Teorie · D1 Geometrie · clasa a VIII-a
Puncte, drepte și plane în clasa a VIII-a: de la plan la spațiu, paralelism, secțiuni paralele cu baza
Ce aduce clasa a VIII-a față de geometria plană: cum se determină un plan, pozițiile a două drepte și ale unei drepte față de un plan, dreptele necoplanare și unghiul lor, planele paralele și secțiunile paralele cu baza, cu exerciții în stilul Evaluării Naționale.
De unde vine
Un corp din spațiu trebuie arătat pe o foaie plană, iar problema aceasta i-a preocupat mai întâi pe pictori. Arhitectul florentin Filippo Brunelleschi a făcut între 1415 și 1420 o serie de experimente, desenând clădiri din Florența în perspectivă corectă. În jurul anului 1420 și-a arătat descoperirea cu un tablou al baptisteriului San Giovanni, la care privitorii se uitau printr-o gaură făcută în spatele panoului. Panoul s-a pierdut, așa că nu știm exact cum își construise desenul.
Leon Battista Alberti (1404–1472) a scris în 1435 „De pictura”, primul tratat general despre legile perspectivei, și l-a dedicat lui Brunelleschi. În perspectivă, muchiile paralele care se depărtează de privitor par să se întâlnească într-un punct, ca șinele de cale ferată la orizont.
Desenele din manualul tău folosesc altă convenție: muchiile paralele ale corpului rămân paralele și pe hârtie, iar muchiile ascunse se desenează punctat. De aceea poți citi pe desen care drepte sunt paralele — dar nu și mărimea unghiurilor, care pe hârtie apar deformate.
La ce folosește
O ușă se rotește în jurul balamalelor, care stau pe o dreaptă verticală. Marginea ușii din partea clanței este paralelă cu dreapta balamalelor, deci este paralelă cu planul peretelui în orice poziție ar fi ușa: rămâne la aceeași distanță de perete pe toată înălțimea ei.
Pe o fotografie, marginile unui drum drept par să se apropie spre orizont, deși pe teren sunt paralele. Un desen tehnic sau o figură de geometrie în spațiu păstrează paralelismul: două muchii paralele ale corpului sunt desenate tot paralele, iar tu poți să le recunoști direct pe figură.
Rafturile unei biblioteci sunt plane paralele. Dacă tai biblioteca cu un plan paralel cu rafturile, obții o secțiune identică cu un raft — la fel cum o secțiune paralelă cu baza unei prisme are forma bazei.
De bază
Din clasa a VI-a știi că două drepte din plan sunt fie concurente, fie paralele. În spațiu apare a treia posibilitate: dreptele necoplanare, care nu se întâlnesc și nici nu sunt paralele, pentru că nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă.
Un plan este determinat de trei puncte necoliniare, de o dreaptă și un punct exterior ei, de două drepte concurente sau de două drepte paralele. O dreaptă poate fi inclusă într-un plan, secantă (îl taie într-un punct) sau paralelă cu el; două plane pot fi secante (se taie după o dreaptă) sau paralele.
Criteriul dreptei paralele cu un plan: dacă o dreaptă $d$ nu este inclusă în planul $\alpha$ și este paralelă cu o dreaptă din $\alpha$, atunci $d\parallel\alpha$. Criteriul planelor paralele: dacă planul $\beta$ conține două drepte concurente, fiecare paralelă cu planul $\alpha$ (de obicei, fiecare paralelă cu o dreaptă din $\alpha$), atunci $\beta\parallel\alpha$. Dreptele trebuie să fie concurente: o singură dreaptă paralelă cu $\alpha$, sau două drepte paralele între ele, nu ajung, pentru că prin ele trec și plane care îl taie pe $\alpha$.
Convențiile de desen: muchiile vizibile ale unui corp sunt linii continue, iar muchiile ascunse (din spatele lui) sunt linii punctate. O față pătrată văzută în perspectivă, cum este baza unui cub sau a unei piramide patrulatere regulate, apare pe foaie ca un paralelogram. Desenul păstrează paralelismul și mijloacele segmentelor: muchii paralele rămân paralele, iar mijlocul unei muchii este desenat la mijlocul ei. Nu păstrează unghiurile drepte și nici lungimile: un unghi drept poate apărea ascuțit sau obtuz, iar muchii egale pot avea pe desen lungimi diferite.
Exemplu: în paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ împărțim celelalte $11$ muchii după poziția lor față de $AB$. Concurente cu $AB$ sunt $4$: $AD$, $AA'$, $BC$, $BB'$. Paralele cu $AB$ sunt $3$: $DC$, $A'B'$, $D'C'$. Restul de $11-4-3=4$ muchii — $CC'$, $DD'$, $A'D'$, $B'C'$ — sunt necoplanare cu $AB$.
Exemplul 2: patru puncte care nu sunt în același plan determină exact $4$ plane: fiecare plan este dat de trei dintre ele, iar cele patru puncte sunt vârfurile unei piramide triunghiulare, care are $4$ fețe.
Exemplul 3: în cubul $ABCDA'B'C'D'$, planele $(A'BD)$ și $(CB'D')$ sunt paralele. $A'BCD'$ este dreptunghi, deci $A'B\parallel D'C$; $BDD'B'$ este dreptunghi, deci $BD\parallel B'D'$. Dreptele $A'B$ și $BD$ sunt concurente în $B$ și fiecare este paralelă cu o dreaptă din planul $(CB'D')$, deci, după criteriu, $(A'BD)\parallel(CB'D')$.
Mediu
Unghiul a două drepte necoplanare se află înlocuind una dintre ele cu o paralelă care o taie pe cealaltă. Planele paralele au o consecință folosită des: un plan paralel cu baza unei piramide o taie după un poligon asemenea cu baza — aceasta este secțiunea paralelă cu baza.
Exemplu: prisma triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$ are toate muchiile de $6$ cm. Unghiul dreptelor $AB$ și $B'C'$: cum $B'C'\parallel BC$, unghiul cerut este $\sphericalangle ABC$, unghi al triunghiului echilateral $ABC$, deci are $60^\circ$.
Exemplul 2: în cubul $ABCDA'B'C'D'$, unghiul dreptelor $AC$ și $B'D'$. Cum $BDD'B'$ este dreptunghi, $B'D'\parallel BD$; diagonalele pătratului $ABCD$ sunt perpendiculare, deci unghiul are $90^\circ$ — deși $AC$ și $B'D'$ nu se ating.
Exemplul 3: tetraedrul regulat $VABC$ are muchia de $12$ cm. Un plan paralel cu $(ABC)$ taie muchiile $VA$, $VB$, $VC$ în $M$, $N$, $P$, cu $VM=4$ cm. Din teorema lui Thales (clasa a VII-a), în fiecare față $\frac{VM}{VA}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$, iar $MN\parallel AB$, deci $MN=\frac{12}{3}=4$ cm, la fel $NP$ și $PM$. Secțiunea este un triunghi echilateral cu latura de $4$ cm și perimetrul de $12$ cm.
Avansat
La Subiectul al III-lea se cere de obicei întâi o demonstrație de paralelism, apoi un calcul pe o secțiune. Ideea care le leagă: o dreaptă paralelă cu o latură a bazei „trage” după ea planul secțiunii.
Exemplu: piramida patrulateră regulată $VABCD$ are toate muchiile de $8$ cm, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $VB$ și $VC$.
a) Arătăm că $MN\parallel(VAD)$. În triunghiul $VBC$, $MN$ este linie mijlocie, deci $MN\parallel BC$. Cum $ABCD$ este pătrat, $BC\parallel AD$, deci $MN\parallel AD$. Dreapta $AD$ este în planul $(VAD)$, iar $MN$ nu este, deci $MN\parallel(VAD)$.
b) Aflăm perimetrul secțiunii făcute de planul $(AMN)$. Cum $MN\parallel AD$, dreptele $MN$ și $AD$ determină un plan, deci și $D$ este în planul $(AMN)$: secțiunea este trapezul $AMND$. Avem $MN=\frac{BC}{2}=4$ cm și $AD=8$ cm. Fața $VAB$ este triunghi echilateral cu latura de $8$ cm, iar $AM$ este mediană, deci și înălțime: $AM=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ cm; la fel, în fața $VCD$, $DN=4\sqrt{3}$ cm. Perimetrul este $4+8+2\cdot 4\sqrt{3}=12+8\sqrt{3}$ cm.
Ce trebuie reținut: pentru a arăta că un punct este în planul secțiunii, caută două drepte paralele sau concurente care îl conțin — nu te baza pe desen.
Greșeli frecvente
„Trei puncte determină un plan” — doar dacă sunt necoliniare. Prin trei puncte de pe aceeași dreaptă trec o infinitate de plane.
Credința că o dreaptă paralelă cu un plan este paralelă cu toate dreptele lui. În cub, $A'B'\parallel(ABC)$, dar $A'B'$ și $BC$ sunt necoplanare: nu se întâlnesc și nu sunt paralele.
Citirea unghiului de pe desen. În figura unui cub, unghiul $DAB$ nu arată ca un unghi drept, iar muchiile punctate nu „lipsesc”: sunt doar ascunse. Unghiurile se află prin raționament, nu cu raportorul pe foaie.
Raportul greșit la secțiunea paralelă cu baza. În tetraedrul cu muchia de $12$ cm, cu $VM=4$ cm, raportul este $\frac{VM}{VA}=\frac{1}{3}$, nu $\frac{VM}{MA}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ — altfel ai obține latura secțiunii $6$ cm și perimetrul $18$ cm, în loc de $4$ cm și $12$ cm.
Uitarea celui de-al patrulea vârf al secțiunii. Planul $(AMN)$ din piramidă trece și prin $D$, pentru că $MN\parallel AD$; secțiunea este un trapez, nu triunghiul $AMN$.
Surse pentru partea istorică
- Brunelleschi a făcut experimente de perspectivă între 1415 și 1420; în jurul anului 1420 a arătat tabloul baptisteriului San Giovanni, privit printr-o gaură din spatele panoului, panou pierdut; Alberti, De pictura, în jurul anului 1435 — en.wikipedia.org
- Leon Battista Alberti (1404–1472) a scris în 1435 De pictura, primul tratat general despre legile perspectivei, dedicat lui Brunelleschi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.