Teorie · C9 Geometrie · clasa a VII-a
Asemănarea triunghiurilor în clasa a VII-a: criterii, teorema fundamentală, distanțe măsurate indirect
Ce aduce clasa a VII-a după congruența din clasa a VI-a: triunghiuri asemenea și raportul de asemănare, teorema fundamentală, criteriile UU, LUL și LLL, raportul perimetrelor și al ariilor și măsurarea indirectă a distanțelor, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Congruența din clasa a VI-a și asemănarea din clasa a VII-a au primit semne speciale abia în epoca modernă. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) a introdus semnul $\sim$ pentru „asemenea” într-un manuscris din 1679, pe care nu l-a publicat. Tot el a propus acolo un semn pentru congruență; forma folosită azi, $\cong$, apare în 1824, la Carl Brandan Mollweide, într-o carte despre Euclid în limba germană. Mult mai devreme, Heron din Alexandria scria un mic triunghi ca prescurtare pentru cuvântul „triunghi”.
Programa îți cere să aproximezi distanțe folosind asemănarea, iar instrumentele pentru asta sunt vechi. „Toiagul lui Iacob”, un băț lung pe care alunecă o bară transversală, a fost descris în secolul al XIV-lea de matematicianul Levi ben Gerson din Provence. Astronomii și navigatorii l-au folosit secole la rând pentru unghiuri pe cer și pentru distanța până la un obiect a cărui înălțime o cunoșteau.
La ce folosește
Cu o oglindă pusă pe jos afli înălțimea unei clădiri. Te depărtezi de oglindă până vezi în ea vârful clădirii. Dacă ochii tăi sunt la $1{,}5$ m de sol, stai la $2$ m de oglindă, iar oglinda este la $12$ m de clădire, cele două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea (lumina se reflectă sub unghiuri egale), iar clădirea are $\frac{1{,}5\cdot 12}{2}=9$ m.
Machetele de mașini au scara scrisă pe cutie. La scara $1:18$, o mașină lungă de $4{,}5$ m, adică $450$ cm, devine o machetă de $\frac{450}{18}=25$ cm. Toate dimensiunile se împart la același număr, deci forma rămâne aceeași.
Un videoproiector face o imagine asemenea cu cadrul lui, cu atât mai mare cu cât este mai departe de perete. Dacă de la $2$ m imaginea are $80$ cm lățime, de la $3$ m are $\frac{80\cdot 3}{2}=120$ cm.
De bază
Din clasa a VI-a știi când două triunghiuri sunt congruente: au aceeași formă ȘI aceeași mărime, iar criteriile LUL, ULU și LLL îți spun ce e suficient să verifici. Asemănarea păstrează doar forma: unghiurile rămân aceleași, iar toate laturile se înmulțesc cu același număr $k$, raportul de asemănare. Două triunghiuri congruente sunt asemenea, cu $k=1$.
$\triangle ABC\sim\triangle DEF$ înseamnă $\sphericalangle A\equiv\sphericalangle D$, $\sphericalangle B\equiv\sphericalangle E$, $\sphericalangle C\equiv\sphericalangle F$ și $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=k$.
Exemplu: un triunghi are laturile de $3$ cm, $5$ cm și $6$ cm, altul de $9$ cm, $15$ cm și $18$ cm. Luate în ordine crescătoare, rapoartele sunt $\frac{9}{3}=\frac{15}{5}=\frac{18}{6}=3$, deci triunghiurile sunt asemenea (criteriul LLL), cu $k=3$. Perimetrele sunt $14$ cm și $42$ cm — și ele în raportul $3$.
Criteriul UU: două triunghiuri cu două unghiuri respectiv congruente sunt asemenea; al treilea unghi rezultă din suma de $180^\circ$.
Exemplul 2: un triunghi are două unghiuri de $40^\circ$ și $75^\circ$, altul de $75^\circ$ și $65^\circ$. Al treilea unghi al primului are $180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ$, deci ambele au unghiurile de $40^\circ$, $65^\circ$ și $75^\circ$ și sunt asemenea.
Mediu
Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la o latură a unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat. Ea vine din teorema lui Thales, învățată tot în clasa a VII-a.
Exemplu: în triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$, $MN\parallel BC$, $AM=4$ cm, $MB=6$ cm, iar perimetrul triunghiului $ABC$ este $35$ cm. Raportul de asemănare dintre $AMN$ și $ABC$ este $\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ — cu latura ÎNTREAGĂ $AB$, nu cu $MB$. Perimetrul triunghiului $AMN$ este $\frac{2}{5}\cdot 35=14$ cm.
Criteriul LUL: un unghi congruent, cuprins între laturi proporționale.
Exemplul 2: triunghiul $ABC$ are $AB=4$ cm, $AC=6$ cm, $m(\sphericalangle A)=50^\circ$ și $BC=5$ cm; triunghiul $DEF$ are $DE=6$ cm, $DF=9$ cm și $m(\sphericalangle D)=50^\circ$. Din $\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ și unghiul de $50^\circ$ cuprins între aceste laturi, triunghiurile sunt asemenea, deci $EF=\frac{3}{2}\cdot 5=7{,}5$ cm.
Ariile a două triunghiuri asemenea sunt în raportul $k^2$.
Exemplul 3: un triunghi are aria de $7$ cm$^2$. Triunghiul asemenea cu el, cu laturile de două ori mai mari, are aria $2^2\cdot 7=28$ cm$^2$, nu $14$ cm$^2$ — pentru că se dublează și baza, și înălțimea.
Avansat
Ideea 1 — măsori o distanță la care nu poți ajunge, cu două triunghiuri asemenea, dintre care unul este pe uscat.
Exemplu: vrei lățimea $AB$ a unui râu, unde $A$ este un copac pe malul celălalt și $B$ un punct pe malul tău, cu $AB$ perpendiculară pe mal. Mergi de-a lungul malului $BC=24$ m și înfigi un țăruș în $C$, apoi mai mergi $CD=8$ m. Din $D$ pleci perpendicular pe mal, departe de râu, până în punctul $E$ din care țărușul $C$ și copacul $A$ se văd pe aceeași linie: $DE=5$ m. Triunghiurile $ABC$ și $EDC$ au unghiurile drepte în $B$ și $D$ și unghiurile opuse la vârf în $C$, deci sunt asemenea (UU). Rezultă $\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}=\frac{24}{8}=3$, deci $AB=3\cdot 5=15$ m.
Ideea 2 — într-un paralelogram, o dreaptă dusă dintr-un vârf și o diagonală formează două triunghiuri asemenea așezate „față în față”.
Exemplul 2: paralelogramul $ABCD$ are $AB=12$ cm și diagonala $BD=15$ cm; $E$ este pe latura $CD$, cu $DE=8$ cm, iar $AE$ taie $BD$ în $F$. Din $DE\parallel AB$, unghiurile $FDE$ și $FBA$ sunt alterne interne, iar $DFE$ și $BFA$ sunt opuse la vârf, deci $\triangle FDE\sim\triangle FBA$, cu raportul $\frac{DE}{BA}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Atunci $\frac{DF}{FB}=\frac{2}{3}$: diagonala are $5$ părți de câte $3$ cm, deci $DF=6$ cm și $FB=9$ cm.
Greșeli frecvente
Asemănarea confundată cu congruența: triunghiurile asemenea au unghiurile congruente, dar laturile nu sunt egale, ci proporționale. Laturile sunt egale doar când $k=1$.
„Toate triunghiurile isoscele sunt asemenea” — fals. Un triunghi isoscel cu unghiul din vârf de $40^\circ$ nu este asemenea cu unul cu unghiul din vârf de $100^\circ$. Nici triunghiurile dreptunghice nu sunt toate asemenea; triunghiurile echilaterale însă sunt.
LUL cu un unghi care nu este cuprins între laturile proporționale. Unghiul congruent trebuie să fie chiar cel dintre cele două laturi, altfel criteriul nu se aplică.
La LLL, rapoarte între laturi luate la întâmplare. Ordonează întâi laturile crescător în ambele triunghiuri, apoi împarte cea mai mică la cea mai mică, mijlocia la mijlocie și cea mai mare la cea mai mare.
În teorema fundamentală, raportul de asemănare scris cu bucata de latură: $\frac{AM}{MB}$ nu este raportul de asemănare. Cu $AM=4$ cm și $MB=6$ cm, $k=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$, nu $\frac{2}{3}$.
Perimetrele puse în raportul $k^2$. Perimetrele sunt în raportul $k$, ca laturile; doar ARIILE sunt în raportul $k^2$.
Surse pentru partea istorică
- Leibniz (1646–1716) a introdus semnul ∼ pentru asemănare și un semn pentru congruență într-un manuscris nepublicat din 1679; forma modernă ≅ la Mollweide, în 1824; Heron folosea un triunghi ca semn pentru triunghi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Toiagul lui Iacob, descris în secolul al XIV-lea de Levi ben Gerson din Provence, folosit în astronomie și navigație, inclusiv pentru distanța până la un obiect de înălțime cunoscută — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.