Teorie · D2 Geometrie · clasa a VIII-a
Perpendicularitate în spațiu, proiecții ortogonale și teorema celor trei perpendiculare
Când o dreaptă este perpendiculară pe un plan, cum se află proiecția unui punct și a unui segment pe un plan și cum se folosește teorema celor trei perpendiculare pentru distanțe, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Definiția dreptei perpendiculare pe un plan se află deja în Cartea a XI-a a „Elementelor” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.): o dreaptă este perpendiculară pe un plan când face unghi drept cu toate dreptele din plan care trec prin piciorul ei.
Tot acolo, Euclid a demonstrat criteriul pe care îl folosești și tu: dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente, în punctul lor comun, atunci este perpendiculară pe planul lor. Datorită lui nu trebuie să verifici „toate” dreptele din plan — ajung două.
Proiecția ortogonală a devenit o metodă de lucru abia mult mai târziu, prin francezul Gaspard Monge (1746–1818). Tânăr fiind, a primit sarcina de a proiecta o fortificație pe care inamicul să nu o poată vedea și nici bate cu tunurile, și a rezolvat-o cu o metodă grafică proprie: a reprezentat corpurile prin proiecțiile lor pe două plane perpendiculare unul pe altul. Metoda, numită „geometrie descriptivă”, a apărut ca lucrare în 1799 și stă la baza desenului tehnic de azi.
La ce folosește
O scară lungă de $5$ m este sprijinită de un perete, cu piciorul la $3$ m de perete. Proiecția ei pe podea este segmentul de $3$ m, iar peretele fiind perpendicular pe podea, scara atinge peretele la înălțimea $\sqrt{5^2-3^2}=4$ m. Orice problemă de „cât de sus ajunge” este o proiecție pe un plan și un triunghi dreptunghic.
Planurile de arhitectură și desenele tehnice sunt proiecții ortogonale: planul unei case este proiecția ei pe un plan orizontal. O rampă lungă de $13$ m care urcă $5$ m apare pe plan ca un segment de doar $\sqrt{13^2-5^2}=12$ m. Cine citește planul trebuie să știe că lungimile oblice sunt micșorate de proiecție.
Un zidar verifică dacă un stâlp este vertical punând nivela pe el din două direcții diferite, de exemplu dinspre față și dinspre lateral. Este exact criteriul lui Euclid: stâlpul perpendicular pe două drepte concurente din planul podelei este perpendicular pe toată podeaua.
De bază
O dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $\alpha$ dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din $\alpha$. În practică se folosește criteriul: dacă $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente din $\alpha$, atunci $d\perp\alpha$.
Consecința utilă: dacă $d\perp\alpha$, atunci $d$ este perpendiculară pe ORICE dreaptă din $\alpha$, chiar și pe una care nu trece prin piciorul ei.
Proiecția unui punct $P$ pe planul $\alpha$ este piciorul perpendicularei din $P$ pe $\alpha$. Proiecția unui segment se obține proiectând capetele lui; ea nu este niciodată mai lungă decât segmentul.
Exemplu: cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia de $4$ cm. Cum $A'A\perp(ABC)$, proiecția lui $A'$ pe bază este $A$, iar $C$ este deja în bază. Deci proiecția segmentului $A'C$ pe planul $(ABC)$ este diagonala $AC=4\sqrt{2}$ cm, mai scurtă decât $A'C=4\sqrt{3}$ cm.
Exemplul 2: în paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, $AA'\perp AB$ și $AA'\perp AD$, deci $AA'\perp(ABC)$. Atunci $AA'$ este perpendiculară și pe diagonala $BD$ a bazei, deși nu o atinge.
Mediu
Teorema celor trei perpendiculare: dacă $PA\perp\alpha$, iar din $A$ se duce $AD$ perpendiculară pe o dreaptă $d$ din $\alpha$ ($D\in d$), atunci $PD\perp d$.
Pe scurt: perpendiculara pe plan, plus perpendiculara din piciorul ei pe dreaptă, dau perpendiculara din $P$ pe dreaptă. Teorema transformă o distanță „în aer”, de la un punct la o dreaptă, într-o ipotenuză: $d(P,d)=PD=\sqrt{PA^2+AD^2}$.
Exemplu: piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea $VO=4$ cm; $M$ este mijlocul lui $BC$. $VO\perp(ABC)$ și $OM\perp BC$, deci din teorema celor trei perpendiculare $VM\perp BC$ și distanța de la $V$ la $BC$ este $VM$. Cum $OM=\frac{AB}{2}=3$ cm, în triunghiul dreptunghic $VOM$: $VM=\sqrt{16+9}=5$ cm. ($VM$ este apotema piramidei.)
Exemplul 2: cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia de $6$ cm, iar $O$ este centrul bazei. $DD'\perp(ABC)$ și $DO\perp AC$ (diagonalele pătratului sunt perpendiculare), deci $D'O\perp AC$. Cu $DO=3\sqrt{2}$ cm, $D'O=\sqrt{36+18}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$ cm este distanța de la $D'$ la $AC$.
Cum recunoști problema: se cere distanța de la un punct „de sus” la o dreaptă „de jos”, iar punctul are o perpendiculară pe plan (o muchie verticală, o înălțime). Duci perpendiculara din piciorul ei pe dreaptă și aplici Pitagora.
Avansat
Problemele grele nu îți dau piciorul perpendicularei pe dreaptă; trebuie să-l găsești singur în planul de jos, cu geometria plană pe care o știi.
Ideea 1 — rezolvă mai întâi problema plană. Piciorul perpendicularei din $A$ pe dreaptă se află cu înălțimea unui triunghi, cu diagonalele unui pătrat sau cu mediana unui triunghi isoscel; abia apoi urci în spațiu.
Ideea 2 — o dreaptă perpendiculară pe un plan e perpendiculară pe tot ce e în el. De aici poți arăta că o dreaptă din bază este perpendiculară pe un plan întreg și, deci, pe o dreaptă oblică.
Exemplu: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $AC=8$ cm, iar $PA\perp(ABC)$, cu $PA=\frac{18}{5}$ cm. Aflăm distanța de la $P$ la dreapta $BC$. În plan: $BC=\sqrt{36+64}=10$ cm, iar înălțimea din unghiul drept este $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}$ cm. În spațiu: $PA\perp(ABC)$ și $AD\perp BC$, deci $PD\perp BC$ și distanța cerută este $PD$. În triunghiul dreptunghic $PAD$: $PD^2=\frac{324}{25}+\frac{576}{25}=\frac{900}{25}=36$, deci $PD=6$ cm.
Exemplul 2: pătratul $ABCD$ are latura de $4$ cm și $PA\perp(ABCD)$. Arătăm că triunghiul $PBC$ este dreptunghic. $BC\perp AB$ (pătrat) și $BC\perp PA$ ($PA$ e perpendiculară pe tot planul). Cum $AB$ și $PA$ sunt concurente, $BC\perp(PAB)$, deci $BC\perp PB$: unghiul drept este în $B$, deși în desen nu pare.
Greșeli frecvente
Luarea înălțimii drept distanță la o dreaptă. $VO$ este distanța de la $V$ la planul bazei; distanța de la $V$ la dreapta $BC$ este $VM$, mai lungă.
Măsurarea distanței până la un capăt al segmentului. Distanța de la $D'$ la dreapta $AC$ nu este $D'A$, ci lungimea perpendicularei $D'O$, cea mai scurtă dintre toate.
Calculul în planul greșit: $DO=3\sqrt{2}$ cm este distanța de la $D$ la $AC$; punctul cerut era $D'$, deasupra lui $D$, deci mai urmează un pas cu Pitagora.
Confuzia dintre segment și proiecția lui. Proiecția lui $A'C$ pe bază este $AC$, nu $A'C$ însuși; proiecția este mai scurtă.
Credința că o dreaptă oblică e perpendiculară pe bază. Pe planul bazei unui cub e perpendiculară doar o muchie verticală, ca $AA'$; diagonalele $AB'$ sau $AC'$ sunt oblice.
Aplicarea teoremei celor trei perpendiculare fără a doua perpendiculară: $AD$ trebuie să fie perpendiculară pe dreapta $d$. Dacă alegi un punct oarecare de pe $d$, obții o lungime, dar nu distanța.
Surse pentru partea istorică
- Euclid, Elementele, Cartea a XI-a, definiția 3 (dreapta perpendiculară pe plan) și propoziția 4 (criteriul cu două drepte concurente) — mathcs.clarku.edu
- Elementele lui Euclid datează din jurul anului 300 î.Hr. — en.wikipedia.org
- Gaspard Monge (1746–1818): problema fortificației, două plane de proiecție perpendiculare, lucrarea Géométrie descriptive publicată în 1799 — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.