Teorie · C7 Geometrie · clasa a VII-a
Linia mijlocie, centrul de greutate și paralelele echidistante în clasa a VII-a
Ce aduce clasa a VII-a: linia mijlocie în triunghi și în trapez, centrul de greutate aflat la două treimi din fiecare mediană și teorema paralelelor echidistante, pornind de la medianele din clasa a VI-a, cu exemple rezolvate de la regula de bază la probleme cu idee.
De unde vine
Din clasa a VI-a știi că cele trei mediane ale unui triunghi trec prin același punct. Poate te surprinde că această proprietate nu apare deloc în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.). Ea a fost enunțată explicit mai târziu, în lucrări despre mecanică și echilibru. Iar cuvântul „centroid”, cu care engleza numește azi centrul de greutate al unei figuri, este foarte nou: a fost creat în 1814.
Teorema paralelelor echidistante, pe care în clasa a VII-a o primești fără demonstrație, apare la Euclid ca instrument de construcție. În cartea a VI-a, propoziția 9, el arată cum tai dintr-un segment dat o parte cerută, de exemplu a treia parte: duce prin un capăt o dreaptă ajutătoare, pune pe ea segmente egale și duce paralele. Este aceeași construcție pe care o faci azi cu rigla și echerul.
La ce folosește
Ca să afli lățimea unui iaz între punctele $A$ și $B$ de pe maluri opuse, alegi pe uscat un punct $C$ din care poți merge până la ambele. Marchezi mijlocul $M$ al lui $CA$ și mijlocul $N$ al lui $CB$ și măsori $MN$ pe uscat. Dacă $MN=23$ m, lățimea iazului este $AB=2\cdot 23=46$ m — dublul liniei mijlocii.
Foaia de caiet dictando are liniile paralele și la distanțe egale. Dacă așezi oblic o fâșie de hârtie, cu un capăt pe prima linie și celălalt pe a șasea, cele patru linii dintre ele o împart în cinci bucăți egale, oricât de înclinată ar fi. Așa împarți o fâșie de $17$ cm în bucăți de $3{,}4$ cm fără să calculezi: este teorema paralelelor echidistante.
O scară de pom, mai îngustă sus decât jos, are forma unui trapez. Dacă treapta de jos are $60$ cm, cea de sus $40$ cm, iar treptele sunt la distanțe egale, treapta din mijloc are $\frac{60+40}{2}=50$ cm — linia mijlocie a trapezului.
De bază
Din clasa a VI-a știi că medianele unui triunghi sunt concurente — atunci fără demonstrație. În clasa a VII-a, cu ajutorul paralelogramului, afli și UNDE se întâlnesc ele și ce lungime are segmentul dintre două mijloace.
Linia mijlocie: segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este paralel cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei. Se demonstrează prelungind linia mijlocie cu încă o dată lungimea ei și obținând un paralelogram.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $AB$, $N$ mijlocul lui $AC$, $MN=9$ cm și $m(\sphericalangle ABC)=50^\circ$. Atunci $BC=2\cdot 9=18$ cm, iar din $MN\parallel BC$ unghiurile corespondente sunt congruente: $m(\sphericalangle AMN)=50^\circ$.
Centrul de greutate $G$, punctul comun al medianelor, se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf și la o treime de mijlocul laturii: dacă $AM$ este mediană, $AG=2\cdot GM$.
Exemplul 2: dacă $GM=5$ cm, atunci $AG=2\cdot 5=10$ cm, iar mediana întreagă are $AM=3\cdot 5=15$ cm.
Teorema paralelelor echidistante: dacă mai multe drepte paralele taie pe o secantă segmente congruente, atunci taie segmente congruente pe orice altă secantă.
Exemplul 3: patru drepte paralele taie o secantă în $A$, $B$, $C$, $D$, cu $AB=BC=CD=4$ cm, și altă secantă în $E$, $F$, $H$, $K$, cu $EF=6$ cm. Atunci și $FH=HK=6$ cm, deci $EK=3\cdot 6=18$ cm. Bucățile de pe a doua secantă sunt egale între ele, dar nu și cu cele de pe prima.
Mediu
La nivel mediu, liniile mijlocii se combină cu ce știi din clasa a VI-a despre triunghiul dreptunghic și triunghiul isoscel.
Exemplu: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm, $AC=8$ cm și $BC=10$ cm (verifici: $6^2+8^2=10^2$). Fie $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor $AB$, $AC$ și $BC$. $MP$ este linie mijlocie, deci $MP\parallel AC$ și $MP=\frac{8}{2}=4$ cm; la fel, $NP\parallel AB$ și $NP=\frac{6}{2}=3$ cm. Patrulaterul $AMPN$ are laturile opuse paralele și un unghi drept, deci este dreptunghi, cu perimetrul $2\cdot(3+4)=14$ cm. Diagonalele lui sunt congruente: $MN=\frac{BC}{2}=5$ cm și $AP=5$ cm — adică mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză, cum ai învățat în clasa a VI-a.
Exemplul 2: triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC=10$ cm și $BC=12$ cm. Mediana $AM$ este și înălțime, iar $BM=6$ cm, deci $AM^2=100-36=64$ și $AM=8$ cm. Centrul de greutate este pe $AM$, la o treime de latură: $GM=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ cm este chiar distanța de la $G$ la $BC$, iar $AG=\frac{16}{3}$ cm.
Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele laturilor neparalele; este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor, $\frac{B+b}{2}$.
Exemplul 3: un trapez are linia mijlocie de $11$ cm, iar baza mare este cu $6$ cm mai lungă decât baza mică. Suma bazelor este $2\cdot 11=22$ cm, deci $b+(b+6)=22$, $b=8$ cm, iar baza mare are $14$ cm. Verificare: $\frac{8+14}{2}=11$.
Avansat
Ideea 1 — duci tu o paralelă printr-un mijloc. Reciproca liniei mijlocii spune: paralela dusă prin mijlocul unei laturi la a doua latură trece prin mijlocul celei de-a treia.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $AM$ este mediană, $D$ este mijlocul lui $AM$, iar dreapta $BD$ taie $AC$ în $E$. Dacă $AC=12$ cm, cât este $AE$? Duci $MF\parallel BE$, cu $F\in AC$. În triunghiul $CBE$, $M$ este mijlocul lui $BC$ și $MF\parallel BE$, deci $F$ este mijlocul lui $CE$: $EF=FC$. În triunghiul $AMF$, $D$ este mijlocul lui $AM$ și $DE\parallel MF$, deci $E$ este mijlocul lui $AF$: $AE=EF$. Cele trei bucăți sunt egale, așa că $AE=\frac{12}{3}=4$ cm.
Ideea 2 — mediana din unghiul drept, din clasa a VI-a, împreună cu centrul de greutate.
Exemplul 2: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC=18$ cm, iar $G$ este centrul său de greutate. Mediana $AM$ este jumătate din ipotenuză, $AM=9$ cm, deci $AG=\frac{2}{3}\cdot 9=6$ cm și $GM=3$ cm. Fără clasa a VI-a nu ai fi știut lungimea medianei; fără clasa a VII-a nu ai fi știut unde este $G$ pe ea.
Greșeli frecvente
Mediană confundată cu linia mijlocie. Mediana pleacă dintr-un VÂRF spre mijlocul laturii opuse; linia mijlocie unește două MIJLOACE.
Centrul de greutate confundat cu celelalte puncte din clasa a VI-a. $G$ este intersecția medianelor — nu a bisectoarelor (centrul cercului înscris) și nici a mediatoarelor (centrul cercului circumscris). Ele coincid doar în triunghiul echilateral.
Linia mijlocie a trapezului dusă între mijloacele bazelor. Ea unește mijloacele laturilor NEPARALELE; segmentul dintre mijloacele bazelor nu are, în general, lungimea $\frac{B+b}{2}$.
La paralelele echidistante, bucățile de pe secante diferite egalate între ele. Pe fiecare secantă bucățile sunt egale între ele, dar pe una pot avea $4$ cm, iar pe cealaltă $6$ cm.
Teorema aplicată unor drepte care nu sunt paralele. Fără paralelism, bucăți egale pe o secantă nu dau bucăți egale pe alta.
Din $GM=5$ cm, mediana luată $10$ cm. $10$ cm este $AG$; mediana întreagă, $AG+GM$, are $15$ cm.
Surse pentru partea istorică
- Concurența medianelor nu apare în Elementele lui Euclid; cuvântul „centroid” a fost creat în 1814 — en.wikipedia.org
- Elementele lui Euclid, cartea a VI-a, propoziția 9: tăierea unei părți cerute (a treia) dintr-un segment, cu segmente egale pe o dreaptă ajutătoare și paralele — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.