Teorie · C8 Geometrie · clasa a VII-a
Teorema lui Thales în clasa a VII-a: segmente proporționale, reciproca, împărțirea unui segment
Ce aduce clasa a VII-a, pornind de la proporțiile din clasa a VI-a: raportul a două segmente, segmente proporționale, teorema lui Thales și reciproca ei și împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Teorema pe care în română o numim „a lui Thales” nu are același nume peste tot. Franceza, ca româna, îi spune „théorème de Thalès”; în germană se numește „Strahlensatz” (teorema razelor), iar în engleză „intercept theorem”. În engleză, „teorema lui Thales” înseamnă cu totul altceva: că un unghi înscris într-un semicerc este drept.
Construcția din clasa a VII-a, împărțirea unui segment în părți proporționale, este foarte veche. Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.) o descrie în cartea a VI-a a „Elementelor”. Propoziția 9 taie dintr-un segment o parte cerută, iar propoziția 10 împarte un segment „la fel” cu un alt segment deja împărțit: cele două segmente se pun sub un unghi și se duc paralele — exact ca în exemplul de la nivelul mediu de mai jos.
La ce folosește
Pe harta unui cartier cu străzi paralele, un bulevard oblic le taie pe toate. Pe o stradă perpendiculară pe ele, două cvartale vecine au lățimile de $80$ m și $120$ m. Dacă bulevardul traversează primul cvartal pe $100$ m, pe al doilea îl traversează pe $\frac{100\cdot 120}{80}=150$ m: străzile paralele păstrează raportul.
Doi frați moștenesc un teren cu hotarele laterale paralele și îl împart în raportul $1:3$ cu un gard paralel cu ele. La drum, latura de $40$ m se împarte în $10$ m și $30$ m. Latura din spate, de $60$ m, este tăiată de aceleași trei paralele, deci tot în raportul $1:3$: $15$ m și $45$ m. Nu trebuie măsurată din nou.
De bază
Din clasa a VI-a știi să lucrezi cu rapoarte și proporții: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ înseamnă $a\cdot d=b\cdot c$. În clasa a VII-a le aplici pe segmente.
Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, măsurate cu aceeași unitate. Segmentele $AB$, $CD$ și $EF$, $GH$ sunt proporționale dacă $\frac{AB}{CD}=\frac{EF}{GH}$.
Exemplu: $AB=4$ cm, $CD=10$ cm, $EF=6$ cm și $GH=15$ cm. Cum $4\cdot 15=60=10\cdot 6$, rapoartele sunt egale, $\frac{4}{10}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$, deci segmentele sunt proporționale. Atenție la unități: raportul dintre $20$ mm și $4$ cm este $\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$, nu $\frac{20}{4}=5$.
Teorema lui Thales: o paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Dacă $M\in AB$, $N\in AC$ și $MN\parallel BC$, atunci $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, $\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$ și $AB=20$ cm. Atunci și $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{3}$: latura $AB$ are $2+3=5$ părți egale, de câte $\frac{20}{5}=4$ cm, deci $AM=8$ cm și $MB=12$ cm.
Mediu
Reciproca teoremei lui Thales: dacă $M\in AB$, $N\in AC$ și $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, atunci $MN\parallel BC$. Teorema îți dă lungimi când știi o paralelă; reciproca îți dă paralela când știi lungimi.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $AM=5$ cm, $MB=3$ cm, $AN=7{,}5$ cm și $NC=4{,}5$ cm. Cum $5\cdot 4{,}5=22{,}5=3\cdot 7{,}5$, avem $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, deci $MN\parallel BC$. Dacă însă $AN=7$ cm și $NC=5$ cm, atunci $5\cdot 5=25$, dar $3\cdot 7=21$: rapoartele diferă, iar $MN$ nu este paralelă cu $BC$.
Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date. Ca să împarți $AB$ în părți proporționale cu $2$, $3$ și $4$, duci din $A$ o semidreaptă ajutătoare și iei pe ea, cu compasul, $2+3+4=9$ segmente egale. Unești ultimul punct, $Z$, cu $B$. Paralelele la $ZB$ duse prin punctul al doilea ($X$) și prin al cincilea ($Y$) taie $AB$ în $M$ și $N$ exact în părțile cerute.
Exemplul 2: segmentul $AB=18$ cm se împarte în părți proporționale cu $2$, $3$ și $4$. O parte are $\frac{18}{9}=2$ cm, deci bucățile au $AM=4$ cm, $MN=6$ cm și $NB=8$ cm. Verificare: $4+6+8=18$ și $\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}$.
Avansat
Ideea 1 — o necunoscută în proporție. Când o lungime depinde de alta, o notezi cu $x$ și scrii proporția din teorema lui Thales. Obții o ecuație de gradul întâi, ca cele din clasa a VII-a.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, $AM=x$, $MB=x+2$, $AN=6$ cm și $NC=9$ cm. Din $\frac{x}{x+2}=\frac{6}{9}$ rezultă $9x=6(x+2)=6x+12$, deci $3x=12$ și $x=4$. Așadar $AM=4$ cm, $MB=6$ cm și $AB=10$ cm.
Ideea 2 — două paralele formează un paralelogram, iar laturile opuse ale lui sunt congruente. Așa afli lungimea unei paralele folosind doar teorema lui Thales.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$, $AB=12$ cm și $BC=15$ cm; $D\in AB$ cu $AD=4$ cm, paralela prin $D$ la $BC$ taie $AC$ în $E$, iar paralela prin $E$ la $AB$ taie $BC$ în $F$. Din $DE\parallel BC$: $\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Din $EF\parallel AB$: $\frac{CF}{FB}=\frac{CE}{EA}=2$, deci $BC$ are $3$ părți de câte $5$ cm, cu $FB=5$ cm și $FC=10$ cm. Patrulaterul $BDEF$ are laturile opuse paralele, deci este paralelogram, și $DE=BF=5$ cm.
Ideea 3 — teorema bisectoarei. Bisectoarea unghiului $A$ al triunghiului $ABC$ taie latura $BC$ în punctul $D$ cu $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$: latura opusă se împarte în raportul laturilor alăturate. De ce: paralela prin $C$ la $AD$ taie dreapta $AB$ în $E$. Unghiurile $ACE$ și $AEC$ sunt egale, fiecare cu jumătate din unghiul $A$ (alterne interne, respectiv corespondente, cu bisectoarea), deci triunghiul $ACE$ este isoscel și $AE=AC$. Teorema lui Thales în triunghiul $BCE$, cu $AD\parallel EC$, dă $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AE}=\frac{AB}{AC}$.
Exemplul 3: în triunghiul $ABC$, $AB=12$ cm, $AC=8$ cm și $BC=15$ cm, iar $AD$ este bisectoarea unghiului $A$. Atunci $\frac{DB}{DC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$, deci $BC$ are $3+2=5$ părți de câte $\frac{15}{5}=3$ cm: $DB=9$ cm și $DC=6$ cm.
Greșeli frecvente
Teorema lui Thales aplicată fără paralelă. Dacă nu știi că $MN\parallel BC$, nu poți scrie $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$: paralela trebuie să fie dată sau demonstrată.
Reciproca verificată cu rapoarte de forme diferite. Se compară $\frac{AM}{MB}$ cu $\frac{AN}{NC}$ (bucată la bucată) sau $\frac{AM}{AB}$ cu $\frac{AN}{AC}$ (bucată la latură) — nu $\frac{AM}{MB}$ cu $\frac{AN}{AC}$. Altfel „demonstrezi” că o paralelă nu este paralelă.
Raport făcut între lungimi în unități diferite: $20$ mm și $4$ cm au raportul $\frac{1}{2}$, nu $5$. Transformi întâi în aceeași unitate.
La împărțirea în părți proporționale cu $2$, $3$ și $4$, lungimea împărțită pe rând la fiecare număr: $\frac{18}{2}$, $\frac{18}{3}$ și $\frac{18}{4}$ nu au suma $18$. Se împarte la SUMA numerelor, $9$, apoi se înmulțește cu fiecare.
Latura paralelă băgată în proporția lui Thales: $\frac{AM}{MB}=\frac{MN}{BC}$ este greșit. Teorema vorbește doar despre bucățile de pe laturile tăiate; o relație cu $MN$ vine abia cu asemănarea, și acolo este $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$.
Surse pentru partea istorică
- Numele teoremei: Strahlensatz în germană, intercept theorem în engleză, théorème de Thalès în franceză; în engleză Thales’s theorem este teorema unghiului înscris în semicerc — en.wikipedia.org
- Elementele lui Euclid, cartea a VI-a, propoziția 9: tăierea unei părți cerute dintr-un segment dat — mathcs.clarku.edu
- Elementele lui Euclid, cartea a VI-a, propoziția 10: împărțirea unui segment la fel cu un segment deja împărțit, cu paralele — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.