Teorie · C9 Geometrie · clasa a VII-a
Asemănarea triunghiurilor: teorema fundamentală și criteriile de asemănare
Triunghiuri asemenea, raportul de asemănare, teorema fundamentală a asemănării, criteriile UU, LUL și LLL și raportul ariilor, de la regula de bază la problemele care cer o idee, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Asemănarea se sprijină pe ideea de raport, iar grecii au avut mult de lucru cu ea. Pitagoricienii descoperiseră că există lungimi al căror raport nu se poate scrie ca fracție (de exemplu latura și diagonala pătratului), ceea ce le strica demonstrațiile. Eudox din Cnidos (aproximativ 408–355 î.Hr.) a construit o teorie a proporțiilor care funcționează și pentru astfel de lungimi; ea a ajuns în cartea a V-a a „Elementelor” lui Euclid.
Pe această teorie este construită cartea a VI-a a „Elementelor”, dedicată figurilor asemenea. Acolo figurile asemenea sunt definite ca figuri cu unghiurile egale și laturile din jurul lor proporționale, iar propozițiile 4, 5 și 6 sunt, în esență, criteriile de asemănare folosite și azi. Propoziția 19 spune că ariile a două triunghiuri asemenea sunt în raportul pătratului laturilor.
Asemănarea a fost folosită și în unelte. Pantograful — un mecanism din bare articulate în formă de paralelogram, care copiază un desen mărit sau micșorat — a fost descris deja de Heron din Alexandria, dar varianta practică este atribuită lui Christoph Scheiner, în 1603.
La ce folosește
Orice hartă este o figură asemenea cu terenul. Pe o hartă la scara $1:50\,000$, o distanță de $3$ cm reprezintă $150\,000$ cm, adică $1{,}5$ km. Ariile însă se înmulțesc cu PĂTRATUL scării: pe un plan la scara $1:1\,000$, un teren desenat ca dreptunghi de $2$ cm pe $3$ cm are în realitate $20$ m pe $30$ m, deci $600$ m$^2$, deși pe hârtie are doar $6$ cm$^2$.
Când mărești o fotografie de $10\times 15$ cm la $20\times 30$ cm, laturile se dublează, dar hârtia și cerneala folosite cresc de $4$ ori: aria trece de la $150$ cm$^2$ la $600$ cm$^2$. De aceea o poză mărită de două ori costă mai mult decât dublul.
De bază
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile omoloage proporționale. Scriem $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, iar ordinea literelor spune ce corespunde: $A$ cu $D$, $B$ cu $E$, $C$ cu $F$. Numărul $k=\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}$ se numește raport de asemănare.
Exemplu: $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, $AB=4$ cm, $BC=6$ cm și $DE=6$ cm. Atunci $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}$, adică $\frac{6}{4}=\frac{EF}{6}$, deci $EF=9$ cm.
Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la o latură a unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat. Dacă $MN\parallel BC$, atunci $\triangle AMN\sim\triangle ABC$.
Exemplul 2: $MN\parallel BC$, $AM=3$ cm, $AB=9$ cm și $BC=12$ cm. Din $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{3}{9}$ rezultă $MN=\frac{12\cdot 3}{9}=4$ cm.
Mediu
Ca să demonstrezi că două triunghiuri sunt asemenea, folosești unul dintre criterii:
UU — două unghiuri respectiv congruente; LUL — un unghi congruent, cuprins între laturi proporționale; LLL — toate cele trei laturi proporționale.
Partea grea este corespondența: vârful unui unghi corespunde vârfului unghiului egal cu el, chiar dacă literele nu vin în aceeași ordine.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $AB=12$ cm și $AC=8$ cm; $D\in AB$, $E\in AC$, cu $AD=4$ cm și $\sphericalangle ADE\equiv\sphericalangle ACB$. Triunghiurile $ADE$ și $ACB$ au unghiul $A$ comun și încă un unghi egal, deci sunt asemenea (UU), cu $D$ corespunzând lui $C$ și $E$ lui $B$. Rezultă $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$, adică $\frac{4}{8}=\frac{AE}{12}$, deci $AE=6$ cm. Atenție: $DE$ NU este paralelă cu $BC$ aici.
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare, $k^2$.
Exemplul 2: triunghiurile $ABC$ și $MNP$ sunt asemenea, cu $AB=6$ cm, $MN=9$ cm și aria lui $ABC$ de $20$ cm$^2$. Raportul de asemănare este $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$, deci aria lui $MNP$ este $20\cdot\frac{9}{4}=45$ cm$^2$.
Exemplul 3: triunghiul $ABC$ are aria de $45$ cm$^2$, $MN\parallel BC$ și $AM=\frac{1}{3}AB$. Triunghiul $AMN$ are aria $\frac{45}{9}=5$ cm$^2$, deci trapezul $MNCB$ are $45-5=40$ cm$^2$.
Avansat
La problemele grele, nimeni nu îți arată triunghiurile asemenea. Ideea este să le cauți acolo unde se întâlnesc drepte paralele sau unde două unghiuri sunt egale.
Ideea 1 — diagonalele unui trapez formează două triunghiuri asemenea. Bazele paralele dau unghiuri alterne interne egale.
Exemplu: trapezul $ABCD$ are bazele $AB=12$ cm și $CD=4$ cm, diagonalele se taie în $O$, iar aria triunghiului $OCD$ este $5$ cm$^2$. Triunghiurile $OAB$ și $OCD$ sunt asemenea (UU), cu raportul $\frac{12}{4}=3$, deci aria lui $OAB$ este $5\cdot 9=45$ cm$^2$. Apoi $\frac{AO}{OC}=3$, iar triunghiurile $OAD$ și $OCD$ au aceeași înălțime din $D$, deci aria lui $OAD$ este $3\cdot 5=15$ cm$^2$; la fel, aria lui $OBC$ este $15$ cm$^2$. Aria trapezului este $5+45+15+15=80$ cm$^2$.
Ideea 2 — o necunoscută și o proporție. Când o figură este „prinsă” într-un triunghi, notezi latura ei cu $x$ și scrii asemănarea.
Exemplul 2: triunghiul $ABC$ are $BC=12$ cm și înălțimea $AD=6$ cm. Un pătrat $MNPQ$ are latura $MN$ pe $BC$, $P\in AC$ și $Q\in AB$. Fie $x$ latura pătratului. $QP\parallel BC$, deci $\triangle AQP\sim\triangle ABC$, iar raportul înălțimilor este raportul de asemănare: $\frac{x}{12}=\frac{6-x}{6}$. Rezultă $6x=72-12x$, deci $18x=72$ și $x=4$ cm.
Ideea 3 — un unghi comun și un unghi egal dau un produs. Dacă $D\in AC$ și $\sphericalangle ABD\equiv\sphericalangle ACB$, atunci $\triangle ABD\sim\triangle ACB$ și $AB^2=AD\cdot AC$. Cu $AB=6$ cm și $AC=9$ cm obții $AD=\frac{36}{9}=4$ cm și $DC=5$ cm.
Greșeli frecvente
Raportul de asemănare folosit invers: dacă triunghiul al doilea are laturile mai mari, și rezultatul trebuie să fie mai mare. Cu $AB=4$, $DE=6$ și $BC=6$, $EF$ este $9$, nu $4$.
Adunarea în loc de înmulțire: la asemănare laturile se ÎNMULȚESC cu același număr. Triunghiul $4$, $6$, $8$ este asemenea cu $8$, $12$, $16$, dar nu cu $6$, $8$, $10$ (unde s-a adunat $2$).
Raportul ariilor luat egal cu raportul laturilor: ariile se raportează ca $k^2$. Cu $k=\frac{3}{2}$ și aria $20$ cm$^2$, noua arie este $45$ cm$^2$, nu $30$ cm$^2$. Puterea a treia, $k^3$, este pentru volume, nu pentru arii.
Corespondența greșită a vârfurilor: dacă $\sphericalangle ADE\equiv\sphericalangle ACB$, atunci $D$ corespunde lui $C$, nu lui $B$. Scrie întâi perechile de vârfuri, apoi rapoartele.
Linie mijlocie presupusă fără motiv: $MN\parallel BC$ este linie mijlocie doar când $M$ este mijlocul lui $AB$. Dacă $AM=\frac{1}{3}AB$, atunci $MN=\frac{1}{3}BC$.
Raportul ariilor aplicat unui trapez: trapezul $MNCB$ nu este asemenea cu nimic. Calculezi aria triunghiului mic asemenea și o scazi din aria triunghiului mare.
Surse pentru partea istorică
- Eudox din Cnidos (aproximativ 408–355 î.Hr.) a creat teoria proporțiilor din cartea a V-a a Elementelor, ca răspuns la descoperirea mărimilor incomensurabile — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Cartea a VI-a a Elementelor tratează figurile asemenea (definiția, propozițiile 4, 5, 6) și se sprijină pe proporțiile din cartea a V-a — mathcs.clarku.edu
- Elementele, cartea a VI-a, propoziția 19: triunghiurile asemenea sunt în raportul pătratului laturilor omoloage — mathcs.clarku.edu
- Pantograful, descris de Heron din Alexandria; varianta practică atribuită lui Christoph Scheiner, în 1603 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.