Teorie · C8 Geometrie · clasa a VII-a
Teorema lui Thales și reciproca ei, segmente proporționale, teorema bisectoarei
Teorema lui Thales, reciproca ei, paralelele care taie secante în segmente proporționale și teorema bisectoarei, explicate de la regula de bază la problemele care cer o idee, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Teorema poartă numele lui Thales din Milet, un oraș grecesc din Asia Mică (azi în Turcia), care a trăit aproximativ între 624 și 547 î.Hr. Nicio lucrare scrisă de el nu s-a păstrat, iar tot ce știm despre el vine de la autori care au scris cu secole mai târziu. De aceea nu putem fi siguri că el a descoperit teorema — ea era cunoscută, sub formă practică, și babilonienilor și egiptenilor. Nu toate țările îi spun „teorema lui Thales”; în română, franceză sau italiană i se spune așa.
Cea mai cunoscută poveste despre Thales este măsurarea înălțimii unei piramide din Egipt după umbra ei. Diogene Laertios și Pliniu spun că Thales a așteptat momentul zilei în care umbra unui om este egală cu înălțimea lui. Plutarh povestește o variantă mai ingenioasă: Thales a înfipt un băț la capătul umbrei piramidei și a arătat că piramida se raportează la băț ca umbra piramidei la umbra bățului — exact ideea de segmente proporționale.
Cea mai veche demonstrație păstrată a teoremei se află în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), în cartea a VI-a, propoziția 2, care conține și reciproca: dacă o dreaptă taie două laturi ale unui triunghi în segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură.
La ce folosește
Metoda umbrelor funcționează și azi. Un băț de $1{,}5$ m aruncă o umbră de $2$ m, iar în același moment umbra unui copac are $12$ m. Razele Soarelui sunt paralele, deci înălțimea copacului este $\frac{12\cdot 1{,}5}{2}=9$ m — fără să urci în el.
Pe o rampă de încărcare lungă de $5$ m, care urcă până la $1{,}2$ m, stâlpii verticali de susținere sunt paralele. Un stâlp pus la $2$ m de capătul de jos, măsurat de-a lungul rampei, trebuie să aibă $\frac{2}{5}\cdot 1{,}2=0{,}48$ m. Constructorul taie toți stâlpii din aceeași proporție.
Împărțirea unui segment în părți egale sau într-un raport dat, fără să-l măsori, se face tot cu paralele: pe o semidreaptă auxiliară se iau segmente egale, iar paralelele duse prin capetele lor transportă împărțirea pe segmentul dorit. Așa lucrau desenatorii tehnici înaintea calculatoarelor.
De bază
Teorema lui Thales: o paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Dacă în triunghiul $ABC$ avem $M\in AB$, $N\in AC$ și $MN\parallel BC$, atunci $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$.
Se pot scrie și rapoartele cu laturile întregi, dar cu aceeași formă pe ambele laturi: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.
Exemplu: $MN\parallel BC$, $AM=4$ cm, $MB=6$ cm și $AN=6$ cm. Din $\frac{4}{6}=\frac{6}{NC}$ rezultă $NC=\frac{6\cdot 6}{4}=9$ cm.
Reciproca teoremei lui Thales: dacă $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, atunci $MN\parallel BC$. Ea se folosește ca să DEMONSTREZI că două drepte sunt paralele.
Exemplul 2: $AM=3$ cm, $AB=9$ cm și $AN=4$ cm. Ca să fie $MN\parallel BC$ trebuie $\frac{3}{9}=\frac{4}{AC}$, deci $AC=12$ cm.
Mediu
Teorema lui Thales are o formă mai generală: mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale. Triunghiul este doar cazul în care cele două secante pornesc din același vârf.
Exemplu: dreptele paralele $d_1$, $d_2$, $d_3$ taie o secantă în $A$, $B$, $C$ și alta în $D$, $E$, $F$. Dacă $AB=5$ cm, $BC=10$ cm și $DE=4$ cm, atunci $\frac{5}{10}=\frac{4}{EF}$, deci $EF=8$ cm.
Exemplul 2: în trapezul $ABCD$, $AB\parallel CD$, paralela prin $M\in AD$ la baze taie $BC$ în $N$. Cu $AM=6$ cm, $MD=4$ cm și $BC=15$ cm, bazele și $MN$ sunt trei paralele, deci $\frac{BN}{BC}=\frac{AM}{AD}=\frac{6}{10}$ și $BN=\frac{6}{10}\cdot 15=9$ cm.
Teorema bisectoarei: bisectoarea unghiului $A$ împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.
Exemplul 3: $AB=6$ cm, $AC=9$ cm, $BC=10$ cm. Atunci $\frac{BD}{DC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, deci $BC$ se împarte în $5$ părți egale, iar $BD=\frac{2}{5}\cdot 10=4$ cm.
Cum recunoști problema: enunțul spune „paralela prin” sau „$MN\parallel BC$” și îți dă lungimi pe două laturi care pornesc din același punct.
Avansat
Problemele grele cu Thales leagă mai multe rapoarte între ele. Ideea este să urmărești un raport care „trece” dintr-o paralelă în alta.
Ideea 1 — lanțul de rapoarte. Dacă o paralelă transmite raportul $\frac{3}{2}$ de pe o latură pe alta, o a doua paralelă îl transmite mai departe, neschimbat.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $AB=15$ cm, iar $D\in BC$ cu $BD=6$ cm și $DC=4$ cm. Paralela prin $D$ la $AB$ taie $AC$ în $E$, iar paralela prin $E$ la $BC$ taie $AB$ în $F$. Din $DE\parallel AB$: $\frac{AE}{EC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$. Din $EF\parallel BC$: $\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$. Deci $AB$ are $5$ părți, iar $AF=\frac{3}{5}\cdot 15=9$ cm.
Ideea 2 — bisectoarea și paralela dau un triunghi isoscel. Dacă $AD$ este bisectoare și $DE\parallel AB$, unghiul $ADE$ este egal cu $DAB$ (alterne interne), deci cu $DAE$: triunghiul $ADE$ are $AE=DE$.
Exemplul 2: triunghiul $ABC$ are $AB=8$ cm, $AC=12$ cm și $BC=15$ cm; bisectoarea din $A$ taie $BC$ în $D$, iar paralela prin $D$ la $AB$ taie $AC$ în $E$. Din teorema bisectoarei, $\frac{BD}{DC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$, deci $BD=6$ cm și $DC=9$ cm. Din Thales, $\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}=\frac{9}{15}$, deci $CE=7{,}2$ cm și $AE=12-7{,}2=4{,}8$ cm. Triunghiul $CDE$ este asemenea cu $CBA$, deci $DE=\frac{8\cdot 9}{15}=4{,}8$ cm — egal cu $AE$, cum anunța ideea 2.
Ideea 3 — reciproca demonstrează o paralelă care nu apare în enunț. Calculează cele două rapoarte; dacă sunt egale, ai paralela și poți folosi apoi unghiurile alterne sau corespondente.
Greșeli frecvente
Proporția scrisă răsturnat: $\frac{AM}{MB}=\frac{NC}{AN}$ este greșită. Ordinea se păstrează: segmentul de lângă vârf supra celălalt, pe ambele laturi, $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$.
Rapoarte de forme diferite: $\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{MB}$ amestecă o bucată cu latura întreagă și o bucată cu altă bucată. Alege aceeași formă pe ambele laturi.
Diferențe în loc de rapoarte: paralelele păstrează RAPOARTELE, nu diferențele. Din $AM=4$, $MB=6$, $AN=6$ nu rezultă $NC=8$, ci $NC=9$.
Se cere o bucată, dar s-a calculat toată latura (sau invers): verifică la final dacă se cere $AN$, $NC$ sau $AC=AN+NC$.
La teorema bisectoarei, punctul $D$ nu este mijlocul laturii: $D$ este mai aproape de latura mai scurtă. Cu $AB=6$ și $AC=9$, $BD$ este bucata mai mică.
Tot la bisectoare, $\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}$ este greșit: teorema compară cele două bucăți între ele, $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.
Surse pentru partea istorică
- Thales din Milet (aproximativ 624–547 î.Hr.); nicio lucrare a lui nu s-a păstrat, atribuirile sunt nesigure; măsurarea piramidei relatată de Diogene Laertios, Pliniu și Plutarh — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Teorema este atribuită tradițional lui Thales, era cunoscută babilonienilor și egiptenilor, prima demonstrație cunoscută în Elementele lui Euclid; varianta lui Plutarh cu bățul — en.wikipedia.org
- Elementele lui Euclid, cartea a VI-a, propoziția 2: paralela la o latură taie celelalte laturi proporțional, și reciproca — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.