Teorie · D1 Geometrie · clasa a VIII-a
Puncte, drepte și plane în spațiu: poziții relative și paralelism
Cum se determină un plan, pozițiile a două drepte, ale unei drepte față de un plan și ale a două plane, dreptele necoplanare și unghiul lor, paralelismul în spațiu, cu exemple rezolvate pe cub și piramidă.
De unde vine
Geometria în spațiu, așa cum o înveți azi, apare pentru prima dată organizată în „Elementele” lui Euclid, scrise în jurul anului 300 î.Hr. Lucrarea are $13$ cărți, iar ultimele trei se ocupă de corpuri. Cartea a XI-a începe cu definițiile: corpul este ceea ce are lungime, lățime și adâncime, iar planele paralele sunt planele care nu se întâlnesc.
Tot în Cartea a XI-a se află o proprietate pe care o folosești des: două drepte paralele cu o a treia dreaptă sunt paralele între ele, chiar dacă nu se află toate în același plan. În plan, faptul pare evident; în spațiu, Euclid a simțit nevoia să-l demonstreze.
Peste mai bine de două mii de ani, în 1899, matematicianul german David Hilbert a publicat „Fundamentele geometriei” („Grundlagen der Geometrie”), unde punctul, dreapta și planul nu mai sunt definite deloc: sunt noțiuni de bază, descrise doar prin axiome. Două dintre ele sunt exact regulile de mai jos: prin trei puncte necoliniare trece un singur plan, iar dacă două puncte ale unei drepte sunt într-un plan, toată dreapta este în acel plan.
La ce folosește
Un scaun cu trei picioare nu se clatină niciodată, oricât de strâmb ar fi podeaua: cele trei capete ale picioarelor sunt trei puncte necoliniare și determină întotdeauna un plan. O masă cu patru picioare se poate clătina, pentru că al patrulea punct nu este obligat să fie în planul primelor trei. De aceea aparatele foto și teodolitele topografilor stau pe trepiede.
Un pod rutier care trece peste o autostradă, fără să fie paralel cu ea, este un exemplu de drepte necoplanare: cele două drumuri nu se întâlnesc, deși nici nu sunt paralele. Dacă podul trece la $5$ m deasupra autostrăzii, distanța dintre ele nu scade nicăieri sub $5$ m — tocmai de aceea mașinile pot circula pe ambele în același timp.
Etajele unei clădiri sunt plane paralele, iar pereții sunt plane care le taie. Proprietatea „două plane paralele tăiate de un al treilea plan dau drepte de intersecție paralele” se vede la fiecare etaj: linia unde un perete întâlnește podeaua este paralelă cu linia unde întâlnește tavanul.
De bază
Un plan este determinat de: trei puncte necoliniare; o dreaptă și un punct exterior ei; două drepte concurente; două drepte paralele.
Două drepte din spațiu pot fi: concurente (au un singur punct comun), paralele (sunt în același plan și nu au puncte comune) sau necoplanare (nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă — nu se întâlnesc și nici nu sunt paralele).
O dreaptă față de un plan poate fi: inclusă în plan, secantă (are un singur punct comun cu planul) sau paralelă cu planul (nu are niciun punct comun cu el). Două plane pot fi: confundate, secante (se taie după o dreaptă) sau paralele (nu au puncte comune).
Exemplu: în cubul $ABCDA'B'C'D'$, dreptele $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$; dreptele $AB$ și $C'D'$ sunt paralele, pentru că $C'D'\parallel CD\parallel AB$; dreptele $AB$ și $CC'$ sunt necoplanare: $CC'$ atinge planul bazei doar în $C$, care nu e pe $AB$, și nu e nici paralelă cu $AB$.
Unghiul a două drepte necoplanare se află mutând una dintre ele: înlocuiești o dreaptă cu o paralelă la ea care taie cealaltă dreaptă. Unghiul a două drepte are cel mult $90^\circ$.
Exemplul 2: în cubul $ABCDA'B'C'D'$, unghiul dreptelor $AA'$ și $BC'$. Cum $ABC'D'$ este dreptunghi, $BC'\parallel AD'$, deci unghiul cerut este $\sphericalangle A'AD'$. În pătratul $ADD'A'$, diagonala $AD'$ face cu latura $AA'$ un unghi de $45^\circ$.
Mediu
Două criterii apar în aproape orice problemă cu paralelism în spațiu.
Dreaptă paralelă cu un plan: dacă o dreaptă care nu e în plan este paralelă cu o dreaptă din plan, atunci este paralelă cu planul.
Plan paralel cu un plan: dacă un plan conține două drepte CONCURENTE, fiecare paralelă cu celălalt plan, atunci planele sunt paralele. O singură dreaptă paralelă nu ajunge.
Cea mai folosită unealtă de calcul este linia mijlocie: într-un triunghi, segmentul care unește mijloacele a două laturi este paralel cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei. În spațiu, triunghiul acesta este de obicei „ascuns” în interiorul corpului.
Exemplu: piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=6$ cm, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $VA$ și $VC$. În triunghiul $VAC$, $MN$ este linie mijlocie, deci $MN\parallel AC$ și $MN=\frac{AC}{2}$. Diagonala pătratului este $AC=6\sqrt{2}$ cm, deci $MN=3\sqrt{2}$ cm. În plus, $MN\parallel AC$ și $AC\subset(ABC)$, deci $MN\parallel(ABC)$.
Exemplul 2: în cubul $ABCDA'B'C'D'$, unghiul dreptelor $AB'$ și $BC'$. Mutăm $BC'$ în $AD'$ (tot din dreptunghiul $ABC'D'$). Unghiul cerut este $\sphericalangle B'AD'$. Segmentele $AB'$, $B'D'$ și $AD'$ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci sunt egale: triunghiul $AB'D'$ este echilateral și unghiul are $60^\circ$.
Cum recunoști problema: dacă se cere o lungime între mijloace, caută linia mijlocie; dacă se cere unghiul a două drepte care nu se întâlnesc, caută un dreptunghi sau un paralelogram care îți dă paralela potrivită.
Avansat
La nivel avansat se cer demonstrații de paralelism, iar ideea este să construiești un paralelogram.
Ideea 1 — paralelogramul mută o dreaptă. Dacă $XY\parallel ZT$ și $XY=ZT$, atunci $XYTZ$ este paralelogram și $XZ\parallel YT$. În cub și în prismă, orice două muchii paralele dau astfel un paralelogram.
Ideea 2 — pentru plane paralele ai nevoie de două drepte concurente. Alege-le în primul plan, cu un punct comun, și arată pentru fiecare că e paralelă cu o dreaptă din al doilea plan.
Exemplu: în cubul $ABCDA'B'C'D'$ arătăm că planele $(A'BD)$ și $(CB'D')$ sunt paralele. Muchiile $BB'$ și $DD'$ sunt paralele și egale, deci $BDD'B'$ este paralelogram și $BD\parallel B'D'$; cum $B'D'\subset(CB'D')$, rezultă $BD\parallel(CB'D')$. La fel, $A'D'$ și $BC$ sunt paralele și egale, deci $A'BCD'$ este paralelogram și $A'B\parallel D'C$, adică $A'B\parallel(CB'D')$. Dreptele $A'B$ și $BD$ sunt concurente în $B$ și sunt amândouă paralele cu planul $(CB'D')$, deci $(A'BD)\parallel(CB'D')$.
Ideea 3 — numără cu grijă. O dreaptă este necoplanară cu o muchie dacă nu o taie și nici nu este paralelă cu ea.
Exemplul 2: câte muchii ale cubului sunt necoplanare cu diagonala $AC'$? Din $A$ pleacă $3$ muchii și din $C'$ alte $3$; ele taie diagonala. Nicio muchie nu e paralelă cu $AC'$ (fiecare muchie e paralelă cu $AB$, $AD$ sau $AA'$, care taie $AC'$ în $A$). Rămân $12-6=6$ muchii necoplanare cu $AC'$.
Greșeli frecvente
Confuzia „nu se intersectează, deci sunt paralele”. În spațiu, două drepte fără puncte comune pot fi și necoplanare: $AB$ și $CC'$ în cub nu se ating, dar nici nu sunt paralele.
Credința că două drepte din plane paralele sunt paralele. $AA'$ din fața $(ADD')$ și $BC'$ din fața paralelă $(BCC')$ fac un unghi de $45^\circ$.
Luarea unghiului obtuz. Unghiul a două drepte este cel mai mic dintre unghiurile pe care le formează, deci are cel mult $90^\circ$: dacă obții $135^\circ$, răspunsul este $45^\circ$.
Mutarea dreptei pe paralela greșită: $BC'$ este paralelă cu diagonala $AD'$, nu cu muchia $AD$. Verifică paralelismul cu un dreptunghi sau paralelogram, nu „din ochi”.
O singură dreaptă paralelă nu face planele paralele. Planul $(A'BC)$ conține $BC\parallel AD$, dar taie fața $(ADD')$ după $A'D'$. Trebuie două drepte concurente, ambele paralele cu celălalt plan.
Linia mijlocie este jumătate din latura PARALELĂ cu ea: în triunghiul $VAC$, $MN$ este jumătate din diagonala $AC$, nu din latura bazei $AB$.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, în jurul anului 300 î.Hr., 13 cărți; cărțile XI–XIII tratează geometria în spațiu — en.wikipedia.org
- Cartea a XI-a: definiția corpului și a planelor paralele (planele care nu se întâlnesc), propoziția 9 despre două drepte paralele cu o a treia — mathcs.clarku.edu
- Hilbert, Grundlagen der Geometrie (1899): punct, dreaptă, plan ca noțiuni nedefinite; axiomele de incidență pentru plan — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.