Teorie · C7 Geometrie · clasa a VII-a
Linia mijlocie în triunghi și trapez, centrul de greutate, paralele echidistante
Linia mijlocie a triunghiului și a trapezului, centrul de greutate al triunghiului și teorema paralelelor echidistante, de la regula de bază la problemele care cer o idee, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Centrul de greutate al unui triunghi a fost studiat mai întâi ca problemă de mecanică, nu de geometrie. Arhimede din Siracuza (287–212 î.Hr.) a scris lucrarea „Despre echilibrul planelor”, în care a găsit centrul de greutate al paralelogramului, al triunghiului și al trapezului — adică punctul în care o placă cu acea formă stă în echilibru pe vârful unui ac.
Faptul că cele trei mediane ale unui triunghi trec prin același punct, care este chiar centrul de greutate, apare scris explicit mai târziu, la Heron din Alexandria, probabil în secolul I d.Hr., în lucrarea sa de mecanică. Proprietatea a intrat în manualele obișnuite de geometrie abia în secolul al XIX-lea.
Linia mijlocie are și ea o poveste mai nouă decât ai crede. Francezul Pierre Varignon (1654–1722) a arătat că mijloacele laturilor ORICĂRUI patrulater formează un paralelogram. Rezultatul a apărut în cartea lui „Éléments de mathématique”, publicată în 1731, la nouă ani după moartea lui, și se numește azi paralelogramul lui Varignon.
La ce folosește
La o scară dublă, bara care leagă cele două picioare la jumătatea înălțimii este o linie mijlocie. Dacă picioarele stau la $1{,}2$ m unul de altul pe podea, bara prinsă de mijloacele lor are exact $0{,}6$ m — jumătate din distanța de jos.
Tâmplarii împart o scândură în fâșii egale fără să facă împărțiri cu virgulă. Pentru o scândură lată de $25$ cm, pun rigla oblic, astfel încât gradația $0$ să fie pe o margine și gradația $30$ pe cealaltă, și marchează punctele de la $10$ și $20$ cm. Liniile paralele cu marginile duse prin aceste puncte împart lățimea în trei fâșii egale, de câte aproximativ $8{,}33$ cm. Este teorema paralelelor echidistante.
Centrul de greutate contează ori de câte ori ceva trebuie să stea în echilibru: o placă triunghiulară de metal stă orizontal pe un singur suport doar dacă suportul este în punctul de intersecție a medianelor. De aceea inginerii îl calculează când proiectează rafturi, macarale sau piese de avion.
De bază
Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi. Ea este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$, iar $BC=14$ cm. Atunci $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{14}{2}=7$ cm.
Linia mijlocie a unui trapez unește mijloacele laturilor neparalele. Ea este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor: $MN=\frac{B+b}{2}$.
Exemplul 2: trapezul are bazele $16$ cm și $10$ cm. Linia mijlocie are $\frac{16+10}{2}=13$ cm.
Mediana unui triunghi unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Cele trei mediane se intersectează într-un punct $G$, numit centrul de greutate, aflat pe fiecare mediană la două treimi de vârf și la o treime de latură.
Exemplul 3: mediana $AM$ are $12$ cm. Atunci $AG=\frac{2}{3}\cdot 12=8$ cm și $GM=\frac{12}{3}=4$ cm.
Teorema paralelelor echidistante: dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină segmente congruente pe orice altă secantă.
Mediu
La nivel mediu, linia mijlocie apare combinată: într-un trapez, într-un triunghi format de alte linii mijlocii sau folosită „invers”, ca să afli o bază.
Exemplu: trapezul $ABCD$ are $AB\parallel CD$, $AB=14$ cm și $CD=6$ cm. Linia mijlocie $MN$ taie diagonalele $AC$ și $BD$ în $P$ și $Q$. Întâi, $MN=\frac{14+6}{2}=10$ cm. În triunghiul $ACD$, $MP$ este linie mijlocie, deci $MP=\frac{CD}{2}=3$ cm. În triunghiul $ABD$, $MQ$ este linie mijlocie, deci $MQ=\frac{AB}{2}=7$ cm. Rezultă $PQ=7-3=4$ cm, adică exact $\frac{AB-CD}{2}$: bucata dintre diagonale este semidiferența bazelor.
Exemplul 2: linia mijlocie a unui trapez are $12$ cm, iar baza mare $15$ cm. Din $\frac{15+b}{2}=12$ rezultă $15+b=24$, deci baza mică are $b=24-15=9$ cm.
Exemplul 3: triunghiul $ABC$ are laturile de $8$ cm, $10$ cm și $12$ cm. Cele trei linii mijlocii formează un triunghi cu laturile de $4$ cm, $5$ cm și $6$ cm, deci cu perimetrul de $15$ cm — jumătate din perimetrul lui $ABC$. Aria lui este un sfert din aria lui $ABC$, pentru că liniile mijlocii împart triunghiul în patru triunghiuri congruente.
Cum recunoști problema: „mijlocul” apare de două ori în enunț. Când ai două mijloace pe două laturi ale aceluiași triunghi, ai o linie mijlocie.
Avansat
Problemele grele cu linii mijlocii nu arată triunghiul în care să le aplici. Ideea este să alegi tu triunghiul.
Ideea 1 — o diagonală transformă un patrulater în două triunghiuri. Într-un patrulater oarecare, mijloacele a două laturi vecine sunt și mijloace de laturi în triunghiul format cu o diagonală.
Exemplu: patrulaterul convex $ABCD$ are diagonalele $AC=10$ cm și $BD=14$ cm, iar $M$, $N$, $P$, $Q$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. În triunghiul $ABC$, $MN$ este linie mijlocie: $MN\parallel AC$ și $MN=5$ cm. În triunghiul $ACD$, la fel $QP\parallel AC$ și $QP=5$ cm. Analog, cu diagonala $BD$, $NP=MQ=7$ cm. Deci $MNPQ$ este paralelogram (paralelogramul lui Varignon), cu perimetrul $2(5+7)=24$ cm — egal cu suma diagonalelor. Dacă diagonalele ar fi perpendiculare, $MNPQ$ ar fi dreptunghi.
Ideea 2 — centrul de greutate împarte o arie în treimi. Punctul $G$ este la o treime din mediană, măsurat de la latură, deci distanța lui până la latură este o treime din înălțimea triunghiului.
Exemplul 2: triunghiul $ABC$ are aria de $36$ cm$^2$, iar $G$ este centrul său de greutate. Triunghiurile $GBC$ și $ABC$ au aceeași bază $BC$, iar înălțimea lui $GBC$ este o treime din înălțimea lui $ABC$. Deci aria lui $GBC$ este $\frac{36}{3}=12$ cm$^2$. La fel pentru $GCA$ și $GAB$: centrul de greutate împarte triunghiul în trei triunghiuri de arii egale.
Ideea 3 — când un punct este „la o treime” pe o latură, caută o linie mijlocie într-un triunghi mai mic și una într-un trapez, apoi scrie o ecuație cu lungimea necunoscută.
Greșeli frecvente
Linia mijlocie luată egală cu latura: ea este paralelă cu latura, dar are jumătate din lungime. Cu $BC=14$ cm, $MN=7$ cm, nu $14$ cm.
La trapez, confuzia dintre semisumă și semidiferență: linia mijlocie este $\frac{B+b}{2}$; $\frac{B-b}{2}$ este doar bucata ei dintre diagonale. Și nu uita împărțirea la $2$: $16+10=26$ nu este linia mijlocie, ci dublul ei.
Media făcută cu ce nu trebuie: linia mijlocie este media BAZELOR. Dacă știi linia mijlocie $12$ și baza mare $15$, baza mică este $2\cdot 12-15=9$, nu media lui $12$ și $15$.
Centrul de greutate pus la mijlocul medianei: $G$ este la două treimi de vârf, deci $AG=\frac{2}{3}AM$, iar $GM$ este bucata mai scurtă, $\frac{1}{3}AM$.
Raportul inversat: $AG$ este o parte a medianei, deci mai mic decât ea. Dacă ai obținut $AG=18$ cm dintr-o mediană de $12$ cm, ai înmulțit cu $\frac{3}{2}$ în loc de $\frac{2}{3}$.
Linie mijlocie „văzută” unde nu este: un segment paralel cu o latură este linie mijlocie doar dacă pornește dintr-un MIJLOC. Dacă punctul este la o treime din latură, segmentul are o treime (sau două treimi) din latură, nu jumătate.
Surse pentru partea istorică
- Arhimede din Siracuza (287–212 î.Hr.), în „Despre echilibrul planelor”, a determinat centrul de greutate al paralelogramului, triunghiului și trapezului — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Concurența medianelor în centrul de greutate apare explicit la Heron din Alexandria (probabil secolul I d.Hr.) și intră în manuale abia în secolul al XIX-lea — en.wikipedia.org
- Pierre Varignon (1654–1722), francez; teorema paralelogramului mijloacelor, publicată postum în 1731 în „Éléments de mathématique” — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Paralelogramul lui Varignon: mijloacele laturilor unui patrulater oarecare formează un paralelogram, publicat în 1731 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.