Teorie · C6 Geometrie · clasa a VII-a
Patrulatere: paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat și trapez
Proprietățile paralelogramului, dreptunghiului, rombului, pătratului și trapezului (isoscel și dreptunghic): laturi, unghiuri și diagonale, cum le recunoști și cum le folosești în probleme, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Proprietățile paralelogramului apar în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.): Cartea I, propoziția 34 arată că într-un paralelogram laturile opuse și unghiurile opuse sunt egale, iar diagonala îl împarte în două părți egale.
Numele patrulaterelor vin din greacă. „Romb” vine de la „rhombos”, un obiect care se învârte, cum ar fi o sfârlează; cuvântul era folosit deja de Euclid și de Arhimede. „Trapez” vine de la „trapezion”, „măsuță”, diminutivul lui „trapeza”, „masă”.
Sensul cuvântului „trapez” s-a schimbat de mai multe ori. La Euclid, „trapezion” însemna orice patrulater care nu este pătrat, dreptunghi, romb sau paralelogram. Proclus, în secolul al V-lea d.Hr., a separat patrulaterele cu exact două laturi paralele de cele fără laturi paralele. Nici azi limbile nu s-au pus de acord: în engleza americană trapezul se numește „trapezoid”, iar în engleza britanică „trapezium”.
La ce folosește
Un tâmplar verifică dacă tocul unei uși este un dreptunghi adevărat măsurând diagonalele: un paralelogram cu diagonalele egale este dreptunghi. Pentru un toc de $2$ m pe $0{,}9$ m, ambele diagonale trebuie să aibă aproximativ $2{,}19$ m; dacă una e mai lungă, tocul este strâmb.
Cricul „foarfecă” al unei mașini este un romb articulat. Laturile rămân fixe, iar când diagonala orizontală se scurtează, cea verticală crește și ridică mașina. Cu laturi de $20$ cm, când diagonala orizontală are $32$ cm, cea verticală are $2\cdot\sqrt{20^2-16^2}=24$ cm — pentru că diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc.
Plăcile de gresie, ramele, ferestrele și terenurile de sport sunt dreptunghiuri; secțiunea unui dig sau a unui terasament de drum este deseori un trapez isoscel, mai larg la bază, ca să fie stabil.
De bază
Un paralelogram are laturile opuse paralele. În orice paralelogram: laturile opuse sunt congruente, unghiurile opuse sunt congruente, două unghiuri alăturate sunt suplementare, iar diagonalele se înjumătățesc (se taie în mijlocul lor).
Exemplu: în paralelogramul $ABCD$, $m(\sphericalangle A)=70^\circ$. Unghiul $B$ este alăturat lui $A$, deci $m(\sphericalangle B)=180^\circ-70^\circ=110^\circ$, iar $m(\sphericalangle C)=70^\circ$ (opus lui $A$).
Paralelogramele speciale adaugă câte o proprietate: dreptunghiul are unghiurile drepte și diagonalele congruente; rombul are laturile congruente și diagonalele perpendiculare, bisectoare ale unghiurilor; pătratul este și dreptunghi, și romb, deci are toate aceste proprietăți.
Exemplul 2: în dreptunghiul $ABCD$, diagonalele se taie în $O$ și $AC=10$ cm. Diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc, deci $OB=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm.
Trapezul are exact două laturi paralele, numite baze. Trapezul isoscel are laturile neparalele congruente, unghiurile de la aceeași bază congruente și diagonalele congruente. Trapezul dreptunghic are o latură neparalelă perpendiculară pe baze.
Diagonala pătratului cu latura $l$ este $l\sqrt{2}$: un pătrat cu perimetrul de $36$ cm are latura $9$ cm și diagonala $9\sqrt{2}$ cm.
Mediu
În problemele medii, patrulaterul se împarte în triunghiuri. O diagonală, o înălțime sau intersecția diagonalelor creează un triunghi echilateral, isoscel sau dreptunghic, în care se face calculul.
Exemplu: rombul $ABCD$ are latura de $8$ cm și $m(\sphericalangle A)=60^\circ$. În triunghiul $ABD$, $AB=AD$ și unghiul dintre ele are $60^\circ$, deci triunghiul este echilateral și diagonala mică este $BD=8$ cm. Diagonalele se taie perpendicular în mijlocul lor $O$, deci $AO=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$ cm, iar diagonala mare este $AC=8\sqrt{3}$ cm.
La trapezul isoscel, înălțimile duse din capetele bazei mici taie din baza mare două bucăți egale, fiecare de lungime $\frac{B-b}{2}$.
Exemplul 2: trapezul isoscel $ABCD$ are bazele $AB=20$ cm, $CD=8$ cm și $m(\sphericalangle A)=45^\circ$. Înălțimea $DE$ cade la $AE=\frac{20-8}{2}=6$ cm de $A$. Triunghiul $AED$ este dreptunghic cu un unghi de $45^\circ$, deci isoscel: $DE=AE=6$ cm, iar latura neparalelă este $AD=6\sqrt{2}$ cm.
Cum recunoști ce ai: un paralelogram cu un unghi drept este dreptunghi, unul cu două laturi alăturate congruente este romb, unul cu diagonalele perpendiculare este tot romb.
Avansat
Ideea 1 — cauți triunghiuri dreptunghice isoscele. Când o latură este dublul alteia sau apare un mijloc, de multe ori se formează unghiuri de $45^\circ$ care se adună frumos.
Exemplu: dreptunghiul $ABCD$ are $AB=2\cdot BC$, iar $M$ este mijlocul lui $AB$. Atunci $AM=BC=AD$, deci triunghiul $AMD$ este dreptunghic isoscel și $m(\sphericalangle AMD)=45^\circ$. La fel, $m(\sphericalangle BMC)=45^\circ$. Punctele $A$, $M$, $B$ sunt coliniare, deci $m(\sphericalangle DMC)=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ$.
Ideea 2 — diagonalele perpendiculare într-un trapez isoscel. Diagonalele unui trapez isoscel sunt congruente și se taie în $O$ astfel încât triunghiurile $AOB$ și $COD$ sunt isoscele. Dacă în plus diagonalele sunt perpendiculare, aceste triunghiuri sunt dreptunghice isoscele, iar distanța de la $O$ la fiecare bază este jumătate din acea bază (mediana din unghiul drept).
Exemplul 2: trapezul isoscel $ABCD$ are bazele $AB=20$ cm și $CD=8$ cm, iar diagonalele sunt perpendiculare. Distanța de la $O$ la $AB$ este $\frac{20}{2}=10$ cm, iar la $CD$ este $\frac{8}{2}=4$ cm, deci înălțimea trapezului este $10+4=14$ cm — exact cât linia mijlocie, $\frac{20+8}{2}=14$ cm. Aria este $14\cdot 14=196$ cm$^2$.
Ideea 3 — pentru a arăta că un patrulater este paralelogram, cea mai scurtă cale este adesea: diagonalele se înjumătățesc, sau două laturi opuse sunt paralele și congruente.
Greșeli frecvente
Luarea unghiurilor alăturate ale paralelogramului drept congruente: egale sunt unghiurile OPUSE; două unghiuri alăturate au suma $180^\circ$. Dacă $m(\sphericalangle A)=70^\circ$, atunci $m(\sphericalangle B)=110^\circ$, nu $70^\circ$ sau $20^\circ$.
Confuzia dintre diagonală și jumătatea ei: punctul de intersecție $O$ este mijlocul diagonalelor, deci $OB=\frac{BD}{2}$, nu $BD$ și nici $\frac{BD}{4}$.
Diagonala pătratului socotită ca două laturi: diagonala pătratului cu latura $9$ cm este $9\sqrt{2}$ cm, nu $18$ cm; iar $81$ este aria, nu diagonala.
Confuzia dintre diagonala mică și cea mare a rombului: diagonala opusă unghiului de $60^\circ$ este cea mică și este egală cu latura; cea mare este latura înmulțită cu $\sqrt{3}$.
La trapezul isoscel, folosirea întregii diferențe a bazelor: ea se împarte egal la cele două capete, fiecare bucată fiind $\frac{B-b}{2}$.
Proprietăți atribuite greșit: diagonalele congruente sunt ale dreptunghiului (și ale trapezului isoscel), cele perpendiculare ale rombului. Un paralelogram oarecare nu are niciuna dintre ele.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, Cartea I, propoziția 34: în paralelogram laturile și unghiurile opuse sunt egale, iar diagonala îl împarte în două — mathcs.clarku.edu
- Cuvântul romb vine din greaca rhombos, obiect care se învârte; folosit de Euclid și Arhimede — en.wikipedia.org
- Trapez din greaca trapezion, măsuță; sensul la Euclid și la Proclus (secolul al V-lea); diferența dintre engleza americană și cea britanică — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.