Teorie · D2 Geometrie · clasa a VIII-a
Perpendicularitate în spațiu în clasa a VIII-a: dreaptă perpendiculară pe plan, proiecții, teorema celor trei perpendiculare
Ce aduce clasa a VIII-a după perpendicularele din plan: dreapta perpendiculară pe un plan, planele perpendiculare și secțiunea diagonală, proiecția unui segment și lungimea ei, teorema celor trei perpendiculare și distanța de la un punct la o dreaptă sau la un plan, cu exerciții de Evaluare Națională.
De unde vine
Constructorii au avut nevoie de perpendiculara pe un plan cu mult înainte de a o defini cineva. Firul cu plumb — o greutate atârnată de o sfoară — este folosit cel puțin din vremea Egiptului antic ca să verifice că o construcție este verticală. Sfoara întinsă de greutate dă o dreaptă perpendiculară pe planul orizontal.
Pentru orizontală a apărut mult mai târziu o unealtă precisă: nivela cu bulă de aer, inventată de francezul Melchisédech Thévenot cândva înainte de 2 februarie 1661. În anul următor, Thévenot le-a descris invenția altor oameni de știință, printre care Robert Hooke la Londra și Vincenzo Viviani la Florența.
Cele două unelte se completează exact ca în teorie: nivela arată că o dreaptă este orizontală; pusă pe o suprafață în două direcții diferite (două drepte concurente), arată că toată suprafața este orizontală, adică perpendiculară pe firul cu plumb.
La ce folosește
Un stâlp vertical înalt de $8$ m este ancorat cu trei cabluri prinse în vârful lui și fixate în pământ la câte $6$ m de baza stâlpului. Stâlpul este perpendicular pe sol, deci fiecare cablu este ipotenuza unui triunghi dreptunghic: $\sqrt{8^2+6^2}=10$ m. Cablurile au aceeași lungime pentru că proiecțiile lor pe sol sunt egale — oblicele cu proiecții egale sunt egale.
Balamalele unei uși stau pe o dreaptă perpendiculară pe podea. De aceea ușa, în orice poziție ar fi, este un plan perpendicular pe podea: un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe el. Dacă balamalele sunt montate strâmb, ușa se deschide singură sau se freacă de podea.
De bază
Din clasa a VI-a știi ce sunt dreptele perpendiculare în plan, iar din clasa a VII-a știi proiecția unui punct pe o dreaptă. În clasa a VIII-a o dreaptă poate fi perpendiculară pe un plan întreg: $d\perp\alpha$ dacă $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente din $\alpha$. Atunci ea este perpendiculară pe orice dreaptă din $\alpha$.
Un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe acel plan. Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei din punct pe plan; proiecția unui segment se află proiectând capetele. Proiecția unei drepte pe un plan este dreapta care trece prin proiecțiile a două puncte ale ei; dacă dreapta este perpendiculară pe plan, proiecția ei este un singur punct, piciorul perpendicularei. Dacă segmentul are lungimea $l$ și face cu planul unghiul $u$, proiecția lui are $l\cos u$.
Secțiunile diagonale. Într-un paralelipiped dreptunghic sau într-un cub, secțiunea diagonală este făcută de planul a două muchii laterale care nu sunt pe aceeași față, de exemplu $AA'$ și $CC'$: este dreptunghiul $ACC'A'$, cu laturile diagonala bazei și muchia laterală; la cubul cu muchia $l$ are laturile $l$ și $l\sqrt{2}$. Într-o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, secțiunea diagonală este făcută de planul vârfului și al unei diagonale a bazei: triunghiul isoscel $VAC$, a cărui înălțime este chiar înălțimea piramidei, $VO$. Ambele conțin o dreaptă perpendiculară pe bază, deci planele lor sunt perpendiculare pe planul bazei.
Exemplu: paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ are $AB=8$ cm, $BC=6$ cm și $AA'=5$ cm. Proiecția lui $C'$ pe planul $(ABC)$ este $C$, deci proiecția diagonalei $AC'$ pe bază este $AC=\sqrt{64+36}=10$ cm, mai scurtă decât $AC'=\sqrt{100+25}=5\sqrt{5}$ cm. Secțiunea diagonală $ACC'A'$ conține muchia $AA'\perp(ABC)$, deci planul $(ACC')$ este perpendicular pe planul bazei.
Exemplul 2: un segment de $10$ cm face cu un plan un unghi de $60^\circ$. Proiecția lui pe plan are $10\cdot\cos 60^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5$ cm.
Exemplul 3: piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei de $6\sqrt{2}$ cm și muchia laterală $VA=10$ cm. Diagonala bazei este $AC=6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=12$ cm, deci $AO=6$ cm, iar în triunghiul dreptunghic $VOA$ înălțimea este $VO=\sqrt{100-36}=8$ cm. Secțiunea diagonală $VAC$ are baza de $12$ cm și înălțimea de $8$ cm, deci aria $\frac{12\cdot 8}{2}=48$ cm$^2$.
Mediu
Teorema celor trei perpendiculare: dacă $PA\perp\alpha$ și $AM\perp d$, unde $d$ este o dreaptă din $\alpha$ și $M\in d$, atunci $PM\perp d$, iar distanța de la $P$ la $d$ este $PM=\sqrt{PA^2+AM^2}$. Totul depinde de alegerea lui $M$ în plan: el este piciorul perpendicularei din $A$, aflat cu geometria plană din clasa a VII-a.
Exemplu: triunghiul echilateral $ABC$ are latura de $6$ cm, iar $PA\perp(ABC)$, cu $PA=3$ cm. Aflăm distanța de la $P$ la dreapta $BC$. În triunghiul echilateral, mediana $AM$ este și înălțime, deci $AM\perp BC$ și $AM=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm. Din teorema celor trei perpendiculare, $PM\perp BC$, iar $PM=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$ cm.
Exemplul 2: dreptunghiul $ABCD$ are $AD=12$ cm, iar $PA\perp(ABCD)$, cu $PA=5$ cm. Distanța de la $P$ la dreapta $CD$: aici nu mai trebuie căutat piciorul, pentru că $AD\perp CD$ chiar din dreptunghi. Deci $PD\perp CD$, iar distanța este $PD=\sqrt{25+144}=13$ cm.
Reciproca teoremei celor trei perpendiculare: dacă $PA\perp\alpha$ și $PM\perp d$, unde $d$ este o dreaptă din $\alpha$ și $M\in d$, atunci $AM\perp d$. Se folosește mai ales la unghiul diedru: dacă știi o perpendiculară pe muchia diedrului în planul oblic, reciproca îți dă perpendiculara din planul de bază, iar unghiul dintre ele este unghiul plan al diedrului.
Exemplul 3: piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei de $6$ cm și înălțimea $VO=3\sqrt{3}$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $BC$. Fața $VBC$ este un triunghi isoscel, deci mediana $VM$ este și înălțime: $VM\perp BC$. Cum $VO\perp(ABC)$ și $VM\perp BC$, reciproca dă $OM\perp BC$, deci unghiul plan al diedrului dintre fața $(VBC)$ și bază este $\sphericalangle VMO$. Cu $OM=3$ cm, $\operatorname{tg}\sphericalangle VMO=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$, deci unghiul are $60^\circ$.
Cum recunoști problema la examen: „distanța de la $P$ la dreapta ...” și o perpendiculară pe plan dată în enunț. Scrie cele trei perpendiculare în ordine: pe plan, în plan, și concluzia.
Avansat
La Subiectul al III-lea, perpendicularitatea se cere de obicei în doi pași: a) o dreaptă perpendiculară pe alta, arătată printr-un plan; b) o distanță de la un punct la un plan.
Ideea — dacă o dreaptă din plan este perpendiculară pe un plan întreg, poți coborî perpendiculara pe planul oblic într-un triunghi dreptunghic ales de tine.
Exemplu: pătratul $ABCD$ are latura de $6$ cm, iar $PA\perp(ABCD)$, cu $PA=6$ cm.
a) Arătăm că $BD\perp PC$. Diagonalele pătratului sunt perpendiculare: $BD\perp AC$. Cum $PA$ este perpendiculară pe planul pătratului, $BD\perp PA$. Dreptele $AC$ și $PA$ sunt concurente, deci $BD\perp(PAC)$ și, de aici, $BD$ este perpendiculară pe orice dreaptă din planul $(PAC)$, inclusiv pe $PC$.
b) Aflăm distanța de la $A$ la planul $(PBC)$. $BC\perp AB$ (pătrat) și $BC\perp PA$, deci $BC\perp(PAB)$. Ducem în triunghiul $PAB$ înălțimea $AE\perp PB$. Atunci $AE\perp PB$ și $AE\perp BC$ (pentru că $BC$ e perpendiculară pe tot planul $(PAB)$), deci $AE\perp(PBC)$ și distanța cerută este $AE$. Triunghiul $PAB$ este dreptunghic isoscel, cu $PB=6\sqrt{2}$ cm, deci $AE=\frac{PA\cdot AB}{PB}=\frac{36}{6\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ cm.
Greșeli frecvente
O singură perpendiculară nu ajunge. Dacă $d$ este perpendiculară pe o singură dreaptă din plan, sau pe două drepte paralele, nu rezultă $d\perp\alpha$; trebuie două drepte CONCURENTE.
„Două plane perpendiculare pe același plan sunt paralele” — fals. În cub, $(ABB')$ și $(ADD')$ sunt amândouă perpendiculare pe bază, dar se taie după muchia $AA'$.
Proiecția nu este întotdeauna mai scurtă. Un segment paralel cu planul are proiecția egală cu el: $A'B'$ se proiectează pe bază în $AB$, cu aceeași lungime.
Piciorul greșit în teorema celor trei perpendiculare. În triunghiul echilateral, distanța de la $P$ la $BC$ se calculează cu $AM$, înălțimea pe $BC$, nu cu $AB$ sau cu latura întreagă; altfel obții o lungime, nu distanța.
Distanța la un plan luată ca distanță la o dreaptă din plan. Distanța de la $A$ la planul $(PBC)$ este $AE=3\sqrt{2}$ cm, nu $AB=6$ cm: $AB$ este perpendiculară pe $BC$, dar nu și pe planul $(PBC)$.
Formula proiecției cu sinus în loc de cosinus: un segment de $10$ cm înclinat la $60^\circ$ are proiecția de $5$ cm, nu $5\sqrt{3}$ cm.
Surse pentru partea istorică
- Firul cu plumb este folosit cel puțin din vremea Egiptului antic ca să verifice că o construcție este verticală; dă direcția verticală ca dreaptă de referință — en.wikipedia.org
- Melchisédech Thévenot a inventat nivela cu bulă cândva înainte de 2 februarie 1661 și a descris-o în anul următor lui Robert Hooke la Londra și lui Vincenzo Viviani la Florența — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.