediatoarele laturilor, în centrul cercului circumscris; medianele; înălțimile.
Avansat
Ideea 1 — un triunghi isoscel ascuns, plus unghiul exterior. Când apare un segment egal cu o latură, caută triunghiul isoscel pe care îl formează și folosește unghiul exterior al acestuia.
Exemplu: triunghiul $ABC$ are $AB=AC$ și $m(\sphericalangle A)=40^\circ$. Pe prelungirea lui $BC$, dincolo de $C$, se ia punctul $D$ cu $CD=CA$. Unghiurile de la bază ale lui $ABC$ au $\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$. Triunghiul $ACD$ este isoscel ($CA=CD$), deci $\sphericalangle CAD\equiv\sphericalangle CDA$. Unghiul $ACB$ este exterior triunghiului $ACD$, deci $70^\circ=2\cdot m(\sphericalangle CDA)$ și $m(\sphericalangle CDA)=35^\circ$. Rezultă $m(\sphericalangle BAD)=40^\circ+35^\circ=75^\circ$. Verificare în triunghiul $ABD$: $70^\circ+35^\circ+75^\circ=180^\circ$.
Ideea 2 — în fața unghiului mai mare stă latura mai mare, și invers. Așa compari laturi fără să le măsori.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$, $m(\sphericalangle A)=40^\circ$ și $m(\sphericalangle B)=65^\circ$, deci $m(\sphericalangle C)=75^\circ$. Latura opusă unghiului $A$ este $BC$, celei a lui $B$ este $AC$, celei a lui $C$ este $AB$. Rezultă $BC<AC<AB$.
Ideea 3 — unde cade punctul de intersecție. Centrul cercului circumscris (intersecția mediatoarelor) este în interiorul unui triunghi ascuțitunghic, dar în exteriorul unui triunghi obtuzunghic; centrul cercului înscris este întotdeauna în interior, pentru că bisectoarele rămân în interiorul unghiurilor.
Greșeli frecvente
Unghiul exterior calculat cu unghiul greșit: unghiul exterior din $C$ este suma unghiurilor $A$ și $B$, cele NEALĂTURATE lui, nu $A+B+C$ și nici egal cu $C$.
Verificarea inegalității pe perechea greșită: la $3$, $4$, $8$ este adevărat că $3+8>4$, dar asta nu ajunge. Latura cea mai mare se compară cu suma celorlalte două, și acolo $3+4<8$.
Latura mare pusă lângă unghiul mare, nu în fața lui: latura cea mai mare a triunghiului cu unghiurile $40^\circ$, $65^\circ$, $75^\circ$ este $AB$, opusă unghiului $C$, nu una dintre laturile care pleacă din $C$.
Confuzia dintre mediană și mediatoare, două nume asemănătoare: mediana pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse; mediatoarea este perpendiculara pe o latură prin mijlocul ei și, de obicei, nu trece prin niciun vârf.
Simetricul unui punct luat la aceeași distanță de dreaptă, dar nu pe perpendiculară. $A'$ trebuie să fie pe perpendiculara din $A$ pe $d$, de cealaltă parte, la aceeași distanță.
Credința că centrul cercului circumscris este mereu în interiorul triunghiului: la un triunghi obtuzunghic, cum este cel cu unghiurile $36^\circ$, $36^\circ$, $108^\circ$, el este în afară.
Surse pentru partea istorică
- Proclus (în jurul anului 450), după Eudem din Rodos, îi atribuie lui Thales (aproximativ 624–547 î.Hr.) teorema unghiurilor de la baza triunghiului isoscel; atribuirile sunt nesigure — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Elementele, I.5: unghiurile de la baza triunghiului isoscel sunt egale; porecla „Pons asinorum” și originea ei nesigură — mathcs.clarku.edu
- Elementele, Cartea a IV-a: propoziția 4 înscrie un cerc într-un triunghi, propoziția 5 circumscrie un cerc unui triunghi — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.