Teorie · D3 Geometrie · clasa a VIII-a
Unghiuri și distanțe în corpuri: unghi diedru, unghiul dreptei cu planul, distanțe
Distanța de la un punct la o dreaptă și la un plan, unghiul dintre o dreaptă și un plan și unghiul diedru, calculate în cub, prismă și piramidă, de la regulă la ideile problemelor grele.
De unde vine
Cu aproape patru mii de ani în urmă, constructorii egipteni aveau nevoie să știe cât de înclinate sunt fețele unei piramide. Papirusul Rhind, copiat de scribul Ahmes în jurul anilor 1650–1550 î.Hr., are problemele 56–60 despre „seked”: câte unități merge fața piramidei pe orizontală pentru fiecare cot urcat pe verticală. Este, de fapt, un raport de catete în triunghiul dreptunghic format de înălțime și apotemă — adică exact unghiul dintre fața laterală și bază, măsurat printr-un raport.
În problema 56, piramida are înălțimea de $250$ de coți și latura bazei de $360$ de coți. Jumătate din bază, $180$, împărțit la $250$ dă seked-ul, pe care scribul îl scrie ca $5$ palme și $\frac{1}{25}$ (un cot avea $7$ palme).
Definițiile riguroase apar în Cartea a XI-a a „Elementelor” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.). Unghiul unei drepte cu un plan se află coborând o perpendiculară din capătul ei pe plan și unind piciorul ei cu punctul în care dreapta atinge planul — adică folosind proiecția. Înclinarea unui plan față de altul este unghiul format de două drepte duse perpendicular pe dreapta lor comună, în același punct, câte una în fiecare plan: este definiția unghiului diedru pe care o folosești și azi.
La ce folosește
O pârtie de schi lungă de $500$ m, care coboară $250$ m pe verticală, face cu orizontala un unghi al cărui sinus este $\frac{250}{500}=\frac{1}{2}$, deci are $30^\circ$. Unghiul unei pârtii, al unui drum sau al unui acoperiș este unghiul dintre o dreaptă și planul orizontal.
O dronă zboară la $40$ m înălțime, iar punctul de pe sol de sub ea este la $30$ m de pilot. Înălțimea de $40$ m este distanța de la dronă la planul solului; distanța până la pilot (dacă îl socotim un punct pe sol) este mai mare: $\sqrt{30^2+40^2}=50$ m. Regulile de zbor se referă la prima, semnalul radio depinde de a doua.
Un laptop deschis formează un unghi diedru între ecran și tastatură. Unghiul se măsoară cu două drepte perpendiculare pe balama, una pe ecran și una pe tastatură — nu cu o diagonală oarecare a ecranului.
De bază
Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Perpendiculara este cel mai scurt drum; orice alt segment este mai lung.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.
Unghiul a două plane (unghiul diedru) se măsoară cu două drepte perpendiculare pe dreapta lor de intersecție, în același punct, câte una în fiecare plan.
Exemplu: cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia de $6$ cm. $AB\perp BC$ și $AB\perp BB'$, deci $AB\perp(BCC')$, iar distanța de la $A$ la planul $(BCC')$ este $AB=6$ cm.
Exemplul 2: în același cub, unghiul dintre dreapta $AB'$ și planul $(ABC)$. Cum $B'B\perp(ABC)$, proiecția lui $AB'$ pe bază este $AB$, deci unghiul cerut este $\sphericalangle B'AB$. Triunghiul $ABB'$ este dreptunghic isoscel, deci unghiul are $45^\circ$.
Mediu
Aproape orice unghi sau distanță din corpuri se calculează în trei pași: găsești perpendiculara pe plan, recunoști unghiul sau segmentul cerut, apoi lucrezi în triunghiul dreptunghic care îl conține, cu Pitagora sau cu tangenta.
Pentru unghiul diedru dintre o față laterală și bază, într-o piramidă regulată: planele se taie după o muchie a bazei. Din centrul bazei $O$ duci $OM$ perpendiculară pe muchie (în $M$, mijlocul ei), iar din teorema celor trei perpendiculare apotema $VM$ este și ea perpendiculară pe muchie. Unghiul cerut este $\sphericalangle VMO$.
Exemplu: piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=8$ cm și înălțimea $VO=4\sqrt{3}$ cm. Unghiul dintre planele $(VBC)$ și $(ABC)$ este $\sphericalangle VMO$, cu $OM=\frac{8}{2}=4$ cm. Atunci $\operatorname{tg}\sphericalangle VMO=\frac{VO}{OM}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$, deci unghiul are $60^\circ$.
Exemplul 2: cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia de $6$ cm. Unghiul dintre diagonala $AC'$ și planul bazei: $C'C\perp(ABC)$, deci proiecția lui $AC'$ este $AC=6\sqrt{2}$ cm, iar unghiul este $\sphericalangle C'AC$. În triunghiul dreptunghic $ACC'$: $\operatorname{tg}\sphericalangle C'AC=\frac{CC'}{AC}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Diagonala însăși are $AC'=6\sqrt{3}$ cm.
Cum recunoști problema: „unghiul dintre dreaptă și plan” cere proiecția dreptei; „unghiul dintre două plane” cere dreapta lor comună și două perpendiculare pe ea.
Avansat
Două idei rezolvă majoritatea problemelor grele cu unghiuri și distanțe.
Ideea 1 — volumul scris în două feluri dă o distanță la un plan. Când nu vezi unde cade perpendiculara pe un plan oblic, alegi un tetraedru care are acel plan ca bază. Îi calculezi volumul cu o bază comodă, apoi îl scrii cu baza oblică, iar înălțimea necunoscută este chiar distanța căutată.
Exemplu: cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia de $6$ cm; aflăm distanța $d$ de la $A$ la planul $(A'BD)$. Tetraedrul $A'ABD$, cu baza $ABD$ și înălțimea $AA'$, are $V=\frac{1}{3}\cdot\frac{6\cdot 6}{2}\cdot 6=36$ cm$^3$. Triunghiul $A'BD$ are toate laturile diagonale de fețe, $6\sqrt{2}$ cm, deci este echilateral, cu aria $\frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$ cm$^2$. Din $\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}\cdot d=36$ rezultă $d=\frac{108}{18\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ cm.
Ideea 2 — un unghi diedru se construiește cu teorema celor trei perpendiculare. Alegi în planul de jos perpendiculara pe muchia comună, dintr-un punct aflat sub o perpendiculară pe plan; teorema îți dă automat a doua perpendiculară, în planul oblic.
Exemplul 2: prisma triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$ are latura bazei de $6$ cm și înălțimea $AA'=3$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $BC$. Unghiul dintre planele $(A'BC)$ și $(ABC)$: în triunghiul echilateral, $AM\perp BC$ și $AM=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm; cum $AA'\perp(ABC)$, rezultă $A'M\perp BC$, deci unghiul este $\sphericalangle A'MA$. $\operatorname{tg}\sphericalangle A'MA=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci unghiul are $30^\circ$.
Greșeli frecvente
Tangenta inversată. În triunghiul $VOM$, tangenta unghiului $VMO$ este $\frac{VO}{OM}$ (cateta opusă supra cateta alăturată), nu $\frac{OM}{VO}$ — altfel obții $30^\circ$ în loc de $60^\circ$.
Unghiul cu înălțimea în loc de unghiul cu planul. Unghiul muchiei $VA$ cu baza este $\sphericalangle VAO$, între muchie și proiecția ei $OA$; unghiul $\sphericalangle AVO$, cu înălțimea, este complementul lui.
Distanța măsurată până la un punct oarecare al planului. Distanța de la $A'$ la bază este muchia $A'A$, nu $A'B$ sau diagonala $A'C$: perpendiculara este cea mai scurtă.
Unghiul unei dreapte cu un plan luat dintr-un triunghi care nu conține proiecția. În cub, $\sphericalangle B'AC=60^\circ$ vine din triunghiul echilateral $AB'C$, dar unghiul lui $AB'$ cu baza este $\sphericalangle B'AB=45^\circ$.
Presupunerea că un triunghi este isoscel doar pentru că arată așa. Dacă $VO=4$ cm și $VA=8$ cm, atunci $OA=4\sqrt{3}$ cm, nu $4$ cm, iar unghiul este $30^\circ$, nu $45^\circ$.
Unghiul diedru măsurat cu drepte care nu sunt perpendiculare pe muchia comună. Pentru fața $(VBC)$ și bază se folosesc $VM$ și $OM$, amândouă perpendiculare pe $BC$, nu muchia $VB$.
Surse pentru partea istorică
- Papirusul Rhind a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. de Ahmes, care copia un document cu 200 de ani mai vechi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Papirusul Rhind, copiat de scribul Ahmes în jurul anului 1550 î.Hr.; problemele 56–60 despre seked, înclinarea piramidelor; problema 56 cu înălțimea 250 și baza 360 de coți — en.wikipedia.org
- Euclid, Elementele, Cartea a XI-a, definițiile 5 și 6: înclinarea unei drepte față de un plan și a unui plan față de alt plan — mathcs.clarku.edu
- Elementele lui Euclid datează din jurul anului 300 î.Hr. — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.