Teorie · C6 Geometrie · clasa a VII-a
Patrulatere în clasa a VII-a: suma unghiurilor, paralelogramul și paralelogramele particulare, trapezul
Ce aduce clasa a VII-a despre patrulatere: suma unghiurilor de 360 de grade, proprietățile paralelogramului demonstrate cu triunghiuri congruente, cum recunoști un paralelogram, dreptunghiul, rombul, pătratul și trapezul isoscel, cu exemple rezolvate.
De unde vine
În „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), definiția 22 din cartea I împarte patrulaterele altfel decât noi. Pătratul are laturile egale și unghiurile drepte; „oblongul” are unghiurile drepte, dar nu toate laturile egale — dreptunghiul nostru; rombul are laturile egale, dar nu are unghiuri drepte; „romboidul” are laturile și unghiurile opuse egale, fără să fie romb sau oblong. La Euclid, deci, un pătrat NU era romb. Azi spunem că pătratul este și dreptunghi, și romb, pentru că are toate proprietățile lor.
Cuvântul „paralelogram” nici nu apare în definițiile lui Euclid. Proclus scrie că l-a creat chiar Euclid: în propoziția 34 din cartea I el vorbește de o „arie paralelogramică”, iar cuvântul scurt apare abia la propoziția 35.
Semnul $\parallel$, pe care îl scrii la fiecare patrulater, are și el o istorie. Heron din Alexandria și Pappus foloseau pentru „paralel” două bare orizontale, asemănătoare semnului egal de azi. Forma cu barele verticale apare prima dată la englezul William Oughtred, într-o carte publicată după moartea lui, în 1677.
La ce folosește
Cutiile de scule cu tăvi care se deschid în trepte au brațe care formează paralelograme. Oricum ai deforma un paralelogram, laturile lui opuse rămân paralele, așa că tăvile stau mereu orizontale și nu se varsă nimic din ele. Aceeași idee ține drept capul unei lămpi de birou cu braț articulat.
Ca să verifici că patru țăruși bătuți în grădină sunt vârfurile unui paralelogram, nu măsori unghiuri: întinzi două sfori între vârfurile opuse. Dacă fiecare sfoară este tăiată de cealaltă exact la mijloc — o sfoară de $5$ m tăiată la $2{,}5$ m și una de $3$ m tăiată la $1{,}5$ m — diagonalele se înjumătățesc, deci patrulaterul este paralelogram.
Un tâmplar care face o ramă cu patru colțuri știe că unghiurile trebuie să aibă împreună $360^\circ$: dacă trei colțuri sunt tăiate la $90^\circ$, $90^\circ$ și $75^\circ$, al patrulea trebuie să aibă $105^\circ$, altfel rama nu se închide.
De bază
Din clasa a VI-a știi că suma unghiurilor unui triunghi este $180^\circ$, că două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente și că două triunghiuri sunt congruente după criteriile LUL, ULU și LLL. În clasa a VII-a toate acestea lucrează pentru patrulatere.
Un patrulater este convex dacă, oricare latură ai alege, celelalte două vârfuri sunt de aceeași parte a ei. O diagonală îl împarte în două triunghiuri, deci suma unghiurilor unui patrulater convex este $2\cdot 180^\circ=360^\circ$.
Exemplu: patrulaterul convex $ABCD$ are $m(\sphericalangle A)=85^\circ$, $m(\sphericalangle B)=95^\circ$ și $m(\sphericalangle C)=110^\circ$. Atunci $m(\sphericalangle D)=360^\circ-85^\circ-95^\circ-110^\circ=70^\circ$. Mai mult, $85^\circ+95^\circ=180^\circ$, iar $\sphericalangle A$ și $\sphericalangle B$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei $AB$ pentru dreptele $AD$ și $BC$. Deci $AD\parallel BC$, iar patrulaterul este un trapez.
Paralelogramul are laturile opuse paralele. Proprietățile lui — laturile opuse congruente, unghiurile opuse congruente, două unghiuri alăturate suplementare, diagonalele care se înjumătățesc — se demonstrează cu o diagonală: ea formează două triunghiuri congruente (ULU), cu unghiurile alterne interne.
Exemplul 2: un paralelogram are perimetrul de $30$ cm, iar o latură este cu $3$ cm mai lungă decât cealaltă. Laturile opuse sunt congruente, deci două laturi alăturate au împreună jumătate din perimetru: $x+(x+3)=15$, de unde $2x=12$ și $x=6$. Laturile au $6$ cm și $9$ cm.
Trapezul este patrulaterul convex care are două laturi paralele și celelalte două neparalele. Laturile paralele sunt bazele (baza mare și baza mică), iar celelalte două sunt laturile neparalele. Înălțimea trapezului este distanța dintre baze: segmentul perpendicular dus dintr-un vârf al bazei mici pe baza mare. Clasificare: trapezul dreptunghic are o latură neparalelă perpendiculară pe baze, trapezul isoscel are laturile neparalele congruente, iar celelalte sunt trapeze oarecare.
Exemplul 3: trapezul dreptunghic $ABCD$ are $AB\parallel CD$, $m(\sphericalangle A)=90^\circ$ și $m(\sphericalangle B)=55^\circ$. Unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele sunt suplementare, deci $m(\sphericalangle D)=180^\circ-90^\circ=90^\circ$ și $m(\sphericalangle C)=180^\circ-55^\circ=125^\circ$. Latura $AD$ este perpendiculară pe ambele baze, deci este chiar înălțimea trapezului.
Mediu
Cum recunoști un paralelogram. Un patrulater convex este paralelogram dacă are: laturile opuse paralele două câte două; sau laturile opuse congruente două câte două; sau două laturi opuse care sunt și paralele, și congruente; sau diagonalele care se înjumătățesc; sau unghiurile opuse congruente două câte două.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $BC$, iar pe prelungirea medianei $AM$ se ia punctul $D$ cu $MD=AM$. Diagonalele $AD$ și $BC$ ale patrulaterului $ABDC$ se înjumătățesc în $M$, deci $ABDC$ este paralelogram. Dacă $AB=7$ cm și $AC=9$ cm, atunci $CD=7$ cm, $BD=9$ cm, iar perimetrul este $2\cdot(7+9)=32$ cm. Construcția aceasta, „dublarea medianei”, scurtează multe demonstrații.
Paralelogramele particulare: dreptunghiul (un paralelogram cu un unghi drept), rombul (un paralelogram cu două laturi alăturate congruente) și pătratul (amândouă). Dreptunghiul are diagonalele congruente; rombul are diagonalele perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor.
Exemplul 2: în rombul $ABCD$, $m(\sphericalangle ABD)=35^\circ$. Diagonala $BD$ este bisectoarea unghiului $B$, deci $m(\sphericalangle ABC)=2\cdot 35^\circ=70^\circ$, iar unghiul alăturat are $m(\sphericalangle BAD)=180^\circ-70^\circ=110^\circ$.
Exemplul 3: în dreptunghiul $ABCD$, diagonalele se taie în $O$, $AC=16$ cm și $m(\sphericalangle AOB)=60^\circ$. Diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc, deci $OA=OB=8$ cm. Triunghiul $AOB$ este isoscel și are un unghi de $60^\circ$, deci este echilateral: $AB=8$ cm. Verificarea vine din clasa a VI-a: în triunghiul dreptunghic $ABC$, $m(\sphericalangle BAC)=60^\circ$, deci $m(\sphericalangle ACB)=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$, iar cateta $AB$, opusă unghiului de $30^\circ$, este jumătate din ipotenuza $AC$.
Trapezul isoscel are unghiurile de la aceeași bază congruente și diagonalele congruente. Pentru diagonale: la trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $AD=BC$, triunghiurile $ABC$ și $BAD$ au $AB$ comună, $BC=AD$ și $\sphericalangle ABC\equiv\sphericalangle BAD$, deci sunt congruente (LUL) și $AC=BD$. Reciprocele servesc la recunoaștere: un trapez cu unghiurile de la o bază congruente este isoscel, iar un trapez cu diagonalele congruente este isoscel.
Exemplul 4: trapezul isoscel $ABCD$ are $AB\parallel CD$, $m(\sphericalangle A)=65^\circ$ și diagonala $AC=11$ cm. Unghiurile de la baza mare sunt congruente, deci $m(\sphericalangle B)=65^\circ$, iar cele de la baza mică au $m(\sphericalangle C)=m(\sphericalangle D)=180^\circ-65^\circ=115^\circ$. Diagonalele sunt congruente, deci $BD=11$ cm.
Avansat
Ideea 1 — o paralelă dusă printr-un vârf împarte trapezul într-un paralelogram și un triunghi.
Exemplu: trapezul isoscel $ABCD$ ($AB\parallel CD$) are baza mare $AB=14$ cm și perimetrul de $35$ cm, iar diagonala $AC$ este bisectoarea unghiului $A$. Din $AB\parallel CD$, $\sphericalangle DCA\equiv\sphericalangle CAB$ (alterne interne), iar $\sphericalangle CAB\equiv\sphericalangle DAC$ (bisectoarea), deci triunghiul $ADC$ este isoscel: $DC=AD$. Trapezul este isoscel, deci și $BC=AD$. Cu $AD=DC=BC=x$ obții $3x+14=35$, adică $x=7$ cm. Acum duci $CE\parallel AD$, cu $E\in AB$: $AECD$ este paralelogram, deci $AE=DC=7$ cm și $CE=AD=7$ cm. Rămâne $EB=14-7=7$ cm, iar triunghiul $EBC$ are toate laturile de $7$ cm — este echilateral. Deci $m(\sphericalangle B)=m(\sphericalangle A)=60^\circ$ și $m(\sphericalangle C)=m(\sphericalangle D)=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
Ideea 2 — bisectoarea unui unghi al paralelogramului taie din el un triunghi isoscel.
Exemplul 2: în paralelogramul $ABCD$, $AB=10$ cm și $AD=6$ cm, iar bisectoarea unghiului $A$ taie latura $CD$ în $E$. Din $AB\parallel CD$, $\sphericalangle DEA\equiv\sphericalangle EAB$ (alterne interne), iar $\sphericalangle EAB\equiv\sphericalangle DAE$, deci triunghiul $ADE$ este isoscel: $DE=AD=6$ cm și $EC=10-6=4$ cm.
Tot de aici: bisectoarele a două unghiuri alăturate ale unui paralelogram sunt perpendiculare. Unghiurile alăturate au suma $180^\circ$, deci jumătățile lor au suma $\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$, iar în triunghiul format de cele două bisectoare cu latura comună al treilea unghi este drept.
Greșeli frecvente
Suma unghiurilor luată $180^\circ$ și la patrulater. Ea este $360^\circ$, pentru că o diagonală împarte patrulaterul în DOUĂ triunghiuri. Cu unghiurile de $85^\circ$, $95^\circ$ și $110^\circ$ se vede imediat că $180^\circ$ nu poate fi: primele trei au deja mai mult.
„Două laturi opuse congruente, deci paralelogram” — greșit. Trapezul isoscel are laturile neparalele congruente și nu este paralelogram. Criteriul cere laturile opuse congruente DOUĂ CÂTE DOUĂ, sau o pereche de laturi opuse care să fie și paralele, și congruente.
Ierarhia uitată: pătratul ESTE dreptunghi și ESTE romb, deci are diagonalele și congruente, și perpendiculare. Un romb nu este dreptunghi decât dacă are un unghi drept, iar diagonalele lui sunt congruente doar dacă este pătrat.
La trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, suplementare sunt unghiurile alăturate aceleiași laturi NEPARALELE ($A$ cu $D$, $B$ cu $C$), nu cele de pe aceeași bază. La trapezul isoscel, unghiurile de pe aceeași bază sunt congruente.
În problema cu bisectoarea din paralelogram, $E$ luat drept mijlocul lui $CD$. El este acolo unde $DE=AD$: cu $AB=10$ cm și $AD=6$ cm, $DE=6$ cm, nu $5$ cm.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, cartea I, definiția 22: pătratul, oblongul, rombul (echilateral, dar nu dreptunghic, deci fără pătrat) și romboidul — mathcs.clarku.edu
- Proclus: cuvântul „paralelogram” a fost creat de Euclid; propoziția I.34 spune „arie paralelogramică”, cuvântul simplu apare la I.35 — mathcs.clarku.edu
- Semnul pentru paralel: două bare orizontale la Heron și Pappus; forma verticală la William Oughtred, într-o lucrare publicată postum în 1677 — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.